Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un), biết: un=2n−133n−2

Ta có: un+ 1=2(n+1)−133(n+1)−2= 2n−113n+1 Xét hiệu: un+1−un=2n−113n+1−2n−133n−2=(2n−11).(3n−2)−(2n−13).(3n+1)(3n+1)(3n−2)=6n2−4n−33n+22−(6n2+2n−39n −13)(3n+1).(3n−2)=35(3n+1)(3n−2)>0 với mọi n≥1. Suy ra un+1>un ∀n≥1⇒ dãy (un ) là dãy tăng. Mặt khác: un=23−353(3n−2)⇒un<23 ∀n≥1 Suy ra un bị chặn trên ∀n ≥1 : 3n−2 ≥1 ⇒353(3n−2) ≤353.1= 353⇒un≥23− 353= −11 Nên (un) bị chặn dưới. Vậy dãy (un) là dãy bị chặn. Chọn đáp án A.

Câu hỏi:

27/03/2022 271

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số $(u_{n})$ , biết: $u_{n} = \frac{2 n - 13}{3 n - 2}$

A. Dãy số tăng, bị chặn

Đáp án chính xác

B. Dãy số giảm, bị chặn

C. Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn

D. Cả A, B, C đều sai

Xem lời giải Xem lý thuyết

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $u_{n + 1} = \frac{2 (n + 1) - 13}{3 (n + 1) - 2} = \frac{2 n - 11}{3 n + 1}$

Xét hiệu:

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{2 n - 11}{3 n + 1} - \frac{2 n - 13}{3 n - 2} = \frac{(2 n - 11) . (3 n - 2) - (2 n - 13) . (3 n + 1)}{(3 n + 1) (3 n - 2)} = \frac{6 n^{2} - 4 n - 33 n + 22 - (6 n^{2} + 2 n - 39 n - 13)}{(3 n + 1) . (3 n - 2)} = \frac{35}{(3 n + 1) (3 n - 2)} > 0$

với mọi $n \geq 1$ .

Suy ra $u_{n + 1} > u_{n} \forall n \geq 1 \Rightarrow$ dãy $(u_{n})$ là dãy tăng.

Mặt khác: $u_{n} = \frac{2}{3} - \frac{35}{3 (3 n - 2)} \Rightarrow u_{n} < \frac{2}{3} \forall n \geq 1$

Suy ra $(u_{n})$ bị chặn trên

$\begin{array}{l} \forall n \geq 1 : 3 n - 2 \geq 1 \Rightarrow \frac{35}{3 (3 n - 2)} \leq \frac{35}{3.1} = \frac{35}{3} \\ \Rightarrow u_{n} \geq \frac{2}{3} - \frac{35}{3} = - 11 \end{array}$

Nên $(u_{n})$ bị chặn dưới.

Vậy dãy $(u_{n})$ là dãy bị chặn.

Chọn đáp án A.

Câu trả lời này có hữu ích không?

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 200k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết

ĐĂNG KÝ VIP

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có:
$1.4 + 2.7 + \cdot \cdot \cdot + n (3 n + 1) = n {(n + 1)}^{2}$ (1)

Xem đáp án » 27/03/2022 6,677

Câu 2:

Cho dãy số $(u_{n})$ có số hạng tổng quát $u_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 2}$ . Số $\frac{167}{84}$ là số hạng thứ mấy?

Xem đáp án » 27/03/2022 5,726

Câu 3:

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi $\{\begin{matrix} u_{1} = 11 \\ u_{n + 1} = 10 u_{n} + 1 - 9 n \end{matrix}$ . Tìm số hạng tổng quát $u_{n}$ theo n

Xem đáp án » 27/03/2022 3,497

Câu 4:

Cho dãy số $(u_{n})$ biết $u_{n} = \frac{5^{n}}{n^{2}}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Xem đáp án » 27/03/2022 3,127

Câu 5:

Xét tính bị chặn của dãy số $(u_{n})$ biết: $u_{n} = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{n (n + 1)}$

Xem đáp án » 27/03/2022 2,851

Câu 6:

Xét tính tăng giảm của dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{\sqrt{n}}{2^{n}}$

Xem đáp án » 27/03/2022 2,783

Câu 7:

Cho dãy số $(u_{n})$ biết $u_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + ... + \frac{1}{n^{2}}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng ?

Xem đáp án » 27/03/2022 2,625

Câu 8:

Cho dãy số $u_{n} = \frac{7 n + 5}{5 n + 7}$ . Tìm mệnh đề đúng?

Xem đáp án » 27/03/2022 2,266

Câu 9:

Với mỗi số nguyên dương n, gọi $u_{n} = 9^{n} - 1$ . Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì u_n luôn chia hết cho 8.

Xem đáp án » 27/03/2022 1,426

Câu 10:

Xét tính tăng hay giảm và bị chặn của dãy số : $u_{n} = \frac{2 n - 1}{n + 3}; n \in N *$

Xem đáp án » 27/03/2022 568

Câu 11:

Tìm công thức tính số hạng tổng quát $u_{n}$ theo n của dãy số sau $\{\begin{cases} u_{1} = 3 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 2 \end{cases}$

Xem đáp án » 27/03/2022 494

Câu 12:

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 2$ , ta luôn có: $2^{n + 1} > 2 n + 3$ (*)

Xem đáp án » 27/03/2022 418

Câu 13:

Xét tính tăng giảm của dãy số $(u_{n})$ biết: $u_{n} = \frac{1}{n} - 2$

Xem đáp án » 27/03/2022 367

Câu 14:

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp $n^{3} + 11 n$ chia hết cho 6.

Xem đáp án » 27/03/2022 319

Câu 15:

Xét tính tăng giảm của dãy số $(u_{n})$ biết: $u_{n} = \frac{n - 1}{n + 1}$

Xem đáp án » 27/03/2022 296

Xem thêm các câu hỏi khác »

LÝ THUYẾT

I. Phương pháp quy nạp toán học

Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên $n \in ℕ *$ là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau:

- Bước 1. Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.

- Bước 2. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k ≥ 1 (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

Đó là phương pháp quy nạp toán học, hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp.

II. Ví dụ áp dụng

- Ví dụ 1. Chứng minh với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta có:

$1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n (n + 1)}{2}$ (*)

Lời giải:

Bước 1: Với n = 1 ta có:

Vế trái = 1 và vế phải = 1

Vậy hệ thức đúng với n = 1.

Bước 2: Giả sử hệ thức đúng với một số tự nhiên bất kì n = k ≥ 1 tức là:

$1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{k (k + 1)}{2}$ (1)

Ta cần chứng minh hệ thức đúng với n = k + 1, tức là:

$1 + 2 + 3 + ... + k + k + 1 = \frac{(k + 1) (k + 2)}{2}$ (2)

Thật vậy:

Vế trái = 1 + 2 + 3+ … + k + k + 1

$\frac{k (k + 1)}{2} + k + 1$ (Do đẳng thức (1))

$= (k + 1) . (\frac{k}{2} + 1) = \frac{(k + 1) . (k + 2)}{2} = V P$

Vậy hệ thức đã cho đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

- Ví dụ 2. Chứng minh rằng với $\forall n \geq 1$ , ta có bất đẳng thức

$\frac{1.3.5.... (2 n - 1)}{2.4.6. . .2 n} < \frac{1}{\sqrt{2 n + 1}}$

Lời giải:

- Với n = 1, bất đẳng thức cho trở thành: $\frac{1}{2} < \frac{1}{\sqrt{3}}$ (đúng).

Vậy bất đẳng thức cho đúng với n = 1.

- Giả sử bất đẳng thức cho đúng với mọi số tự nhiên n = k ≥ 1, tức là :

$\frac{1.3.5.... (2 k - 1)}{2.4.6. . .2 k} < \frac{1}{\sqrt{2 k + 1}}$ (1)

-Ta chứng minh bất đẳng thức cho đúng với n = k + 1, tức là :

$\frac{1.3.5.... (2 k - 1) (2 k + 1)}{2.4.6. . .2 k (2 k + 2)} < \frac{1}{\sqrt{2 k + 3}}$ (2)

Thật vậy, ta có :

$V T (2) = \frac{1.3.5.... (2 k - 1)}{2.4.6. . .2 k} . \frac{2 k + 1}{2 k + 2} < \frac{1}{\sqrt{2 k + 1}} . \frac{2 k + 1}{2 k + 2} = \frac{\sqrt{2 k + 1}}{2 k + 2}$ (theo (1))