Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh \[a\sqrt 2 .\] Cạnh bên \[SA\] vuông góc với đáy. Góc giữa \[SC\] và mặt phẳng đáy bằng \[{45^0}.\] Gọi E là trung điểm của \[BC.\] Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \[DE\] và \[SC.\]
A.\[\frac{{2a\sqrt {19} }}{{19}}\]
B.\[\frac{{a\sqrt {10} }}{{19}}\]
C.\[\frac{{a\sqrt {10} }}{5}\]
D.\[\frac{{2a\sqrt {19} }}{5}\]
Giải bởi Vietjack
Phương pháp giải:
- Xác định mặt phẳng \[\left( P \right)\] chứa \[DE\] và song song với \[SC\], khi đó \[d\left( {DE;SC} \right) = d\left( {SC;\left( P \right)} \right)\].
- Đổi sang \[d\left( {A;\left( P \right)} \right)\]. Dựng khoảng cách.
- Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, định lí Pytago, diện tích … để tính khoảng cách.
Giải chi tiết:
![(VD): Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh \[a\sqrt 2 .\] Cạnh bên \[SA\] vuông góc với đáy. Góc giữa \[SC\] và mặt phẳng đáy bằng \[{45^0}.\] Gọi E là trung điểm của (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1649578518/1649578694-image8.png)
Trong \[\left( {ABCD} \right)\] gọi \[I = AC \cap DE\], trong \[\left( {SAC} \right)\] kẻ \[IG//SC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {G \in SA} \right)\], khi đó ta có \[DE \subset \left( {GDE} \right)//SC\].
\[ \Rightarrow d\left( {SC;DE} \right) = d\left( {SC;\left( {GDE} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {GDE} \right)} \right)\].
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \[\frac{{IC}}{{IA}} = \frac{{EC}}{{AD}} = \frac{1}{2}\], do \[AC \cap \left( {GDE} \right) = I\] nên \[\frac{{d\left( {C;\left( {GDE} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {GDE} \right)} \right)}} = \frac{{IC}}{{IA}} = \frac{1}{2}\] \[ \Rightarrow d\left( {C;\left( {GDE} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A;\left( {GDE} \right)} \right)\].
Trong \[\left( {ABCD} \right)\] kẻ \[AH \bot DE{\mkern 1mu} \left( {H \in DE} \right)\], trong \[\left( {GAH} \right)\] kẻ \[AK \bot GH{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {K \in GH} \right)\] ta có:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{DE \bot AH}\\{DE \bot AG}\end{array}} \right. \Rightarrow DE \bot \left( {AGH} \right) \Rightarrow DE \bot AK\]
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AK \bot GH}\\{AK \bot DE}\end{array}} \right. \Rightarrow AK \bot \left( {GDE} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {GDE} \right)} \right) = AK\]
Vì \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\] nên \[AC\] là hình chiếu vuông góc của \[SC\] lên \[\left( {ABCD} \right)\]
\[ \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;AC} \right) = \angle SCA = {45^0}\].
\[ \Rightarrow \Delta SAC\] vuông cân tại A.
Vì \[ABCD\] là hình vuông cạnh \[a\sqrt 2 \] nên .
Áp dụng định lí Ta-lét ta có \[\frac{{AG}}{{AS}} = \frac{{AI}}{{AC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow AG = \frac{{4a}}{3}\].
Ta có: \[{S_{\Delta AED}} = \frac{1}{2}d\left( {E;AD} \right).AD = \frac{1}{2}AB.AD = \frac{1}{2}a\sqrt 2 .a\sqrt 2 = {a^2}\].
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \[CDE\] ta có \[DE = \sqrt {C{D^2} + C{E^2}} = \sqrt {2{a^2} + \frac{{{a^2}}}{2}} = \frac{{a\sqrt {10} }}{2}\].
\[ \Rightarrow AH = \frac{{2{S_{AED}}}}{{ED}} = \frac{{2{a^2}}}{{\frac{{a\sqrt {10} }}{2}}} = \frac{{2a\sqrt {10} }}{5}\].
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \[GAH\] ta có
AK=AG.AH√AG2+AH2=4a3.2a√105
\[AK = \frac{{AG.AH}}{{\sqrt {A{G^2} + A{H^2}} }} = \frac{{\frac{{4a}}{3}.\frac{{2a\sqrt {10} }}{5}}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{4a}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{2a\sqrt {10} }}{5}} \right)}^2}} }} = \frac{{4a\sqrt {19} }}{{19}}\].
Vậy \[d\left( {DE;SC} \right) = \frac{1}{2} = \frac{{2a\sqrt {19} }}{{19}}\].
Đáp án A
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho hình chóp \[S.ABC\] có \[AB = 3a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BC = 4a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} CA = 5a\], các mặt bên tạo với đáy góc \[{60^0}\], hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] thuộc miền trong tam giác ABC. Tính thể tích hình chóp \[S.ABC\].
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho 15 và mỗi chữ số đều không vượt quá 5.
Tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \[3x - 2\] và đồ thị hàm số \[y = {x^2}\] quanh quanh trục \[Ox\].
Cho \[a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b\] là các số thực dương thỏa mãn \[{\log _{\sqrt {ab} }}\left( {a{\mkern 1mu} \sqrt[3]{b}} \right) = 3.\] Tính \[{\log _{\sqrt {ab} }}\left( {b{\mkern 1mu} \sqrt[3]{a}} \right).\]
Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy \[ABC\] là tam giác vuông cân tại B, \[AB = BC = 3a\], góc \[\angle SAB = \angle SCB = {90^0}\]và khoảng cách từ A đến mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] bằng \[a\sqrt 6 \]. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \[S.ABC\].
Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình \[\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| = 2m - 1\] có đúng 6 nghiệm thực phân biệt.
Biết rằng \[\int\limits_1^2 {\frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} + x}}dx = a + b\ln 3 + c\ln 2} \] với \[a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c\] là các số hữu tỉ. Tính \[2a + 3b - 4c.\]
Cho hàm số \[y = {x^3} - m{x^2} - {m^2}x + 8.\] Có bao nhiêu giá trị m nguyên để hàm số có điểm cực tiểu nằm hoàn toàn phía bên trên trục hoành?
Cho \[a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b\] là các số thực dương thỏa mãn \[{2^{a + b + 2ab - 3}} = \frac{{1 - ab}}{{a + b}}\]. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[{a^2} + {b^2}\] là:
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số \[y = {x^2} + 8\ln 2x - mx\] đồng biến trên \[\left( {0; + \infty } \right)\]?
Cho cấp số nhân \[\left( {{u_n}} \right)\] thỏa mãn \[2\left( {{u_3} + {u_4} + {u_5}} \right) = {u_6} + {u_7} + {u_8}\]. Tính \[\frac{{{u_8} + {u_9} + {u_{10}}}}{{{u_2} + {u_3} + {u_4}}}\].
Cho hàm số \[y = {x^3} - 3{x^2} + 2\]. Có bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị hàm số đi qua điểm \[A\left( {1;0} \right)\]?
Cho hàm số \[f\left( x \right)\] liên tục trên \[\left( {0; + \infty } \right)\] và thỏa mãn với mọi \[x >0\]. Tính \[\int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {f\left( x \right)dx} \].
Một lớp học có 30 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn một ban cán sự lớp gồm 3 học sinh. Tính xác suất để ban cán sự lớp có cả nam và nữ.
