Cường độ ánh sáng đi qua môi trường nước biển giảm dần theo công thức $I=I_0.e^{-\mu x}$, với $I_0$ là cường độ ánh sáng bắt đầu đi vào môi trường nước biển và x là độ dày của môi trường đó (tính theo đơn vị mét). Biết rằng môi trường nước biển có hằng số hấp thụ là $\mu =1,4$. Hỏi ở độ sâu 30 mét thì cường độ ánh sáng giảm đi bao nhiêu lần so với nường độ ánh sáng lúc ánh sáng bắt đầu đi vào nước biển?

I. Khái niệm về lôgarit

1. Định nghĩa

Cho hai số dương a; b với a ≠ 1 . Số α thỏa mãn đẳng thức a^α = b được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là log_ab.

$\alpha ={\log }_{a}b\iff a^{\alpha }=b$

Ví dụ 1.

a) log₃ 27 = 3 vì 3³ = 27.

b) $\log {}_4\left(\frac{1}{16}\right)=-2$ vì $4^{-2}=\frac{1}{16}$.

– Chú ý: Không có logarit của số âm và số 0.

2. Tính chất

Cho hai số dương a và b; a ≠  1.  Ta có các tính chất sau đây:

log_a1 = 0; log_aa = 1

$a^{{\log }_{a}b}=b;\log {}_a\left(a^{\alpha }\right)=\alpha$

Ví dụ 2.

$4^{-2{\log }_{4}3}={\left(4^{{\log }_{4}3}\right)}^{-2}={\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}3}}^{-2}=\frac{1}{9}$

$\log {}_3\left(\frac{1}{27}\right)={\log }_3\left(3^{-3}\right)=-3$

II. Quy tắc tính logarit

1. Logarit của một tích

– Định lí 1. Cho ba số dương a; b₁ ;b₂ với a ≠ 1. Ta có:

${\log }_a(b_1.b{}_2)={\log }_a{b}_1+{\log }_a{b}_2$

Logarit của một tích bằng tổng các logarit.

Ví dụ 3.

${\log }_{2}12+{\log }_2\frac{1}{3}={\log }_2(12.\frac{1}{3})={\log }_{2}4=2$

– Chú ý:

Định lí 1 có thể mở rộng cho tích n số dương:

${\log }_a(b_1.b{}_2\mathrm{\dots }.b_n)={\log }_a{b}_1+{\log }_{a}b{}_2+\mathrm{\dots }.+{\log }_a{b}_n$

( a; b₁; b₂; ..; b_n > 0;  a ≠ 1)

 2. Logarit của một thương

– Định lí 2. Cho ba số dương a; b₁ ;b₂ với a ≠ 1. Ta có:

${\log }_a\frac{b_1}{b_2}={\log }_a{b}_1-{\log }_a{b}_2$

Logarit của một thương bằng hiệu các logarit.

Đặc biệt: ${\log }_a\frac{1}{b}=-{\log }_{a}b$ ( a > 0; b > 0;  a ≠ 1)

– Ví dụ 4. $\log {}_5\mathrm{\hspace{0.17em}75}-{\log }_{5}3={\log }_5\frac{75}{3}={\log }_{5}25=2$

3. Logarit của một lũy thừa.

– Định lí 3. Cho hai số dương a; b và a ≠ 1 . Với mọi số α, ta có:

${\log }_a{b}^{\alpha }=\alpha {\log }_{a}b$

Logarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với logarit của cơ số.

– Đặc biệt: ${\log }_a\sqrt[n]{b}=\frac{1}{n}{\log }_{a}b$

– Ví dụ 5.

$\begin{array}{c}\log {}_{7}3^6=\mathrm{\hspace{0.17em}6}{\log }_{7}3\{{\log }_3\sqrt[5]{4}=\frac{1}{5}{\log }_{3}4\end{array}$

III. Đổi cơ số.

– Định lí 4. Cho ba số dương a; b; c với a ≠ 1 ;  c ≠ 1, ta có:

${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$

– Đặc biệt:

 $\begin{array}{c}{\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}(b\ne 1)\{{\log }_{a^{\alpha }}b=\frac{1}{\alpha }{\log }_{a}b(\alpha \mathrm{ }\ne 0)\end{array}$

Ví dụ 6. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) $5^{{\log }_{\frac{1}{125}}8}$

b) ${\log }_{2}3.{\log }_{3}4.\mathrm{\dots }.{\log }_{7}8$

Lời giải:

a) Ta có: ${\log }_{\frac{1}{125}}\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}8}={\log }_{5^{-3}}8=\frac{-1}{3}{\log }_5{2}^3$

$=\frac{-1}{3}\mathrm{.\hspace{0.17em}3}{\log }_{5}2=\mathrm{ }-{\log }_{5}2={\log }_5{2}^{-1}={\log }_5\frac{1}{2}$

$\Rightarrow 5^{{\log }_{\frac{1}{125}}8}={\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}5}}^{{\log }_5\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}.$

b) Ta có: ${\log }_{2}3.{\log }_{3}4.\mathrm{\dots }.{\log }_{7}8$

$\begin{array}{c}={\log }_{2}3.\frac{{\log }_{2}4}{{\log }_{2}3}.\frac{{\log }_{2}5}{{\log }_{2}4}\mathrm{\dots }.\frac{{\log }_{2}8}{{\log }_{2}7}={\log }_{2}8=\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}3}\end{array}$

IV. Logarit thập phân. Logarit tự nhiên.

1. Logarit thập phân

Logarit thập phân là logarit cơ số 10.

log₁₀b thường được viết là logb hoặc lgb.

2. Logarit tự nhiên

 – Logarit tự nhiên là logarit cơ số e.

log_eb được viết là lnb.