Các khí thải gây hiệu ứng nhà kính là nguyên nhân chủ yếu làm trái đất nóng lên. Theo OECD (Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế thế giới), khi nhiệt độ trái đất tăng lên thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm. Người ta ước tính rằng khi nhiệt độ trái đất tăng thêm $2°C$ thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm 3%, còn khi nhiệt độ trái đất tăng thêm $5°C$ thì tổng giá trị kinh tế toàn càu giảm 10%. Biết rằng nếu nhiệt độ trái đất tăng thêm $t°C$, tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm $f\left(t\right)=k.a^t$ (trong đó a, k là các hằng số dương). Nhiệt độ trái đất tăng thêm bao nhiêu độ C thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm ?

I. Khái niệm về lôgarit

1. Định nghĩa

Cho hai số dương a; b với a ≠ 1 . Số α thỏa mãn đẳng thức a^α = b được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là log_ab.

$\alpha ={\log }_{a}b\iff a^{\alpha }=b$

Ví dụ 1.

a) log₃ 27 = 3 vì 3³ = 27.

b) $\log {}_4\left(\frac{1}{16}\right)=-2$ vì $4^{-2}=\frac{1}{16}$.

– Chú ý: Không có logarit của số âm và số 0.

2. Tính chất

Cho hai số dương a và b; a ≠  1.  Ta có các tính chất sau đây:

log_a1 = 0; log_aa = 1

$a^{{\log }_{a}b}=b;\log {}_a\left(a^{\alpha }\right)=\alpha$

Ví dụ 2.

$4^{-2{\log }_{4}3}={\left(4^{{\log }_{4}3}\right)}^{-2}={\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}3}}^{-2}=\frac{1}{9}$

$\log {}_3\left(\frac{1}{27}\right)={\log }_3\left(3^{-3}\right)=-3$

II. Quy tắc tính logarit

1. Logarit của một tích

– Định lí 1. Cho ba số dương a; b₁ ;b₂ với a ≠ 1. Ta có:

${\log }_a(b_1.b{}_2)={\log }_a{b}_1+{\log }_a{b}_2$

Logarit của một tích bằng tổng các logarit.

Ví dụ 3.

${\log }_{2}12+{\log }_2\frac{1}{3}={\log }_2(12.\frac{1}{3})={\log }_{2}4=2$

– Chú ý:

Định lí 1 có thể mở rộng cho tích n số dương:

${\log }_a(b_1.b{}_2\mathrm{\dots }.b_n)={\log }_a{b}_1+{\log }_{a}b{}_2+\mathrm{\dots }.+{\log }_a{b}_n$

( a; b₁; b₂; ..; b_n > 0;  a ≠ 1)

 2. Logarit của một thương

– Định lí 2. Cho ba số dương a; b₁ ;b₂ với a ≠ 1. Ta có:

${\log }_a\frac{b_1}{b_2}={\log }_a{b}_1-{\log }_a{b}_2$

Logarit của một thương bằng hiệu các logarit.

Đặc biệt: ${\log }_a\frac{1}{b}=-{\log }_{a}b$ ( a > 0; b > 0;  a ≠ 1)

– Ví dụ 4. $\log {}_5\mathrm{\hspace{0.17em}75}-{\log }_{5}3={\log }_5\frac{75}{3}={\log }_{5}25=2$

3. Logarit của một lũy thừa.

– Định lí 3. Cho hai số dương a; b và a ≠ 1 . Với mọi số α, ta có:

${\log }_a{b}^{\alpha }=\alpha {\log }_{a}b$

Logarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với logarit của cơ số.

– Đặc biệt: ${\log }_a\sqrt[n]{b}=\frac{1}{n}{\log }_{a}b$

– Ví dụ 5.

$\begin{array}{c}\log {}_{7}3^6=\mathrm{\hspace{0.17em}6}{\log }_{7}3\{{\log }_3\sqrt[5]{4}=\frac{1}{5}{\log }_{3}4\end{array}$

III. Đổi cơ số.

– Định lí 4. Cho ba số dương a; b; c với a ≠ 1 ;  c ≠ 1, ta có:

${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$

– Đặc biệt:

 $\begin{array}{c}{\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}(b\ne 1)\{{\log }_{a^{\alpha }}b=\frac{1}{\alpha }{\log }_{a}b(\alpha \mathrm{ }\ne 0)\end{array}$

Ví dụ 6. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) $5^{{\log }_{\frac{1}{125}}8}$

b) ${\log }_{2}3.{\log }_{3}4.\mathrm{\dots }.{\log }_{7}8$

Lời giải:

a) Ta có: ${\log }_{\frac{1}{125}}\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}8}={\log }_{5^{-3}}8=\frac{-1}{3}{\log }_5{2}^3$

$=\frac{-1}{3}\mathrm{.\hspace{0.17em}3}{\log }_{5}2=\mathrm{ }-{\log }_{5}2={\log }_5{2}^{-1}={\log }_5\frac{1}{2}$

$\Rightarrow 5^{{\log }_{\frac{1}{125}}8}={\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}5}}^{{\log }_5\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}.$

b) Ta có: ${\log }_{2}3.{\log }_{3}4.\mathrm{\dots }.{\log }_{7}8$

$\begin{array}{c}={\log }_{2}3.\frac{{\log }_{2}4}{{\log }_{2}3}.\frac{{\log }_{2}5}{{\log }_{2}4}\mathrm{\dots }.\frac{{\log }_{2}8}{{\log }_{2}7}={\log }_{2}8=\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}3}\end{array}$

IV. Logarit thập phân. Logarit tự nhiên.

1. Logarit thập phân

Logarit thập phân là logarit cơ số 10.

log₁₀b thường được viết là logb hoặc lgb.

2. Logarit tự nhiên

 – Logarit tự nhiên là logarit cơ số e.

log_eb được viết là lnb.