Số nghiệm nguyên dương của bất phương trình $2^x<3^{\frac{x}{2}}+1$

I. Bất phương trình mũ.

1. Bất phương trình mũ cơ bản

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng a^x > b ( hoặc a^x < b; $a^x\ge b;a^x\le b$) với a > 0 và a ≠  1.

Ta xét bất phương trình a^x > b

+ Nếu b ≤ 0 tập nghiệm của bất phương trình là $R$ vì a^x > 0 $\ge b;\forall x\in R$.

+ Nếu b > 0 thì tập nghiệm của bất phương trình tương đương $a^x>a^{{\log }_{a}b}$.

Với a > 1, tập nghiệm của bất phương trình là x > log_ab.

Với 0 <  a < 1, tập nghiệm của bất phương trình là x < log_ab.

– Ví dụ 1.

a) 5^x  >  125 $\iff$x > log₅125 $\iff$ x >  3.

b) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x>\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}27}\iff x<{\log }_{\frac{1}{3}}27\iff x<-3$

Kết luận. Tập nghiệm của bất phương trình a^x > b được cho trong bảng sau:

 2. Bất phương trình mũ đơn giản

– Ví dụ 2. Giải bất phương trình 3^{x + 2} < 27.

Lời giải:

Ta có: 27 = 3³

Vì cơ số 3 > 1 nên x + 2 < 3

$\iff$ x < 1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là x < 1.

II. Bất phương trình logarit

1. Bất phương trình logarit cơ bản

Bất phương trình logarit cơ bản có dạng log_a x > b ( hoặc log_ax < 0;  ${\log }_{a}x\le 0;{\log }_{a}x\ge 0$) với a > 0; a ≠ 1.

Xét bất phương trình log_ax > b

+ Trường hợp a > 1 ta có: log_ax > b$\iff$x > a^b.

+ Trường hợp 0 < a < 1 ta có: log_ax > b$\iff$0 < x < a^b.

– Ví dụ 3.

a) log₂x > 7$\iff$x > 2⁷.

b) ${\log }_{\frac{2}{5}}x<\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}3}\iff x>{\left(\frac{2}{5}\right)}^3$

Kết luận: Nghiệm của bất phương trình log_ax > b được cho trong bảng sau:

 2. Bất phương trình logarit đơn giản

– Ví dụ 4. Giải bất phương trình ${\log }_3(x^2+2x)$ > ${\log }_3(x+2)$.

Lời giải:

Điều kiện của bất phương trình:

$\{\begin{array}{c}{x}^2+2x>0\\ x+\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2}>\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}0}\end{array}\iff [\begin{array}{c}[\begin{array}{c}x>\mathrm{\hspace{0.17em}0}\\ x<-2\end{array}\\ x>-2\end{array}\iff x>\mathrm{\hspace{0.17em}0}$

Ta có: ${\log }_3(x^2+2x)>{\log }_3(x+2)$

Vì cơ số 3 > 1 nên:  x² + 2x > x + 2

$\iff$x² + x – 2 > 0 $\iff [\begin{array}{c}x>\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}1}\\ x<-2\end{array}$

Kết hợp điều kiện, vậy x > 1.