Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S:x−22+y+12+z−42=10 và mặt phẳng P:−2x+y+5z+9=0. Gọi (Q) là tiết diện của (S) tại M5;0;4. Tính góc giữa (P) và (Q)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x-2)^2...

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Câu trả lời này có hữu ích không?

0

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 4 y - 6 z = 0$ . Đường tròn giao tuyến của (S) với mặt phẳng (Oxy) có bán kính là:

Xem đáp án » 05/03/2022 2,681

Câu 2:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) có tâm I(-2;5;1) và tiếp xúc với mặt phẳng $(P) : 2 x + 2 y - z + 7 = 0$ có phương trình là:

Xem đáp án » 05/03/2022 1,421

Câu 3:

Viết phương trình mặt cầu có tâm I(-1;2;3) và tiếp xúc với mặt phẳng $(P) : 2 x - y - 2 z + 1 = 0$

Xem đáp án » 05/03/2022 561

Câu 4:

Mặt phẳng (Oyz) cắt mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 2 y + 4 z - 3 = 0$ theo một đường tròn có tọa độ tâm là

Xem đáp án » 05/03/2022 422

Câu 5:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(1;0;-4) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy). Phương trình mặt cầu (S) là:

Xem đáp án » 05/03/2022 390

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét mặt cầu (S) đi qua hai điểm $A (1; 2; 1), B (3; 2; 3)$ , có tâm thuộc mặt phẳng $(P) : x - y - 3 = 0$ , đồng thời có bán kính nhỏ nhất, hãy tính bán kính R của mặt cầu (S)?

Xem đáp án » 05/03/2022 352

Câu 7:

Trong không gian Oxyz, xác định tọa độ tâm I của đường tròn giao tuyến của mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 64$ với mặt phẳng $(α) : 2 x + 2 y + z + 10 = 0$

Xem đáp án » 05/03/2022 337

Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;-1;0), B(1;1;-1) và mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y - 2 z - 3 = 0$ . Mặt phẳng (P) đi qua A, B và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất có phương trình là:

Xem đáp án » 05/03/2022 316

Câu 9:

Trong khôn gian Oxyz, cho biết có hai mặt cầu có tâm nằm trên đường thẳng $d : \frac{x}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{- 1}$ , tiếp xúc đồng thời với hai mặt phẳng $(α) : x + 2 y - 2 z + 1 = 0$ và $(β) : 2 x - 3 y - 6 z - 2 = 0$ . Gọi $R_{1}; R_{2} (R_{1} > R_{2})$ là bán kính của hai mặt cầu đó. Tỉ số $\frac{R_{1}}{R_{2}}$ bằng:

Xem đáp án » 05/03/2022 305

Câu 10:

Một quả cầu (S) có tâm I(-1;2;1) và tiếp xúc với mặt phẳng $(P) : x - 2 y - 2 z - 2 = 0$ có phương trình là:

Xem đáp án » 05/03/2022 303

Câu 11:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 9$ và mặt phẳng $(P) : 2 x - y - 2 z + 1 = 0$ . Biết (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r. Tính r.

Xem đáp án » 05/03/2022 294

Câu 12:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x}{2} = \frac{z - 3}{1} = \frac{y - 2}{1}$ và hai mặt phẳng $(P) : x - 2 y + 2 z = 0; (Q) : x - 2 y + 3 z - 5 = 0$ . Mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Mặt phẳng (Q) tiêp xúc với mặt cầu (S). Viết phương trình của mặt cầu (S)

Xem đáp án » 05/03/2022 293

Câu 13:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(3;4;-2). Lập phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oz.

Xem đáp án » 05/03/2022 293

Câu 14:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 4 y - 6 z - 2 = 0$ và song song với $(α) : 4 x + 3 y - 12 z + 10 = 0$

Xem đáp án » 05/03/2022 290

Câu 15:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 4$ và 2 đường thẳng $Δ_{1} : \{\begin{matrix} x = 2 t \\ y = 1 - t \\ z = t \end{matrix}$ và $Δ_{2} : \frac{x - 1}{- 1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{- 1}$ . Một phương trình mặt phẳng (P) song song với $Δ_{1}, Δ_{2}$ và tiếp xúc với mặt cầu (S) là:

Xem đáp án » 05/03/2022 288

Xem thêm các câu hỏi khác »

LÝ THUYẾT

1. Hệ tọa độ trong không gian

1.1. Tọa độ của điểm và của vecto

1.1.1. Hệ tọa độ

Trong không gian, xét ba trục tọa độ x’Ox; y’Oy; z’Oz vuông góc với nhau từng

đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi $\vec{i}; \vec{j}; \vec{k}$ lần lượt là các vectơ đơn vị, trên các trục x’Ox; y’Oy; z’Oz.

Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề- các vuông góc Oxyz trong không gian,

hay đơn giản gọi là hệ trục tọa độ Oxyz.

Điểm O được gọi là gốc tọa độ.

Các mặt phẳng (Oxy); (Oyz); (Ozx) đôi một vuong góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ.

Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn gọi là không gian Oxyz.

- Vì $\vec{i}; \vec{j}; \vec{k}$ là các vecto đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên:

${\vec{i}}^{2} = {\vec{j}}^{2} = {\vec{k}}^{2} = 1$ .

1.1.2. Tọa độ của một điểm

- Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Vì ba vecto $\vec{i}; \vec{j}; \vec{k}$ không đồng

phẳng nên có một bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho:

$\vec{O M} = x . \vec{i} + y . \vec{j} + z . \vec{k}$

- Ngược lại, với bộ ba số (x; y; z) ta có một điểm M duy nhất trong không gian thỏa mãn hệ thức $\vec{O M} = x . \vec{i} + y . \vec{j} + z . \vec{k}$ .

- Ta gọi bộ ba số (x; y; z) là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz đã cho và viết: M = ( x; y; z) hoặc M (x; y; z).

1.1.3. Tọa độ của vecto

- Trong không gian Oxyz cho vecto $\vec{a}$ , khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số (a₁; a₂ ; a₃) sao cho $\vec{a} = a_{1} . \vec{i} + a_{2} . \vec{j} + a_{3} . \vec{k}$ .

Ta gọi bộ ba số (a₁; a₂ ; a₃) là tọa độ của vecto đối với hệ tọa độ Oxyz cho trước $\vec{a}$ và viết $\vec{a}$ = (a₁; a₂ ; a₃) hoặc $\vec{a}$ (a₁; a₂ ; a₃).

- Nhận xét : Trong hệ tọa độ Oxyz, tọa độ của điểm M chính là tọa độ của vecto $\vec{O M}$ .

Ta có: M(x; y; z) $\Leftrightarrow \vec{O M} (x; y; z)$

1.2. Biểu thức tọa độ của các phép toán của vecto

- Định lí: Trong không gian Oxyz, cho hai vecto

$\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3}), \vec{b} = (b_{1}; b_{2}; b_{3}), k \in R$ , ta có:

a) $\vec{a} + \vec{b} = (a_{1} + b_{1}; a_{2} + b_{2}; a_{3} + b_{3})$

b) $\vec{a} - \vec{b} = (a_{1} - b_{1}; a_{2} - b_{2}; a_{3} - b_{3})$ ;

c) $k \vec{a} = (k a_{1}; k a_{2}; k a_{3})$ .

Ví dụ 1. Cho $\vec{u} (2; - 3; 4); \vec{v} (4; - 2; 0)$

a) Tính $\vec{u} + \vec{v}$ ;

b) $2 \vec{v}$ ;

c) $\vec{u} - 2 \vec{v}$ .

Lời giải:

a) $\vec{u} + \vec{v} = (2 + 4; - 3 - 2; 4 + 0) = (6; - 5; 4)$ ;

b) Ta có: $2 \vec{v}$ = ( 2.4; 2. (-2); 2.0) = ( 8; - 4; 0).

c) Ta có: $\vec{u} - 2 \vec{v}$ = ( 2 – 8; -3 + 4; 4 - 0) = (- 6; 1; 4)

- Hệ quả:

a) Cho hai vecto $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3}), \vec{b} = (b_{1}; b_{2}; b_{3})$ , ta có:

$\vec{a} = \vec{b} \Leftrightarrow {\begin{matrix} a_{1} = b_{1} \\ a_{2} = b_{2} \\ a_{3} = b_{3} \end{matrix}$ .

b) Vecto $\vec{0}$ có tọa độ ( 0; 0; 0).

c) Với $\vec{b} \neq \vec{0}$ thì hai vecto $\vec{a}; \vec{b}$ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho:

$\vec{a} = k \vec{b} (k \in R)$

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} a_{1} = k b_{1} \\ a_{2} = k b_{2} \\ a_{3} = k b_{3} \end{matrix} \Leftrightarrow \frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = \frac{a_{3}}{b_{3}}, (b_{1}, b_{2}, b_{3} \neq 0)$

d) Cho $A (x_{A}; y_{A}; z_{A}), B (x_{B}; y_{B}; z_{B})$

+ $\vec{A B} = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$

+ Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: $M (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2}; \frac{z_{A} + z_{B}}{2})$

Ví dụ 2. Cho $\vec{u} (2 m; 3; - 1); \vec{v} (4; 3; n - 2)$ . Tìm m và n để $\vec{u} = \vec{v}$

Lời giải:

Để $\vec{u} = \vec{v}$

Ôn tập Toán 12 Chương 3 Hình học (ảnh 1)

Vậy m = 2 và n = 1.

Ví dụ 3. Các cặp vecto sau có cùng phương không?

a) $\vec{u} (2; 3; 7); \vec{v} (- 4; - 6; 14)$ ;

b) $\vec{a} (1; 0; 2); \vec{b} (- 3; 0; - 6)$ .

Lời giải:

a) Ta thấy $\frac{2}{- 4} = \frac{3}{- 6} \neq \frac{7}{14}$

Do đó, hai vecto trên không cùng phương.

b) Ta thấy: $\vec{b} = - 3 \vec{a}$ nên hai vecto trên cùng phương.

Ví dụ 4. Cho hai điểm A( - 3; 4; 0) và B( -1; 0; 8).

a) Tính $\vec{A B}$ ;

b) Tìm tọa độ trung điểm M của AB.

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{A B}$ = ( -1 + 3; 0 - 4; 8 -0) = ( 2; -4; 8).

b) Tọa độ trung điểm M của AB là:

${\begin{matrix} x_{M} = \frac{- 3 + (- 1)}{2} = - 2 \\ y_{M} = \frac{4 + 0}{2} = 2 \\ z_{M} = \frac{0 + 8}{2} = 4 \end{matrix} \Rightarrow M (- 2; 2; 4)$

1.3. Tích vô hướng.

1.3.1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng.

- Định lí:

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3}), \vec{b} = (b_{1}; b_{2}; b_{3})$ được xác định bởi công thức:

$\vec{a} . \vec{b} = a_{1} . b_{1} + a_{2} . b_{2} + a_{3} . b_{3}$

Ví dụ 5. Cho $\vec{a} (1; - 3; 4); \vec{b} (1; 2; 1)$ . Tính $\vec{a} . \vec{b}$ ?

Lời giải:

Ta có: $\vec{a} . \vec{b}$ = 1.1 + ( -3). 2 + 4.1 = -1

1.3.2. Ứng dụng

a) Độ dài của một vecto.

Cho vecto $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ .

Ta biết rằng: ${| \vec{a} |}^{2} = {\vec{a}}^{2}$ hay $| \vec{a} | = \sqrt{{\vec{a}}^{2}}$ . Do đó, $| \vec{a} | = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{2}^{2}}$

b) Khoảng cách giữa hai điểm.

Trong khong gian Oxyz, cho hai điểm A(x_A ; y_A ; z_A)

và B(x_B; y_B ; z_B). Khi đó, khoảng cách giữa hai điểm A và B chính là độ dài của

vecto $\vec{A B}$ . Do đó, ta có:

$A B = | \vec{A B} | = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2} + {(z_{B} - z_{A})}^{2}}$ .

c) Góc giữa hai vecto.

Nếu $φ$ là góc góc giữa hai vecto $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ và $\vec{b} = (b_{1}; b_{2}; b_{3})$ với $\vec{a}; \vec{b} \neq \vec{0}$ thì $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |} = \frac{a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}}{\sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}} . \sqrt{b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2}}}$

Từ đó, suy ra $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} = 0$

Ví dụ 6. Cho tam giác ABC có A(2; 3; 1); B( 2; 1; 0); C( 0; -1; 2).

a) Tính AB; AC

b) Tính cosin của góc A.

Lời giải:

a) Ta có:

$\begin{matrix} A B = \sqrt{{(2 - 2)}^{2} + {(1 - 3)}^{2} + {(0 - 1)}^{2}} = \sqrt{5} \\ A C = \sqrt{{(0 - 2)}^{2} + {(- 1 - 3)}^{2} + {(2 - 1)}^{2}} = \sqrt{21} \end{matrix}$

b) Ta có: $\vec{A B} (0; - 2; - 1); \vec{A C} (- 2; - 4; 1)$

Cosin của góc A là:

$\cos A = \cos (\vec{A B}; \vec{A C}) = \frac{0 . (- 2) + (- 2) . (- 4) + (- 1) .1}{\sqrt{5} . \sqrt{21}} = \frac{7}{\sqrt{105}}$

1.4. Phương trình mặt cầu

- Định lí.

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính r có phương trình là:

( x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = r²

- Nhận xét. Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng:

x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với d = a² + b² + c² – r²

Từ đó, ta chứng minh được rằng phương trình dạng:

x² + y² + z² + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với điều kiện A² + B² + C² – D > 0 là phương trình mặt cầu có tâm I( -A; -B; - C) có bán kính $r = \sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2} - D}$ .

Ví dụ 7. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình sau đây:

a) x² + y² + z² – 4x + 2y - 1 = 0;

b) x² + y² + z² – 8x – 2y + 2z + 2 = 0

Lời giải:

a) Ta có: a = 2; b = -1; c = 0; d = -1

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Câu hỏi:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S:x−22+y+12+z−42=10 và mặt phẳng P:−2x+y+5z+9=0. Gọi (Q) là tiết diện của (S) tại M5;0;4. Tính góc giữa (P) và (Q)

A. 45°

B. 60°

C. 120°

D. 30°

Trả lời:

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S:x2+y2+z2−2x−4y−6z=0. Đường tròn giao tuyến của (S) với mặt phẳng (Oxy) có bán kính là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 4)}^{2} = 10$ và mặt phẳng $(P) : - 2 x + y + \sqrt{5} z + 9 = 0$ . Gọi (Q) là tiết diện của (S) tại $M (5; 0; 4)$ . Tính góc giữa (P) và (Q)

A. $45 °$

B. $60 °$

C. $120 °$

D. $30 °$

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 4 y - 6 z = 0$ . Đường tròn giao tuyến của (S) với mặt phẳng (Oxy) có bán kính là: