Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _2}\left( {x\sqrt {{x^2} + 2} + 4 - {x^2}} \right) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2} \le 1\) là \(\left( { - \sqrt a ; - \sqrt b } \right].\)
A.\(\frac{{15}}{{16}}\).
B.\(\frac{{12}}{5}\).
C.\(\frac{{16}}{{15}}\).
D.\(\frac{5}{{12}}\).
Giải bởi Vietjack
Ta có: \(x\sqrt {{x^2} - 2} - {x^2} = x\left( {\sqrt {{x^2} + 2} - x} \right) = \frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} + 2} + x}}.\)
Ta có: \({\log _2}\left( {x\left( {\sqrt {{x^2} + 2} - x} \right) + 4} \right) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2} \le 1\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x\left( {\sqrt {{x^2} + 2} - x} \right) + 4} \right) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2} \le 1.\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {\frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} + 2} + x}} + 4} \right) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2} \le 1 \Leftrightarrow {\log _2}\frac{{2\left( {3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} } \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 2} + x}} + 2x + \sqrt {{x^2} + 2} \le 1,\left( 1 \right)\)
Ta có \(\sqrt {{x^2} + 2} + x >0,\forall x \in \mathbb{R}.\)
Điều kiện: \(3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} >0 \Leftrightarrow 2\sqrt {{x^2} + 2} >- 3x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 0\\\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\4{x^2} + 8 >9{x^2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x >- \sqrt {\frac{8}{5}} .\left( * \right)\)</>
Với điều kiện (*), ta có
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\log _2}\left( {3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} } \right) + 3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} \le {\log _2}\left( {\sqrt {{x^2} + 2} + x} \right) + \sqrt {{x^2} + 2} + x,\left( 2 \right).\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\) với \(t >0.\) Có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t.\ln 2}} + 1 >0,\forall t \in \left( {0; + \infty } \right).\)
Hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right),\left( {3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} } \right) \in \left( {0; + \infty } \right)\) và \(\left( {\sqrt {{x^2} + 2} + x} \right) \in \left( {0; + \infty } \right).\)
Nên \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow f\left( {3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} } \right) \le f\left( {\sqrt {{x^2} + 2} + x} \right)\)
\( \Leftrightarrow 3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} \le \sqrt {{x^2} + 2} + x \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2} \le - 2x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2x \ge 0\\{x^2} + 2 \le 4{x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\3{x^2} \ge 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x \le - \sqrt {\frac{2}{3}} .\)
Kết hợp với ĐK ta có tập nghiệm bất phương trình là \(\left( { - \sqrt {\frac{8}{5}} ; - \sqrt {\frac{2}{3}} } \right)\) hay \(a.b = \frac{{16}}{{15}}.\)
Đáp án C
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho khối chóp \(S.ABC,\) đáy \(ABC\) là tam giác có \(AB = AC = a,\widehat {BAC} = {60^0},\widehat {SBA} = \widehat {SCA} = {90^0},\) góc giữa \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\) bằng \({60^0}.\) Thể tích của khối chóp đã cho bằng:
Cho hai hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) đều có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn: \({f^3}\left( {2 - x} \right) - 2{f^2}\left( {2 + 3x} \right) + {x^2}g\left( x \right) + 36x = 0,\forall x \in \mathbb{R}.\) Tính \(A = 3f\left( 2 \right) + 4f'\left( 2 \right).\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình \(f\left( {\frac{1}{{\cos x}}} \right) = m\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)\) là?
Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số \(y = \left( {m - 1} \right){x^3} - 3\left( {m - 1} \right){x^2} + 3x + 2\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Cho phương trình:
\({2^{ - \left| {\left| {{m^3}} \right| - 3{m^2} + 1} \right|}}.{\log _{81}}\left( {\left| {\left| {{x^3}} \right| - 3{x^2} + 1} \right| + 2} \right) + {2^{ - \left| {\left| {{x^3}} \right| - 3{x^2} + 1} \right| - 2}}.{\log _3}\left( {\frac{1}{{\left| {\left| {{m^3}} \right| - 3{m^2} + 1} \right| + 2}}} \right) = 0\)
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) nguyên để phương trình đã cho có 6 nghiệm hoặc 7 nghiệm hoặc 8 nghiệm. Tính tổng bình phương tất cả các phần tử của tập \(S.\)
Cho hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2}\) có đồ thị như hình vẽ bên.
Tìm tất cả các giá trị \(m\) để phương trình \( - {x^4} + 2{x^2} = {\log _2}m\) có bốn nghiệm thực phân biệt
Cho tập \(X = \left\{ {1;2;3;...;8} \right\}\). Gọi \(A\) là tập hợp các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau từ \(X.\) Lấy ngẫu nhiên một số từ \(A.\) Tính xác suất để số lấy được chia hết cho 2222.
Một hình nón có bán kính đáy bằng 5 cm và diện tích xung quanh bằng \(30\pi c{m^2}.\) Tính thể tích \(V\) của khối nón đó.
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a.\) Số đo góc giữa \(\left( {BA'C} \right)\) và \(\left( {DA'C} \right).\)
Cho \(a,b,c\) là các số thực khác 0 thỏa mãn \({4^a} = {25^b} = {10^c}.\) Tính giá trị biểu thức \(A = \frac{c}{a} + \frac{c}{b}.\)
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ
Hàm số \(y = f\left( {1 - x} \right) + \frac{{{x^2}}}{2} - x\) nghịch biến trên khoảng
Anh Minh muốn xây dựng một hố ga không có nắp đậy dạng hình hộp chữ nhật có thể tích chứa được \(3200c{m^3}\), tỉ số giữa chiều cao và chiều rộng của hố ga bằng 2 . Xác định diện tích đáy của hố ga để khi xây hố tiết kiệm được nguyên vật liệu nhất.
Có bao nhiêu giá trị nguyên \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - mx + 4\) có hai điểm cực trị thuộc khoảng \(\left( { - 3;3} \right)?\)
Cho tứ diện \(ABCD\) có độ dài cạnh bằng \(a,\left( S \right)\) là mặt tiếp xúc với sáu cạnh của tứ diện \(ABCD.M\) là một điểm thay đổi trên \(\left( S \right).\) Tính tổng \(T = M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2}.\)
