Cho \(4\) số \(a,\,b,\,c,\,d\) thỏa mãn điều kiện \({a^2} + {b^2} = 4a + 6b - 9\) và \(3c + 4d = 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\left( {a - c} \right)^2} + {\left( {b - d} \right)^2}\) ?
A.\(\frac{8}{5}\).
B.\(\frac{{64}}{{25}}\).
C.\(\frac{7}{5}\).
D.\(\frac{{49}}{{25}}\).
Giải bởi Vietjack
Ta có: \({a^2} + {b^2} = 4a + 6b - 9 \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = {2^2}.\)
Trong hệ trục tọa độ \(Oxy\) gọi \(A\left( {a;b} \right),B\left( {c;d} \right).\)
Khi đó \(A\left( {a;b} \right)\) nằm trên đường tròn tâm \(I\left( {2;3} \right)\) bán kính \(R = 2\) có phương trình: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = {2^2}.\) \(B\left( {c;d} \right)\) nằm trên đường thẳng: \(3x + 4y = 1.\)
Vì \(\overrightarrow {BA} = \left( {a - c;b - d} \right)\) nên \(P = {\left( {a - c} \right)^2} + {\left( {b - d} \right)^2} = {\left| {\overrightarrow {BA} } \right|^2}.\) Khi đó \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(\left| {\overrightarrow {BA} } \right|\) nhỏ nhất.
Khoảng cách từ \(I\) đến \(\left( \Delta \right):{d_{\left( {I,\left( \Delta \right)} \right)}} = \frac{{3.2 + 4.3 - 1}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{17}}{5}.\) Vì \({d_{\left( {I,\left( \Delta \right)} \right)}} >R\) nên \(\left( I \right)\) và \(\left( \Delta \right)\) không giao nhau.
Suy ra \(\left| {\overrightarrow {BA} } \right|\) nhỏ nhất khi \(I,A,B\) thẳng hàng và \(A\) nằm giữa \(I,B\) và \(IB \bot \left( \Delta \right)\) như hình sau.
\(\min \left( P \right) = \min \left( {{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|}^2}} \right) = {\left( {\frac{7}{5}} \right)^2} = \frac{{49}}{{25}}.\)
Đáp án D
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho hàm đa thức \(y = f(x)\). Hàm số \(y = f'(x)\) có đồ thị như hình vẽ sau
![Cho hàm đa thức \(y = f(x)\). Hàm số \(y = f'(x)\) có đồ thị như hình vẽ sau Có bao nhiêu giá trị của \(m \in \left[ {0;\,6} \right];\,2m \in \mathbb{Z}\) để hàm số \(g(x) = f\left( {{x^2} - (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1649615523/1649615702-image19.png)
Có bao nhiêu giá trị của \(m \in \left[ {0;\,6} \right];\,2m \in \mathbb{Z}\) để hàm số \(g(x) = f\left( {{x^2} - 2\left| {x - 1} \right| - 2x + m} \right)\) có đúng \(9\) điểm cực trị?
Cho hình chóp \[S.ABCD\], đáy là hình chữ nhật tâm \[O\], \[AB = a\], \[AD = a\sqrt 3 \], \[SA = 3a\], \[SO\] vuông góc với mặt đáy \[\left( {ABCD} \right)\]. Thể tích khối chóp bằng
Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = m{x^4} - \left( {m - 3} \right){x^2} + {m^2}\)không có điểm cực đại là
Cho hàm số \(y = \frac{{x + m}}{{x - 1}}\) có đồ thị là đường cong \(\left( H \right)\) và đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \(y = x + 1\). Số giá trị nguyên của tham số \(m\) nhỏ hơn 10 để đường thẳng \(\Delta \) cắt đường cong \(\left( H \right)\) tại hai điểm phân biệt nằm về hai nhánh của đồ thị.
Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình sau \({3^{2x + 8}} - {4.3^{x + 5}} + 27 = 0\).
Cho hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 7x + 5\) có đồ thị là \(\left( C \right)\). Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ bằng 2 là:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm . Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) là
Hàm số \(y = \left| {{{\left( {x - 1} \right)}^3}\left( {x + 1} \right)} \right|\) có bao nhiêu điểm cực trị?
Cho \(x,y\) là các số thực thỏa mãn \({\log _9}x = {\log _{12}}y = {\log _{16}}\left( {x + 2y} \right)\). Giá trị tỉ số \(\frac{x}{y}\) là
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \[A\]. Biết \(AB = AA' = a\), \(AC = 2a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \[AC\]. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(MA'B'C'\) bằng
Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên
Tìm \(m\) để phương trình \(2f(x) + m = 0\) có đúng \(3\) nghiệm phân biệt
Cho hàm số \(y = \left( {x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right)\left( {3x + 1} \right)\left( {m + \left| {2x} \right|} \right)\) và \(y = - 12{x^4} - 22{x^3} - {x^2} + 10x + 3\) có đồ thị lần lượt là \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) . có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) trên đoạn \(\left[ { - 2020;2020} \right]\) để \(\left( {{C_1}} \right)\) cắt \(\left( {{C_2}} \right)\) tại \(3\) điểm phân biệt.
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{3}{{x - 2}}\) bằng
