Cho tập \(X = \left\{ {1;2;3;...;8} \right\}\). Gọi \(A\) là tập hợp các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau từ \(X.\) Lấy ngẫu nhiên một số từ \(A.\) Tính xác suất để số lấy được chia hết cho 2222.
A.\(\frac{{384}}{{8!}}\).
B.\(\frac{{192}}{{8!}}\).
C.\(\frac{{4!.4!}}{{8!}}\).
D.\(\frac{{C_8^2.C_6^2.C_2^2}}{{8!}}\).
Giải bởi Vietjack
\(A\) là tập hợp các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau từ \(X = \left\{ {1;2;3;...;8} \right\}\) nên \(A\) có số phần tử là 8! (số).
Giả sử lấy được từ tập \(A\) số có dạng \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}{a_8}} \) chia hết cho 2222 (với \({a_i} \in X,i = \overline {1,8} ).\)
Vì 2222 = 2.11.101 (2; 11; 101 là các số đôi một nguyên tố cùng nhau) nên \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}{a_8}} \) là số chữ đồng thời chia hết cho 11 và 101.
Ta có: \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}{a_8}} \vdots 11 \Rightarrow \left[ {\left( {{a_1} + {a_3} + {a_5} + {a_7}} \right) - \left( {{a_2} + {a_4} + {a_6} + {a_8}} \right)} \right] \vdots 11.\)
Mà \(\left( {{a_1} + {a_3} + {a_5} + {a_7}} \right) + \left( {{a_2} + {a_4} + {a_6} + {a_8}} \right) = 1 + 2 + ... + 8 = 36,{a_i} \in X,i = \overline {1,8} .\)
Suy ra \({a_1} + {a_3} + {a_5} + {a_7} = {a_2} + {a_4} + {a_6} + {a_8} = 18.\)
Lại có: \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}{a_8}} \vdots 101 \Rightarrow {a_1} + {a_5} = {a_3} + {a_7} = {a_2} + {a_6} = {a_4} + {a_8} = 9.\)
Nhận thấy các cặp chữ số có tổng bằng 9 lấy được từ \(X\) là: \(\left\{ {1;8} \right\};\left\{ {2;7} \right\};\left\{ {3;6} \right\};\left\{ {4;5} \right\}.\)
Khi đó để lập được một số có dạng \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}{a_8}} \) chia hết cho 2222, ta thực hiện liên tiếp các công đoạn sau:
+ Chọn 1 trong 4 cặp chữ số có tổng bằng 9: có 4 cách.
+ Xếp chữ số chẵn vào vị trí \({a_8}\) và chữ số lẻ vào vị trí \({a_4}:\) có 1 cách.
+ Chọn 1 trong 3 cặp chữ số có tổng bằng 9 còn lại: có 3 cách.
+ Xếp 2 chữ số trên vào vị trí \({a_1},{a_5}:\) có 2 cách.
+ Chọn 1 trong 2 cặp chữ số có tổng bằng 9 còn lại: có 2 cách.
+ Xếp 2 chữ số trên vào vị trí \({a_2},{a_6}:\) có 2 cách.
+ Cuối cùng xếp 2 chữ số của cặp còn lại vào vị trí \({a_3},{a_7}:\) có 2 cách.
Như vậy số các số cần tìm là \(4.1.3.2.2.2.2 = 192\) số.
Xét phép thử: “Lấy ngẫu nhiên một số từ \(A\)”.
Khi đó số phần tử của không gian mẫu là: \(n\left( \Omega \right) = 8!.\)
Biến cố B. “Số lấy được chia hết cho 2222” \( \Rightarrow n\left( B \right) = 192.\)
Vậy xác suất để số lấy được chia hết cho 2222 là:\(P\left( A \right) = \frac{{192}}{{8!}}.\)
Đáp án B
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho khối chóp \(S.ABC,\) đáy \(ABC\) là tam giác có \(AB = AC = a,\widehat {BAC} = {60^0},\widehat {SBA} = \widehat {SCA} = {90^0},\) góc giữa \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\) bằng \({60^0}.\) Thể tích của khối chóp đã cho bằng:
Cho hai hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) đều có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn: \({f^3}\left( {2 - x} \right) - 2{f^2}\left( {2 + 3x} \right) + {x^2}g\left( x \right) + 36x = 0,\forall x \in \mathbb{R}.\) Tính \(A = 3f\left( 2 \right) + 4f'\left( 2 \right).\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình \(f\left( {\frac{1}{{\cos x}}} \right) = m\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)\) là?
Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số \(y = \left( {m - 1} \right){x^3} - 3\left( {m - 1} \right){x^2} + 3x + 2\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Cho phương trình:
\({2^{ - \left| {\left| {{m^3}} \right| - 3{m^2} + 1} \right|}}.{\log _{81}}\left( {\left| {\left| {{x^3}} \right| - 3{x^2} + 1} \right| + 2} \right) + {2^{ - \left| {\left| {{x^3}} \right| - 3{x^2} + 1} \right| - 2}}.{\log _3}\left( {\frac{1}{{\left| {\left| {{m^3}} \right| - 3{m^2} + 1} \right| + 2}}} \right) = 0\)
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) nguyên để phương trình đã cho có 6 nghiệm hoặc 7 nghiệm hoặc 8 nghiệm. Tính tổng bình phương tất cả các phần tử của tập \(S.\)
Cho hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2}\) có đồ thị như hình vẽ bên.
Tìm tất cả các giá trị \(m\) để phương trình \( - {x^4} + 2{x^2} = {\log _2}m\) có bốn nghiệm thực phân biệt
Một hình nón có bán kính đáy bằng 5 cm và diện tích xung quanh bằng \(30\pi c{m^2}.\) Tính thể tích \(V\) của khối nón đó.
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a.\) Số đo góc giữa \(\left( {BA'C} \right)\) và \(\left( {DA'C} \right).\)
Cho \(a,b,c\) là các số thực khác 0 thỏa mãn \({4^a} = {25^b} = {10^c}.\) Tính giá trị biểu thức \(A = \frac{c}{a} + \frac{c}{b}.\)
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ
Hàm số \(y = f\left( {1 - x} \right) + \frac{{{x^2}}}{2} - x\) nghịch biến trên khoảng
Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _2}\left( {x\sqrt {{x^2} + 2} + 4 - {x^2}} \right) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2} \le 1\) là \(\left( { - \sqrt a ; - \sqrt b } \right].\)
Anh Minh muốn xây dựng một hố ga không có nắp đậy dạng hình hộp chữ nhật có thể tích chứa được \(3200c{m^3}\), tỉ số giữa chiều cao và chiều rộng của hố ga bằng 2 . Xác định diện tích đáy của hố ga để khi xây hố tiết kiệm được nguyên vật liệu nhất.
Có bao nhiêu giá trị nguyên \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - mx + 4\) có hai điểm cực trị thuộc khoảng \(\left( { - 3;3} \right)?\)
Cho tứ diện \(ABCD\) có độ dài cạnh bằng \(a,\left( S \right)\) là mặt tiếp xúc với sáu cạnh của tứ diện \(ABCD.M\) là một điểm thay đổi trên \(\left( S \right).\) Tính tổng \(T = M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2}.\)
