Cho phương trình \(\log _3^2x - \left( {2m + 1} \right){\log _3}x + {m^2} + m = 0.\) Gọi \(S\) là tập họp các giá trị của tham số thực \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) thỏa mãn \(\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 3} \right) = 48\). Số phần tử của tập \(S\) là
A. 1.
B. 3.
C. 2.
D. 0.
Giải bởi Vietjack
Đáp án A.
Đặt \(t = {\log _3}x.\) Khi đó phương trình trở thành: \({t^2} - \left( {2m + 1} \right)t + {m^2} + m = 0\left( * \right).\)
Nhận xét: Ứng với mỗi nghiệm \(t\) của phương trình \(\left( * \right)\) có một nghiệm \(x >0.\)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt khi phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta >0 \Leftrightarrow \Delta = {\left( {2m + 1} \right)^2} - 4\left( {{m^2} + m} \right) = 1 >0.\)
Vậy phương trình \(\left( * \right)\) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m.\)
Khi đó \({t_1} = \frac{{2m + 1 + 1}}{2} = m + 1 \Rightarrow {x_1} = {3^{m + 1}};{t_2} = \frac{{2m + 1 - 1}}{2} = m \Rightarrow {x_2} = {3^m}\) với \({x_1} < {x_2}.\)
Theo đề bài
\(\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 3} \right) = 48 \Leftrightarrow \left( {{3^m} + 1} \right)\left( {{3^{m + 1}} + 3} \right) = 48 \Leftrightarrow {3.3^{2m}} + {6.3^m} - 45 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{3^m} = 3\\{3^m} = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1.\)
Kết luận: Số phần tử của tập \(S\) là 1.
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Đội văn nghệ của lớp 12A có 5 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh của đội văn nghệ sao cho 2 học sinh có 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O\) cạnh \[a.\] Biết \(SA = SB = SC = a.\) Đặt \(SD = x\left( {0 < x < a\sqrt 3 } \right).\) Tính \(x\) theo \(a\) sao cho \(AC.SD\) đạt giá trị lớn nhất.
Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x + 4} - 2}}{{{x^2} - x}}\) là
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ:
Gọi \(S\) là tập các giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {4\left| {\sin x} \right| + m} \right) - 3 = 0\) có đúng 12 nghiệm phân biệt thuộc nửa khoảng \(\left( {0;4\pi } \right].\) Tổng các phần tử của \(S\) bằng
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^5} + 3{x^3} - 4m.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {\sqrt[3]{{f\left( x \right) + m}}} \right) = {x^3} - m\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {1;2} \right]?\)
Gọi \(S\) là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau lập từ các số \(0;1;2;3;4;5;6;7.\) Chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập hợp \(S.\) Tính xác suất để số được chọn có đúng 2 chữ số chẵn.
Tập nghiệm của bất phương trình \({6.9^x} - {12.6^x} + {6.4^x} \le 0\) có dạng \(S = \left[ {a;b} \right].\) Giá trị của biểu thức \({a^2} + {b^2}\) bằng
Hệ số của \({x^5}\) trong khai triển \({x^2}{\left( {x - 2} \right)^5} + {\left( {2x - 1} \right)^6}\) bằng
Phương trình tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{4 - 3x}}{{4x + 5}}\) là
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị như hình vẽ. Phương trình \(f\left( {2 - f\left( x \right)} \right) = 0\) có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?
Gọi \({x_1},{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) là hai nghiệm của phương trình \({3^{2x - 1}} - {4.3^x} + 9 = 0.\) Giá trị của biểu thức \(P = {x_2} - 2{x_1}\) bằng </>
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a,SA\) vuông góc với mặt đáy và \(SA = a\sqrt 2 .\) Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng
