Tính đạo hàm của hàm số $F\left(x\right) = {\int }_0^x\cos \sqrt{t}dt$

Cho tích phân ${\int }_2^3\frac{1}{x^3+x^2}dx = a\ln 3 + b\ln 2 +c$ với $a,b,c \in \mathrm{\mathbb{Q}}$. Tính tổng $S = a+b+c$

Cho tam giác đều ABC có diện tích là $\sqrt{3}$ quay xung quanh cạnh AC của nó. Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành.

Cắt một vật thể (T) bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x=a; x=b. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm x cắt (T) theo thiết diện có diện tích là S(x). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Thể tích V của phần vật thể (T) giới hạn bởi mặt phẳng (P) và (Q) được cho bởi công thức nào dưới đây?

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;2] thỏa mãn f(2)=0 ${\int }_1^2{\left[f\left(x\right)\right]}^{2}dx = \frac{1}{45}$ và ${\int }_1^2\left(x-1\right)f\left(x\right)dx = -\frac{1}{30}$ tính $I = {\int }_1^{2}f\left(x\right)dx$

Tính nguyên hàm $I = \int \frac{dx}{x\sqrt{x^2+4}}$ bằng cách đặt $t = \sqrt{x^2+4}$, mệnh đề nào dưới đây đúng?

Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành do quay xung quanh trục hoành một elip có phương trình $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$. V có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây?

Cho ${\int }_{-2}^{2}f\left(x\right)dx = 1$ ${\int }_{-2}^{4}f\left(t\right)dt = -4$. Tính  $I = {\int }_2^{4}f\left(y\right)dy$

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong có phương trình $y = \left|x^2-4x+3\right|$ và đường thẳng $y = x+3$ (phần đô đậm trong hình vẽ). Tính diện tích S của hình phẳng

Với giá trị nào của a để diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi(C) $y = \frac{x^2-2x}{x-1}$, đường tiệm cận xiên của (C) và hai đường thẳng x=a; x=2a (a>1) bằng ln3?

Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x+1

Cho hàm số y = f(x) xác định trên R, thỏa mãn f(x)>0 và f'(x) + 2f(x) = 0. Tính f(-1), biết rằng f(1) = 1

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = \frac{10x^3-7x+2}{\sqrt{2x-1}}$ thỏa mãn F(1) = 5. Giả sử rằng $F\left(3\right) = a + b\sqrt{5}$, trong đó a,b là các số nguyên. Tính tổng bình phương của a và b

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn f(-x) + 2f(x) = cosx. Tính tích phân $I = {\int }_{\frac{-\mathrm{\pi }}{2}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}f\left(x\right)dx$

Cho ${\int }_0^{3}f\left(x\right)dx = 5$; ${\int }_0^{2}f\left(t\right)dt = 2$; ${\int }_2^{3}g\left(x\right)dx = 11$. Tính $I = {\int }_2^3\left[2f\left(x\right) + 6g\left(x\right)\right]dx$.

Cho hàm số f(x) liên tục và a>0. Giả sử với mọi $x\in \left[0;a\right]$ ta có f(x)>0 và f(x).f(a-x) = 1. Tính $I = {\int }_0^a\frac{dx}{1+f\left(x\right)}$