Giả sử số lượng cá thể trong một mẻ cấy vi khuẩn thay đổi theo thời gian t theo công thức $N\left(t\right)=5000\left(25+t{e}^{-\frac{t}{20}}\right)$

Tìm số lượng cá thể vi khuẩn lớn nhất (kí hiệu M) và nhỏ nhất (kí hiệu m) của mẻ cấy này trong khoảng thời gian 0 ≤ t ≤ 100

I. Hàm số mũ

1. Định nghĩa.

Cho số thực dương a khác 1.

Hàm số y = a^x được gọi là hàm số mũ cơ số a.

Ví dụ 1. Các hàm số y = 2^x; $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x;y={\left(\sqrt{3}\right)}^x$ là các hàm số mũ.

2. Đạo hàm của hàm số mũ

Ta thừa nhận công thức: $\underset{t\to 0}{lim}\frac{e^t-1}{t}=1$

– Định lí 1: Hàm số y = e^x có đạo hàm tại mọi x và (e^x)’ = e^x.

– Chú ý: Công thức đạo hàm của hàm hợp đối với hàm số e^u ( với u = u(x))

là (e^u)’ = u’. e^u.

– Định lí 2: Hàm số y = a^x ( a > 0; a ≠ 1) có đạo hàm tại mọi x và: (a^x)’ = a^x. ln a

– Chú ý:  Đối với hàm hợp y = a^u(x) ta có: (a^u)’ = a^u. lnu . u’

Ví dụ 2. Hàm số $y={\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2}}^{-x^2+\mathrm{\hspace{0.17em}2}x-10}$ có đạo hàm là:

$y^{\text{'}}={\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2}}^{-x^2+\mathrm{\hspace{0.17em}2}x-10}.{(-x^2+\mathrm{\hspace{0.17em}2}x-10)}^{\text{'}}.\ln 2={\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2}}^{-x^2+\mathrm{\hspace{0.17em}2}x-10}.(-2x+2)\ln 2$

3. Khảo sát hàm số mũ y = a^x ( a > 0 và a ≠ 1).

 Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số mũ y = a^x ( a > 0; a ≠ 1).

 II. Hàm số logarit

1. Định nghĩa.

Cho số thực dương a khác 1.

Hàm số y = log_ax được gọi là hàm số logarit cơ số a.

Ví dụ 3. Các hàm số y = log₅ x; $y={\log }_{\frac{2}{3}}x;y={\log }_{\sqrt{3}}x$; y = ln x là các hàm số logarit với cơ số lần lượt là $5;\frac{2}{3};\sqrt{3}$ và e.

2. Đạo hàm của hàm số logarit

– Định lí 3. Hàm số y = log_a x (a > 0; a ≠ 1) có đạo hàm tại mọi x > 0 và ${({\log }_{a}x)}^{\text{'}}=\frac{1}{x\ln a}$

– Đặc biệt: ${(\ln x)}^{\text{'}}=\frac{1}{x}$.

– Chú ý:

 Đối với hàm hợp y = log_au(x); ta có: ${({\log }_{a}u)}^{\text{'}}=\frac{u^{\text{'}}}{u\ln a}$                                                                                                 

– Ví dụ 4. Hàm số y = log₄ (x² + 2x – 7) có đạo hàm là:

${({\log }_4(x^2+\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2}x-7))}^{\text{'}}=\frac{{(x^2+2x-7)}^{\text{'}}}{(x^2+2x-7)\ln 4}=\frac{2x+\mathrm{\hspace{0.17em}2}}{(x^2+2x-7)\ln 4}$.

3. Khảo sát hàm số logarit y = log_a x ( a > 0; a ≠ 1).

Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số y = log_ax (a > 0;  a ≠ 1 ).

 Nhận xét:

 Đồ thị của các hàm số y = a^x và y = log_a x ( a > 0; a ≠ 1) đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x.

Bảng đạo hàm của các hàm số lũy thừa, mũ, logarit.