Câu hỏi:

15/08/2022 108

Cho parabol $(P) : y = x^{2} + 1$ và đường thẳng $d : y = m x + 2$ . Biết rằng tồn tại m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và d đạt giá trị nhỏ nhất, tính diện tích nhỏ nhất đó.

A. S = 4

B. S = $\frac{4}{3}$

Đáp án chính xác

C. S = 0

D. S = $\frac{2}{3}$

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn B.
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là :

$x^{2} + 1 = m x + 2 \Leftrightarrow x^{2} - m x - 1 = 0 ()$

Ta có $Δ = m^{2} + 4 > 0, \forall m \in R$ nên phương trình () luôn có 2 nghiệm phân biệt $x = a$ và $x = b (a < b) .$

Do đó (P) luôn cắt d tại 2 điểm phân biệt $A (a; m a + 2)$ và $B (b; m b + 2) .$

Với mọi m, đường thẳng d luôn đi qua điểm $M (0; 2) .$ Mà $y_{C T} = 1.$

Suy ra $m x + 2 \geq x^{2} + 1, \forall x \in [a; b] .$

Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và d là.

$\begin{array}{l} S = \int_{a}^{b} (m x + 2 - (x^{2} + 1)) d x = \int_{a}^{b} (m x + 1 - x^{2}) d x = (\frac{m x}{2} + x - \frac{x^{3}}{3}) |\begin{array}{l} b \\ a \end{array} \\ = (b - a) [\frac{m}{2} (b + a) + 1 - \frac{1}{3} (a^{2} + b^{2} + a b)] \\ = (b - a) [\frac{m}{2} (b + a) + 1 - \frac{1}{3} {(a + b)}^{2} + \frac{1}{3} a b] \\ \Rightarrow S^{2} = {(b - a)}^{2} {[\frac{m}{2} (b + a) + 1 - \frac{1}{3} {(a + b)}^{2} + \frac{1}{3} a b]}^{2} \\ = [{(b + a)}^{2} - 4 a b] {[\frac{m}{2} (b + a) + 1 - \frac{1}{3} {(a + b)}^{2} + \frac{1}{3} a b]}^{2} \end{array}$

Vì a, b là nghiệm của phương trình (*) nên ta có $\{\begin{cases} a + b = m \\ a b = - 1 \end{cases} .$

Khi đó $S^{2} = (m^{2} + 4) {(\frac{m^{2}}{6} + \frac{2}{3})}^{2} \geq 4. \frac{4}{9} = \frac{16}{9} .$

Đẳng thức xảy ra khi $m = 0.$ Vậy $S_{\min} = \frac{4}{3} .$

Câu trả lời này có hữu ích không?

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 200k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết

ĐĂNG KÝ VIP

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2 \sin 3 x \cos 2 x$ là :

Xem đáp án » 15/08/2022 302

Câu 2:

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{2} - 3 x + \frac{1}{x}$ là:

Xem đáp án » 15/08/2022 199

Câu 3:

Trong không gian Oxyz với hệ tọa độ $(O; \vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$ cho $\vec{O A} = - \vec{i} + 3 \vec{k}$ . Tìm tọa độ điểm A

Xem đáp án » 15/08/2022 198

Câu 4:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(-1; 2; -3), B(1; 0; 2), C(x,y,-2) thẳng hàng. Khi đó tổng x + y bằng bao nhiêu?

Xem đáp án » 15/08/2022 182

Câu 5:

Tích phân $I = \int_{0}^{\ln 2} x e^{- x} d x$ bằng:

Xem đáp án » 15/08/2022 169

Câu 6:

Để hàm số $f (x) = a \sin π x + b$ thỏa mãn $f (1) = 2$ và $\int_{0}^{1} f (x) d x = 4$ thì a, b nhận giá trị

Xem đáp án » 15/08/2022 167

Câu 7:

Tính nguyên hàm $I = \int \frac{\ln (l n x)}{x} d x$ được kết quả nào sau đây?

Xem đáp án » 15/08/2022 164

Câu 8:

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số $y = x e^{x^{2}}$ . Hàm số nào sau đây không phải là F(x):

Xem đáp án » 15/08/2022 153

Câu 9:

Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số $f (x) = a x + \frac{b}{x^{2}} (x \neq 0)$ , biết rằng $F (- 1) = 1$ , $F (1) = 4$ , $f (1) = 0$ . F(x) là biểu thức nào sau đây

Xem đáp án » 15/08/2022 147

Câu 10:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình bình hành MNPQ có M ( 2; 0; 0) ; N ( 0; -3; 0 ) ; P ( 0; 0; -4). Tìm tọa độ điểm Q

Xem đáp án » 15/08/2022 147

Câu 11:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(-1; 2; 4); B (- 1; 1; 4); C (0; 0; 4). Tìm số đo của $\hat{A B C}$

Xem đáp án » 15/08/2022 146

Câu 12:

Biết $\int_{0}^{b} (2 x - 4) d x = 0$ . Khi đó $b$ nhận giá trị bằng:

Xem đáp án » 15/08/2022 141

Câu 13:

Cho hàm số f liên tục trên đoạn $[a; b]$ có một nguyên hàm là hàm F trên đoạn $[a; b]$ . Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai ?

Xem đáp án » 15/08/2022 139

Câu 14:

Cho đồ thị hàm số y = f(x). Diện tích hình phẳng (phần có đánh dấu gạch trong hình) là:

Xem đáp án » 15/08/2022 139

Câu 15:

Cho hai hàm số $f (x)$ và $g (x)$ liên tục trên $[a; b]$ và thỏa mãn:

$0 < g (x) < f (x), \forall x \in [a; b]$ . Gọi V là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh Ox hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: $y = f (x), y = g (x)$ , $x = a; x = b$ . Khi đó V dược tính bởi công thức nào sau đây?

Xem đáp án » 15/08/2022 137

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đề thi liên quan

Xem thêm »

Bài tập về Tính đơn điệu của hàm số có lời giải

3 đề 5507 lượt thi Thi thử
250 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

10 đề 5184 lượt thi Thi thử
Bài tập tắc nghiệm ứng dụng đạo hàm - Toán 12 có đáp án

7 đề 4522 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao

11 đề 4016 lượt thi Thi thử
Bài tập Cực trị hàm số cơ bản, nâng cao có lời giải

5 đề 2755 lượt thi Thi thử
200 câu trắc nghiệm Phương pháp tọa độ trong không gian NC (có đáp án)

9 đề 2525 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Khái niệm về thể tích của khối đa diện có đáp án

6 đề 2361 lượt thi Thi thử
70 câu trắc nghiệm Khối đa diện cơ bản

6 đề 2260 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Ôn tập Toán 12 Chương 1 có đáp án

3 đề 2212 lượt thi Thi thử
150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân cơ bản (có đáp án)

6 đề 2193 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Câu hỏi:

Cho parabol P:y=x2+1 và đường thẳng d:y=mx+2. Biết rằng tồn tại m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và d đạt giá trị nhỏ nhất, tính diện tích nhỏ nhất đó.

A. S = 4

B. S = 43

C. S = 0

D. S = 23

Trả lời:

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Nguyên hàm của hàm số f(x)=2sin3xcos2x là :

Cho parabol $(P) : y = x^{2} + 1$ và đường thẳng $d : y = m x + 2$ . Biết rằng tồn tại m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và d đạt giá trị nhỏ nhất, tính diện tích nhỏ nhất đó.

B. S = $\frac{4}{3}$

D. S = $\frac{2}{3}$

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2 \sin 3 x \cos 2 x$ là :