Xét tính tăng giảm của dãy số $\left(u_n\right)$  biết: $u_n=\frac{n-1}{n+1}$

I. Phương pháp quy nạp toán học

Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên $n\in \mathbb{N}*$là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau:

- Bước 1. Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.

- Bước 2. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k ≥ 1 (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

Đó là phương pháp quy nạp toán học, hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp.

II. Ví dụ áp dụng

- Ví dụ 1. Chứng minh với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta có:

  $1+2+3+\mathrm{...}+\text{\hspace{0.17em}}n=\frac{n(n+\text{\hspace{0.17em}}1)}{2}$ (*)

Lời giải:

Bước 1: Với n = 1 ta có:

Vế trái = 1 và vế phải = 1

Vậy hệ thức đúng với n = 1.

Bước 2: Giả sử hệ thức đúng với một số tự nhiên bất kì n = k ≥ 1  tức là:

$1+2+3+\mathrm{...}+\text{\hspace{0.17em}}k=\frac{k(k+\text{\hspace{0.17em}}1)}{2}$  (1)

Ta cần chứng minh hệ thức đúng với n = k + 1, tức là:

  $1+2+3+\mathrm{...}+\text{\hspace{0.17em}}k+k+\text{}1=\frac{(k+\text{}1)(k+2)}{2}$(2)

Thật vậy:

Vế trái = 1 + 2 + 3+ … + k + k + 1

$\frac{k(k+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1)}{2}+k+\text{\hspace{0.17em}}1$   (Do đẳng thức (1))

$=(k+\text{}1).\left(\frac{k}{2}+\text{\hspace{0.17em}}1\right)=\frac{(k+\text{}1).(k+2)}{2}=VP$

Vậy hệ thức đã cho đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

- Ví dụ 2. Chứng minh rằng với $\forall n\ge 1$, ta có bất đẳng thức

$\frac{\mathrm{1.3.5....}(2n-1)}{\mathrm{2.4.6.}..2n}<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$

Lời giải:

- Với n = 1, bất đẳng thức cho trở thành:  $\frac{1}{2}<\frac{1}{\sqrt{3}}$ (đúng).

Vậy bất đẳng thức cho đúng với n = 1.

- Giả sử bất đẳng thức cho  đúng với  mọi số tự nhiên n = k ≥ 1, tức là :

    $\frac{\mathrm{1.3.5....}(2k-1)}{\mathrm{2.4.6.}..2k}<\frac{1}{\sqrt{2k+1}}$  (1)

-Ta chứng minh bất đẳng thức cho đúng với n = k + 1, tức là :

  $\frac{\mathrm{1.3.5....}(2k-1)(2k+\text{}1)}{\mathrm{2.4.6.}..2k(2k+\text{\hspace{0.17em}}2)}<\frac{1}{\sqrt{2k+3}}$ (2)

Thật vậy, ta có :

 $VT\left(2\right)=\frac{\mathrm{1.3.5....}(2k-1)}{\mathrm{2.4.6.}..2k}.\frac{2k+\text{}1}{2k+\text{}2}<\frac{1}{\sqrt{2k+1}}.\frac{2k+\text{}1}{2k+\text{}2}=\frac{\sqrt{2k+\text{\hspace{0.17em}}1}}{2k+\text{}2}$ (theo (1))

Ta chứng minh:

  $\frac{\sqrt{2k+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}}{2k\text{\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}}2}<\frac{1}{\sqrt{2k+3}}\iff \sqrt{2k+\text{}1}.\sqrt{2k\text{\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}3}<2k+2$ (do hai vế đều dương)

Hay (2k + 1).(2k + 3) < (2k + 2)2

$\iff$4k^2 + 6k + 2k + 3 < 4k^2 + 8k + 4

 $\iff$3 < 4 (luôn đúng)

Vậy bất đẳng thức đã cho đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

- Chú ý:

Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p (p là một số tự nhiên) thì:

+ Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;

+ Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì n = k ≥ p và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.