Cho ba tia Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau. Gọi C là điểm cố định trên Oz, đặt OC = 1, các điểm A, B thay đổi trên Ox, Oy sao cho OA+ OB = OC. Giá trị bé nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là:

Cho ba tia Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau. Gọi C là điểm...

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Câu trả lời này có hữu ích không?

0

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x + 4 y - 2 z + 5 = 0$ . Phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn bán kính bằng 2 là:

Xem đáp án » 05/03/2022 2,967

Câu 2:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi I(a;b;c) là tâm mặt cầu đi qua điểm A(1;-1;4) và tiếp xúc với tất cả các mặt phẳng tọa độ. Tính P=a-b+c

Xem đáp án » 05/03/2022 2,044

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng $(P) : x - 2 y + 2 z + 1 = 0$ , $(Q) : x - 2 y + 2 z - 8 = 0$ , $(R) : x - 2 y + 2 z + 4 = 0$ . Một đường thẳng $∆$ thay đổi cắt ba mặt phẳng $(P), (Q), (R)$ lần lượt tại các điểm A, B, C. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A B + \frac{96}{A C^{2}}$ là:

Xem đáp án » 05/03/2022 671

Câu 4:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z + 2}{1}$ và $d_{2} : \frac{x + 1}{1} = \frac{y - 1}{7} = \frac{z - 3}{- 1}$ . Đường vuông góc chung của $d_{1}$ và $d_{2}$ lần lượt cắt $d_{1}, d_{2}$ tại A và B. Diện tích tam giác OAB bằng:

Xem đáp án » 05/03/2022 420

Câu 5:

Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm $A (0; 1; 1), B (3; 0; - 1), C (0; 21; - 19)$ và mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 1$ . Điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho tổng $3 M A^{2} + 2 M B^{2} + M C^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó, độ dài vec tơ $\vec{O M}$ là:

Xem đáp án » 05/03/2022 352

Câu 6:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z - 1}{2}$ và hai điểm $A (3; 2; 1), B (2; 0; 4)$ . Gọi $∆$ là đường thẳng qua A, vuông góc với d sao cho khoảng cách từ B đến $∆$ là nhỏ nhất. Gọi $\vec{u} = (2; b; c)$ là một vec to chỉ phương của $∆$ . Khi đó, $|\vec{u}|$ bằng:

Xem đáp án » 05/03/2022 305

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 13}{- 1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{4}$ và mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 4 y - 6 z - 67 = 0$ . Qua d dựng các mặt phẳng tiếp xúc với (S) lần lượt tại $T_{1}, T_{2}$ . Tìm tọa độ trung điểm H của $T_{1}, T_{2}$

Xem đáp án » 05/03/2022 302

Câu 8:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S_{1})$ có tâm $I (2; 1; 1)$ có bán kính bằng 4 và mặt cầu $(S_{2})$ có tâm $J (2; 1; 5)$ có bán kính bằng 2. (P) là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu $(S_{1}), (S_{2})$ . Đặt M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm O đến (P). Giá trị M + m bằng?

Xem đáp án » 05/03/2022 289

Câu 9:

Trong không gian Oxyz, cho A(-4;7;5) và hai đường thẳng $d_{1} : \{\begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 3 t \\ z = - 2 + t \end{matrix}, d_{2} : \frac{x + 1}{3} = \frac{y - 2}{4} = z - 1$ . Đường thẳng d đi qua A đồng thời cắt $d_{1}, d_{2}$ có phương trình là:

Xem đáp án » 05/03/2022 287

Câu 10:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng $(P) : x - 2 y + z - 1 = 0$ , $(Q) : x - 2 y + z + 8 = 0$ và $(R) : x - 2 y + z - 4 = 0$ . Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt phẳng (P); (Q); (R) lần lượt tại A, B, C. Đặt $T = \frac{A B^{2}}{4} + \frac{144}{A C}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của T.

Xem đáp án » 05/03/2022 284

Câu 11:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A (2; 0; 0); B (0; 4; 0), C (0; 0; 6)$ . Điểm M thay đổi trên mặt phẳng (ABC) và điểm N là điểm trên tia OM sao cho $O M . O N = 12$ . Biết rằng khi M thay đổi, điểm N luôn thuộc một mặt cầu cố định. Tìm bán kính của mặt cầu đó?

Xem đáp án » 05/03/2022 273

Câu 12:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A (2; - 1; 1), M (5; 3; 1), N (4; 1; 2)$ và mặt phẳng $(P) : y + z = 27$ . Biết rằng tồn tại điểm B trên tia AM, điểm C trên (P) và điểm D trên tia AN sao cho tứ giác ABCD là hình thoi. Tọa độ điểm C là:

Xem đáp án » 05/03/2022 254

Câu 13:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A (1; 0; 3), B (11; - 5; - 12)$ . Điểm $M (a; b; c)$ thuộc mặt phẳng (Oxyz) sao cho $3 M A^{2} + 2 M B^{2}$ nhỏ nhất. Tính $P = a + b + c$

Xem đáp án » 05/03/2022 242

Câu 14:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với $A (1; 0; 0), B (3; 2; 4); C (0; 5; 4)$ . Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho $|\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C}|$ nhỏ nhất

Xem đáp án » 05/03/2022 241

Câu 15:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(-1;0;1), B(3;2;1). Gọi C(5;3;7) thỏa mãn MA = MB và MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính P = a + b + c

Xem đáp án » 05/03/2022 240

Xem thêm các câu hỏi khác »

LÝ THUYẾT

1. Hệ tọa độ trong không gian

1.1. Tọa độ của điểm và của vecto

1.1.1. Hệ tọa độ

Trong không gian, xét ba trục tọa độ x’Ox; y’Oy; z’Oz vuông góc với nhau từng

đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi $\vec{i}; \vec{j}; \vec{k}$ lần lượt là các vectơ đơn vị, trên các trục x’Ox; y’Oy; z’Oz.

Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề- các vuông góc Oxyz trong không gian,

hay đơn giản gọi là hệ trục tọa độ Oxyz.

Điểm O được gọi là gốc tọa độ.

Các mặt phẳng (Oxy); (Oyz); (Ozx) đôi một vuong góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ.

Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn gọi là không gian Oxyz.

- Vì $\vec{i}; \vec{j}; \vec{k}$ là các vecto đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên:

${\vec{i}}^{2} = {\vec{j}}^{2} = {\vec{k}}^{2} = 1$ .

1.1.2. Tọa độ của một điểm

- Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Vì ba vecto $\vec{i}; \vec{j}; \vec{k}$ không đồng

phẳng nên có một bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho:

$\vec{O M} = x . \vec{i} + y . \vec{j} + z . \vec{k}$

- Ngược lại, với bộ ba số (x; y; z) ta có một điểm M duy nhất trong không gian thỏa mãn hệ thức $\vec{O M} = x . \vec{i} + y . \vec{j} + z . \vec{k}$ .

- Ta gọi bộ ba số (x; y; z) là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz đã cho và viết: M = ( x; y; z) hoặc M (x; y; z).

1.1.3. Tọa độ của vecto

- Trong không gian Oxyz cho vecto $\vec{a}$ , khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số (a₁; a₂ ; a₃) sao cho $\vec{a} = a_{1} . \vec{i} + a_{2} . \vec{j} + a_{3} . \vec{k}$ .

Ta gọi bộ ba số (a₁; a₂ ; a₃) là tọa độ của vecto đối với hệ tọa độ Oxyz cho trước $\vec{a}$ và viết $\vec{a}$ = (a₁; a₂ ; a₃) hoặc $\vec{a}$ (a₁; a₂ ; a₃).

- Nhận xét : Trong hệ tọa độ Oxyz, tọa độ của điểm M chính là tọa độ của vecto $\vec{O M}$ .

Ta có: M(x; y; z) $\Leftrightarrow \vec{O M} (x; y; z)$

1.2. Biểu thức tọa độ của các phép toán của vecto

- Định lí: Trong không gian Oxyz, cho hai vecto

$\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3}), \vec{b} = (b_{1}; b_{2}; b_{3}), k \in R$ , ta có:

a) $\vec{a} + \vec{b} = (a_{1} + b_{1}; a_{2} + b_{2}; a_{3} + b_{3})$

b) $\vec{a} - \vec{b} = (a_{1} - b_{1}; a_{2} - b_{2}; a_{3} - b_{3})$ ;

c) $k \vec{a} = (k a_{1}; k a_{2}; k a_{3})$ .

Ví dụ 1. Cho $\vec{u} (2; - 3; 4); \vec{v} (4; - 2; 0)$

a) Tính $\vec{u} + \vec{v}$ ;

b) $2 \vec{v}$ ;

c) $\vec{u} - 2 \vec{v}$ .

Lời giải:

a) $\vec{u} + \vec{v} = (2 + 4; - 3 - 2; 4 + 0) = (6; - 5; 4)$ ;

b) Ta có: $2 \vec{v}$ = ( 2.4; 2. (-2); 2.0) = ( 8; - 4; 0).

c) Ta có: $\vec{u} - 2 \vec{v}$ = ( 2 – 8; -3 + 4; 4 - 0) = (- 6; 1; 4)

- Hệ quả:

a) Cho hai vecto $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3}), \vec{b} = (b_{1}; b_{2}; b_{3})$ , ta có:

$\vec{a} = \vec{b} \Leftrightarrow {\begin{matrix} a_{1} = b_{1} \\ a_{2} = b_{2} \\ a_{3} = b_{3} \end{matrix}$ .

b) Vecto $\vec{0}$ có tọa độ ( 0; 0; 0).

c) Với $\vec{b} \neq \vec{0}$ thì hai vecto $\vec{a}; \vec{b}$ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho:

$\vec{a} = k \vec{b} (k \in R)$

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} a_{1} = k b_{1} \\ a_{2} = k b_{2} \\ a_{3} = k b_{3} \end{matrix} \Leftrightarrow \frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = \frac{a_{3}}{b_{3}}, (b_{1}, b_{2}, b_{3} \neq 0)$

d) Cho $A (x_{A}; y_{A}; z_{A}), B (x_{B}; y_{B}; z_{B})$

+ $\vec{A B} = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$

+ Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: $M (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2}; \frac{z_{A} + z_{B}}{2})$

Ví dụ 2. Cho $\vec{u} (2 m; 3; - 1); \vec{v} (4; 3; n - 2)$ . Tìm m và n để $\vec{u} = \vec{v}$

Lời giải:

Để $\vec{u} = \vec{v}$

Ôn tập Toán 12 Chương 3 Hình học (ảnh 1)

Vậy m = 2 và n = 1.

Ví dụ 3. Các cặp vecto sau có cùng phương không?

a) $\vec{u} (2; 3; 7); \vec{v} (- 4; - 6; 14)$ ;

b) $\vec{a} (1; 0; 2); \vec{b} (- 3; 0; - 6)$ .

Lời giải:

a) Ta thấy $\frac{2}{- 4} = \frac{3}{- 6} \neq \frac{7}{14}$

Do đó, hai vecto trên không cùng phương.

b) Ta thấy: $\vec{b} = - 3 \vec{a}$ nên hai vecto trên cùng phương.

Ví dụ 4. Cho hai điểm A( - 3; 4; 0) và B( -1; 0; 8).

a) Tính $\vec{A B}$ ;

b) Tìm tọa độ trung điểm M của AB.

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{A B}$ = ( -1 + 3; 0 - 4; 8 -0) = ( 2; -4; 8).

b) Tọa độ trung điểm M của AB là:

${\begin{matrix} x_{M} = \frac{- 3 + (- 1)}{2} = - 2 \\ y_{M} = \frac{4 + 0}{2} = 2 \\ z_{M} = \frac{0 + 8}{2} = 4 \end{matrix} \Rightarrow M (- 2; 2; 4)$

1.3. Tích vô hướng.

1.3.1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng.

- Định lí:

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3}), \vec{b} = (b_{1}; b_{2}; b_{3})$ được xác định bởi công thức:

$\vec{a} . \vec{b} = a_{1} . b_{1} + a_{2} . b_{2} + a_{3} . b_{3}$

Ví dụ 5. Cho $\vec{a} (1; - 3; 4); \vec{b} (1; 2; 1)$ . Tính $\vec{a} . \vec{b}$ ?

Lời giải:

Ta có: $\vec{a} . \vec{b}$ = 1.1 + ( -3). 2 + 4.1 = -1

1.3.2. Ứng dụng

a) Độ dài của một vecto.

Cho vecto $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ .

Ta biết rằng: ${| \vec{a} |}^{2} = {\vec{a}}^{2}$ hay $| \vec{a} | = \sqrt{{\vec{a}}^{2}}$ . Do đó, $| \vec{a} | = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{2}^{2}}$

b) Khoảng cách giữa hai điểm.

Trong khong gian Oxyz, cho hai điểm A(x_A ; y_A ; z_A)

và B(x_B; y_B ; z_B). Khi đó, khoảng cách giữa hai điểm A và B chính là độ dài của

vecto $\vec{A B}$ . Do đó, ta có:

$A B = | \vec{A B} | = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2} + {(z_{B} - z_{A})}^{2}}$ .

c) Góc giữa hai vecto.

Nếu $φ$ là góc góc giữa hai vecto $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ và $\vec{b} = (b_{1}; b_{2}; b_{3})$ với $\vec{a}; \vec{b} \neq \vec{0}$ thì $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |} = \frac{a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}}{\sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}} . \sqrt{b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2}}}$

Từ đó, suy ra $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} = 0$

Ví dụ 6. Cho tam giác ABC có A(2; 3; 1); B( 2; 1; 0); C( 0; -1; 2).

a) Tính AB; AC

b) Tính cosin của góc A.

Lời giải:

a) Ta có:

$\begin{matrix} A B = \sqrt{{(2 - 2)}^{2} + {(1 - 3)}^{2} + {(0 - 1)}^{2}} = \sqrt{5} \\ A C = \sqrt{{(0 - 2)}^{2} + {(- 1 - 3)}^{2} + {(2 - 1)}^{2}} = \sqrt{21} \end{matrix}$

b) Ta có: $\vec{A B} (0; - 2; - 1); \vec{A C} (- 2; - 4; 1)$

Cosin của góc A là:

$\cos A = \cos (\vec{A B}; \vec{A C}) = \frac{0 . (- 2) + (- 2) . (- 4) + (- 1) .1}{\sqrt{5} . \sqrt{21}} = \frac{7}{\sqrt{105}}$

1.4. Phương trình mặt cầu

- Định lí.

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính r có phương trình là:

( x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = r²

- Nhận xét. Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng:

x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với d = a² + b² + c² – r²

Từ đó, ta chứng minh được rằng phương trình dạng:

x² + y² + z² + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với điều kiện A² + B² + C² – D > 0 là phương trình mặt cầu có tâm I( -A; -B; - C) có bán kính $r = \sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2} - D}$ .

Ví dụ 7. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình sau đây:

a) x² + y² + z² – 4x + 2y - 1 = 0;

b) x² + y² + z² – 8x – 2y + 2z + 2 = 0

Lời giải:

a) Ta có: a = 2; b = -1; c = 0; d = -1

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Câu hỏi:

Cho ba tia Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau. Gọi C là điểm cố định trên Oz, đặt OC = 1, các điểm A, B thay đổi trên Ox, Oy sao cho OA+ OB = OC. Giá trị bé nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là:

A. 63

B. 6

C. 64

D. 62

Trả lời:

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S:x2+y2+z2−6x+4y−2z+5=0. Phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn bán kính bằng 2 là:

A. $\frac{\sqrt{6}}{3}$

B. $\sqrt{6}$

C. $\frac{\sqrt{6}}{4}$

D. $\frac{\sqrt{6}}{2}$

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x + 4 y - 2 z + 5 = 0$ . Phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn bán kính bằng 2 là: