Thời gian và vận tốc của một vật khi nó đang trược xuống mặt phẳng nghiêng được xác định bởi công thức $\int \frac{2}{20-3v}dv$(giây). Chọn gốc thời gian là lúc vật bắt đầu chuyển động. Hãy tìm phương trình vận tốc.

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn f(-x) + 2f(x) = cosx. Tính tích phân $I = {\int }_{\frac{-\mathrm{\pi }}{2}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}f\left(x\right)dx$

Tính nguyên hàm $\int \frac{\ln (\ln x)}{x}dx$

Vận tốc của một vật chuyển động là $v\left(t\right) = \frac{1}{2\mathrm{\pi }}+\frac{\sin \left(\mathrm{\pi t}\right)}{\mathrm{\pi }}$(m/s). Tính quãng đường di chuyển của vật đó trong khoảng thời gian 1,5 giây (làm tròn đến kết quả hàng phần trăm)

Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi h(t) là thể tích nước bơm được sau t giây. Cho $h\text{'}\left(t\right) = 3a{t}^2+bt$ và:

- Ban đầu bể không có nước

- Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là $150m^3$

- Sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là $1100m^3$

Tính thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây.

Cho ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}(2x-1-\sin x)dx = \mathrm{\pi }\left(\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{a}}-\frac{1}{\mathrm{b}}\right)-1$. Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là sai?

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^2$ và $y = \sqrt{x}$. Tính giá trị của biểu thức $3S{(3S-2)}^{2018}$

Cho hàm số $g\left(x\right) = {\int }_x^{x^2}\frac{dt}{\ln t}$ với x>1. Tìm tập giá trị T của hàm số

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \left(\sqrt{x}+1\right)\ln x$; các đường thẳng x=1; $x = e^2$ và trục hoành

Giả sử tích phân $I = {\int }_{\frac{3\mathrm{\pi }}{4}}^{\mathrm{\pi }}\frac{{\tan }^{2}x - \tan x}{e^x}dx = e^{-k\mathrm{\pi }}$. Tính giá trị của k

Cho ${\int }_0^6\ln (x+3)dx = x\ln (x+3)\begin{array}{c}6\\ 0\end{array}-{\int }_0^{6}f\left(x\right)dx$. Tìm hàm số f(x)

Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y = \sqrt{x}$, trục tung và đường thẳng y=2 quay quanh trục Oy.

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong (C) $y = x^3-3x + 2$và (P) $y = \sqrt{2x}+2$. Thể tích của khối tròn xoay nhận được khi cho (H) quay quanh trục Ox có dạng $V = \frac{\mathrm{\pi a}}{b}+2018c+2019d$. Hỏi mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là sai?

Cho $\int \frac{1}{\sqrt{mx + m^2-8}}dx = \frac{2}{3}\sqrt{3x+1}+C$. Tính giá trị của tích phân $I = {\int }_{m-2}^{e}x{\ln }^{2}x$

Giả sử ${\int }_{-1}^2\frac{e^{x}dx}{2+e^x}=\ln \frac{ae+e^3}{ae+b}$ với a, b là các số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức $P = \sin \left(\frac{\mathrm{\pi b}}{a}+2017\mathrm{\pi }\right) + \cos \left(\frac{\mathrm{\pi b}}{a}-\sin 2018\mathrm{\pi }\right)$

Cho hàm số f(x) thỏa f(1)=30; f'(x) liên tục và ${\int }_1^{4}f\text{'}\left(x\right)dx = 70$. Tính giá trị của f(4)