Giải bất phương trình $\ln \frac{2x}{x-1}>0$ (*), một học sinh lập luận qua ba bước như sau:

Bước 1: Điều kiện $\frac{2x}{x-1}>0\iff \left[\begin{array}{c}x<0\\ x>1\end{array}\right.\left(1\right)$

Bước 2: Ta có: $\frac{2x}{x-1}>0\iff \ln \frac{2x}{x-1}>\ln 1\iff \frac{2x}{x-1}>1$(2)

Bước 3: $\left(2\right)\iff 2x>x-1\iff x>-1$ (3)

Kết hợp (3) và (2) ta được: $\left(-1;0\right)\cup \left(1;+\infty \right)$

Hỏi lập luận trên là đúng hay sai? Nếu sai thì sai thừ bước nào?

I. Bất phương trình mũ.

1. Bất phương trình mũ cơ bản

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng a^x > b ( hoặc a^x < b; $a^x\ge b;a^x\le b$) với a > 0 và a ≠  1.

Ta xét bất phương trình a^x > b

+ Nếu b ≤ 0 tập nghiệm của bất phương trình là $R$ vì a^x > 0 $\ge b;\forall x\in R$.

+ Nếu b > 0 thì tập nghiệm của bất phương trình tương đương $a^x>a^{{\log }_{a}b}$.

Với a > 1, tập nghiệm của bất phương trình là x > log_ab.

Với 0 <  a < 1, tập nghiệm của bất phương trình là x < log_ab.

– Ví dụ 1.

a) 5^x  >  125 $\iff$x > log₅125 $\iff$ x >  3.

b) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x>\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}27}\iff x<{\log }_{\frac{1}{3}}27\iff x<-3$

Kết luận. Tập nghiệm của bất phương trình a^x > b được cho trong bảng sau:

 2. Bất phương trình mũ đơn giản

– Ví dụ 2. Giải bất phương trình 3^{x + 2} < 27.

Lời giải:

Ta có: 27 = 3³

Vì cơ số 3 > 1 nên x + 2 < 3

$\iff$ x < 1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là x < 1.

II. Bất phương trình logarit

1. Bất phương trình logarit cơ bản

Bất phương trình logarit cơ bản có dạng log_a x > b ( hoặc log_ax < 0;  ${\log }_{a}x\le 0;{\log }_{a}x\ge 0$) với a > 0; a ≠ 1.

Xét bất phương trình log_ax > b

+ Trường hợp a > 1 ta có: log_ax > b$\iff$x > a^b.

+ Trường hợp 0 < a < 1 ta có: log_ax > b$\iff$0 < x < a^b.

– Ví dụ 3.

a) log₂x > 7$\iff$x > 2⁷.

b) ${\log }_{\frac{2}{5}}x<\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}3}\iff x>{\left(\frac{2}{5}\right)}^3$

Kết luận: Nghiệm của bất phương trình log_ax > b được cho trong bảng sau:

 2. Bất phương trình logarit đơn giản

– Ví dụ 4. Giải bất phương trình ${\log }_3(x^2+2x)$ > ${\log }_3(x+2)$.

Lời giải:

Điều kiện của bất phương trình:

$\{\begin{array}{c}{x}^2+2x>0\\ x+\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2}>\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}0}\end{array}\iff [\begin{array}{c}[\begin{array}{c}x>\mathrm{\hspace{0.17em}0}\\ x<-2\end{array}\\ x>-2\end{array}\iff x>\mathrm{\hspace{0.17em}0}$

Ta có: ${\log }_3(x^2+2x)>{\log }_3(x+2)$

Vì cơ số 3 > 1 nên:  x² + 2x > x + 2

$\iff$x² + x – 2 > 0 $\iff [\begin{array}{c}x>\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}1}\\ x<-2\end{array}$

Kết hợp điều kiện, vậy x > 1.