Cho hình chóp \[S.ABC\] có \[SA = x\], \[BC = y\], \[AB = AC = SB = SC = 1\]. Thể tích khối chóp \[S.ABC\] lớn nhất khi tổng \[\left( {x + y} \right)\] bằng
A.\[4\sqrt 3 \].
B.\[\frac{2}{{\sqrt 3 }}\].
C.\[\sqrt 3 \].
D.\[\frac{4}{{\sqrt 3 }}\].
Giải bởi Vietjack
![Cho hình chóp \[S.ABC\] có \[SA = x\], \[BC = y\], \[AB = AC = SB = SC = 1\]. Thể tích khối chóp \[S.ABC\] lớn nhất khi tổng \[\left( {x + y} \right)\] bằng (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1649615523/1649615702-image28.png)
Gọi \(I,J\) lần lượt là trung điểm \(BC,SA\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AI\\BC \bot SI\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAI} \right).\)
Hai tam giác cân \(ABC,SBC\) bằng nhau nên \(IA = IS\) suy ra \(\Delta ISA\) cân tại \(I.\)
Trong \(\Delta SBI\) vuông tại \(I\) ta có \(SI = \sqrt {S{B^2} - B{I^2}} = \sqrt {{1^2} - \frac{{{y^2}}}{4}} .\)
Trong \(\Delta SAI\) cân tại \(I\) ta có \(IJ = \sqrt {S{I^2} - S{J^2}} = \sqrt {{1^2} - \frac{{{y^2}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{4}} .\)
Khi đó thể tích khối chóp \(S.ABC\) là \(V = \frac{1}{3}.BC.{S_{SAI}} = \frac{1}{3}.BC.AI.IJ = \frac{1}{6}xy\sqrt {1 - \frac{{{y^2} + {x^2}}}{4}} \)
Ta có \({x^2} + {y^2} \ge 2xy,\forall x,y \in \mathbb{R} \Rightarrow V \le \frac{1}{6}xy\sqrt {1 - \frac{{xy}}{2}} \)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{12}}\sqrt {xy} .\sqrt {xy} .\sqrt {4 - 2xy} \le \frac{1}{{12}}{\left( {\frac{{xy + xy + 4 - 2xy}}{3}} \right)^{\frac{3}{2}}} \le \frac{{2\sqrt 3 }}{{27}}\)
Dấu “=” xảy ra tại \(x = y = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\) suy ra \(x + y = \frac{4}{{\sqrt 3 }}.\)
Đáp án D
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho hàm đa thức \(y = f(x)\). Hàm số \(y = f'(x)\) có đồ thị như hình vẽ sau
![Cho hàm đa thức \(y = f(x)\). Hàm số \(y = f'(x)\) có đồ thị như hình vẽ sau Có bao nhiêu giá trị của \(m \in \left[ {0;\,6} \right];\,2m \in \mathbb{Z}\) để hàm số \(g(x) = f\left( {{x^2} - (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1649615523/1649615702-image19.png)
Có bao nhiêu giá trị của \(m \in \left[ {0;\,6} \right];\,2m \in \mathbb{Z}\) để hàm số \(g(x) = f\left( {{x^2} - 2\left| {x - 1} \right| - 2x + m} \right)\) có đúng \(9\) điểm cực trị?
Cho hình chóp \[S.ABCD\], đáy là hình chữ nhật tâm \[O\], \[AB = a\], \[AD = a\sqrt 3 \], \[SA = 3a\], \[SO\] vuông góc với mặt đáy \[\left( {ABCD} \right)\]. Thể tích khối chóp bằng
Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = m{x^4} - \left( {m - 3} \right){x^2} + {m^2}\)không có điểm cực đại là
Cho hàm số \(y = \frac{{x + m}}{{x - 1}}\) có đồ thị là đường cong \(\left( H \right)\) và đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \(y = x + 1\). Số giá trị nguyên của tham số \(m\) nhỏ hơn 10 để đường thẳng \(\Delta \) cắt đường cong \(\left( H \right)\) tại hai điểm phân biệt nằm về hai nhánh của đồ thị.
Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình sau \({3^{2x + 8}} - {4.3^{x + 5}} + 27 = 0\).
Cho hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 7x + 5\) có đồ thị là \(\left( C \right)\). Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ bằng 2 là:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm . Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) là
Hàm số \(y = \left| {{{\left( {x - 1} \right)}^3}\left( {x + 1} \right)} \right|\) có bao nhiêu điểm cực trị?
Cho \(x,y\) là các số thực thỏa mãn \({\log _9}x = {\log _{12}}y = {\log _{16}}\left( {x + 2y} \right)\). Giá trị tỉ số \(\frac{x}{y}\) là
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \[A\]. Biết \(AB = AA' = a\), \(AC = 2a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \[AC\]. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(MA'B'C'\) bằng
Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên
Tìm \(m\) để phương trình \(2f(x) + m = 0\) có đúng \(3\) nghiệm phân biệt
Cho hàm số \(y = \left( {x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right)\left( {3x + 1} \right)\left( {m + \left| {2x} \right|} \right)\) và \(y = - 12{x^4} - 22{x^3} - {x^2} + 10x + 3\) có đồ thị lần lượt là \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) . có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) trên đoạn \(\left[ { - 2020;2020} \right]\) để \(\left( {{C_1}} \right)\) cắt \(\left( {{C_2}} \right)\) tại \(3\) điểm phân biệt.
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{3}{{x - 2}}\) bằng
