Cho hình chóp S.ABCcó đáy ABClà tam giác đều cạnh a. Tam giác SABđều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích của khối chóp S.ABCbằng

Trong không gian Oxyz,cho điểm M thuộc mặt cầu (S) có phương trình \[{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9\] và ba điểm \[A\left( {1;0;0} \right)\], \[B\left( {2;1;3} \right)\]; \[C\left( {0;2; - 3} \right)\]. Biết rằng quỹ tích các điểm M thỏa mãn \[M{A^2} + 2\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} = 8\] là một đường tròn cố định, tính bán kính r đường tròn này.

Cho hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{{2^x}}}{{{2^x} + 2}}\]. Tính tổng \[f\left( 0 \right) + f\left( {\frac{1}{{10}}} \right) + ... + f\left( {\frac{{19}}{{10}}} \right)\].

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \[y = \left| {{x^4} - 4{x^3} - 8{x^2} - m} \right|\] có đúng 7 điểm cực trị?

Giải phương trình \[{2^x} + {2^{x + 1}} + {2^{x + 2}} = 16.\]

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \[y = \frac{{m\sin x - 9}}{{\sin x - m}}\] đồng biến trên khoảng \[\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\]?

Tính đạo hàm của hàm số \[y = {\log _{\frac{2}{3}}}\sqrt {{x^2} + 1} .\]

Biết rằng \[\int\limits_1^2 {x{{\left( {x - 1} \right)}^n}dx} = \frac{{27}}{{182}},\] với \[n \in {\mathbb{N}^*}.\] Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Trong không gian Oxyz,cho hai vectơ \[\vec u = \left( {1;0;2} \right)\] và \[\vec v = \left( { - 1;2;0} \right).\] Tính \[P = \cos \left( {\vec u;\vec v} \right).\]

Cho khối chóp S.ABCcó hai điểm \[M,{\rm{ }}N\] lần lượt thuộc hai cạnh \[SA,{\rm{ }}SB\] sao cho \[MA = 2MS,{\rm{ }}NS = 2NB.\] Mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] qua hai điểm M, N và song song với SC chia khối chóp thành hai khối đa diện. Tính tỉ số thể tích t của hai khối đa diện đó, biết \[t < 1.\]

Cho hai số phức \[{z_1} = 1 + 2i,{\rm{ }}{z_2} = 2 - 3i.\] Số phức \[w = {z_1} - {z_2}\] có phần ảo bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho mặt phẳng \[\left( P \right):2x - y + z - 6 = 0\] và đường thẳng \[d:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}.\] Viết phương trình đường thẳng Δ cắt mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt tại M và N sao cho \[A\left( {3;5;2} \right)\] là trung điểm của cạnh MN.

Cho hàm số f(x) liên tục trên \[\mathbb{R}\] và có đồ thị (C) như hình vẽ. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = f\left( x \right),{\rm{ }}y = 0,{\rm{ }}x = - 1,{\rm{ }}x = 2\] được tính theo công thức?