Cho x > 0; y > 0. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

(1) $\frac{\text{1}}{\text{x}}+\frac{\text{1}}{\text{y}}\ge \frac{\text{4}}{\text{x}+\text{y}}$

(2) $x^2 + y^2 < 0$

(3) $x^3 + y^3 \ge x^2 + y^2$

1. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương

a) Tính chất

Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

b) Tổng quát

Với ba số a, b và c mà c > 0, ta có:

Nếu a < b thì ac < bc;

Nếu a ≤ b thì ac ≤ bc;

Nếu a > b thì ac > bc;

Nếu a ≥ b thì ac ≥ bc.

Ví dụ 1. Đặt dấu thích hợp (<, >, =) vào chỗ chấm:

a) (–21,5) . 6,5 ..... (–21,25) . 6,5;

b) 5,15 . 3,6 ..... (–5,25) . 3,6.

Lời giải:

a) Ta có –21,5 < –21,25 và 6,5 > 0.

Nhân hai vế của bất đẳng thức –21,5 < –21,25 với 6,5 ta được:

(–21,5) . 6,5 < (–21,25) . 6,5.

b) Ta có 5,15 > –5,25 và 3,6 > 0.

Nhân hai vế của bất đẳng thức 5,15 > –5,25 với 3,6 ta được:

5,15 . 3,6 ..... (–5,25) . 3,6.

2. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số âm

a) Tính chất

Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được một bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

b) Tổng quát

Với ba số a, b và c mà c < 0, ta có:

Nếu a < b thì ac > bc;

Nếu a ≤ b thì ac ≥ bc;

Nếu a > b thì ac < bc;

Nếu a ≥ b thì ac ≤ bc.

Ví dụ 2. Đặt dấu thích hợp (<, >, =) vào chỗ chấm:

a) (–12,5) . 48 ..... (–12,5) . 45;

b) (–5,5) . (–11,2) ..... 6,25 . (–11,2).

Lời giải:

a) Ta có 48 > 45 và –12,5 < 0.

Nhân hai vế của bất đẳng thức 48 > 45 với (–12,5), ta được:

(–12,5) . 48 < (–12,5) . 45.

b) Ta có –5,5 < 6,25 và –11,2 < 0.

Nhân hai vế của bất đẳng thức –5,5 < 6,25 với (–11,2), ta được:

(–5,5) . (–11,2) > 6,25 . (–11,2).

2. Tính chất bắc cầu của thứ tự

Tính chất bắc cầu: Với ba số a, b và c ta thấy nếu a < b và b < c thì a < c.

Trên trục số trên, a nằm bên trái b (a < b) và b nằm bên trái c (b < c) nên a nằm bên trái c (a < c).

Ví dụ 3. Cho a < b. Chứng minh a + 1 < b + 5.

Lời giải:

Cộng hai vế của bất đẳng thức a < b với 1, ta được:

a + 1 < b + 1.        (1)

Cộng hai vế của bất đẳng thức 1 < 5 với b, ta được:

b + 1 < b + 5.        (2)

Từ (1) và (2), theo tính chất bắc cầu, suy ra:

a + 1 < b + 5.