Một quần thể vi khuẩn lúc đầu có 200 cá thể và cứ sau một ngày thì số lượng cá thể tăng lên gấp ba lần. Tìm công thức biểu thị số lượng cá thể (kí hiệu N) của quần thể này sau t ngày kể từ lúc ban đầu.

I. Hàm số mũ

1. Định nghĩa.

Cho số thực dương a khác 1.

Hàm số y = a^x được gọi là hàm số mũ cơ số a.

Ví dụ 1. Các hàm số y = 2^x; $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x;y={\left(\sqrt{3}\right)}^x$ là các hàm số mũ.

2. Đạo hàm của hàm số mũ

Ta thừa nhận công thức: $\underset{t\to 0}{lim}\frac{e^t-1}{t}=1$

– Định lí 1: Hàm số y = e^x có đạo hàm tại mọi x và (e^x)’ = e^x.

– Chú ý: Công thức đạo hàm của hàm hợp đối với hàm số e^u ( với u = u(x))

là (e^u)’ = u’. e^u.

– Định lí 2: Hàm số y = a^x ( a > 0; a ≠ 1) có đạo hàm tại mọi x và: (a^x)’ = a^x. ln a

– Chú ý:  Đối với hàm hợp y = a^u(x) ta có: (a^u)’ = a^u. lnu . u’

Ví dụ 2. Hàm số $y={\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2}}^{-x^2+\mathrm{\hspace{0.17em}2}x-10}$ có đạo hàm là:

$y^{\text{'}}={\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2}}^{-x^2+\mathrm{\hspace{0.17em}2}x-10}.{(-x^2+\mathrm{\hspace{0.17em}2}x-10)}^{\text{'}}.\ln 2={\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2}}^{-x^2+\mathrm{\hspace{0.17em}2}x-10}.(-2x+2)\ln 2$

3. Khảo sát hàm số mũ y = a^x ( a > 0 và a ≠ 1).

 Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số mũ y = a^x ( a > 0; a ≠ 1).

 II. Hàm số logarit

1. Định nghĩa.

Cho số thực dương a khác 1.

Hàm số y = log_ax được gọi là hàm số logarit cơ số a.

Ví dụ 3. Các hàm số y = log₅ x; $y={\log }_{\frac{2}{3}}x;y={\log }_{\sqrt{3}}x$; y = ln x là các hàm số logarit với cơ số lần lượt là $5;\frac{2}{3};\sqrt{3}$ và e.

2. Đạo hàm của hàm số logarit

– Định lí 3. Hàm số y = log_a x (a > 0; a ≠ 1) có đạo hàm tại mọi x > 0 và ${({\log }_{a}x)}^{\text{'}}=\frac{1}{x\ln a}$

– Đặc biệt: ${(\ln x)}^{\text{'}}=\frac{1}{x}$.

– Chú ý:

 Đối với hàm hợp y = log_au(x); ta có: ${({\log }_{a}u)}^{\text{'}}=\frac{u^{\text{'}}}{u\ln a}$                                                                                                 

– Ví dụ 4. Hàm số y = log₄ (x² + 2x – 7) có đạo hàm là:

${({\log }_4(x^2+\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2}x-7))}^{\text{'}}=\frac{{(x^2+2x-7)}^{\text{'}}}{(x^2+2x-7)\ln 4}=\frac{2x+\mathrm{\hspace{0.17em}2}}{(x^2+2x-7)\ln 4}$.

3. Khảo sát hàm số logarit y = log_a x ( a > 0; a ≠ 1).

Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số y = log_ax (a > 0;  a ≠ 1 ).

 Nhận xét:

 Đồ thị của các hàm số y = a^x và y = log_a x ( a > 0; a ≠ 1) đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x.

Bảng đạo hàm của các hàm số lũy thừa, mũ, logarit.