Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (P):$y=\sqrt{3}{x}^2$ cung tròn $y=\sqrt{4-x^2} (0\le x\le 2)$ và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay (H)xung quanh trục Ox bằng

Cho hàm số y=f(x) thỏa mãn $f\text{'}\left(x\right)+2xf\left(x\right)=e^{-x^2}, \forall x\in R$ và f(1)=0 Tính giá trị f(2).

Cho $F\left(x\right)=4^x$ là một nguyên hàm của hàm số $2^x.f\left(x\right)$ Tích phân ${\int }_0^1\frac{f\text{'}\left(x\right)}{{\ln }^{2}2}dx$ bằng 

Họ các nguyên hàm của hàm số f(x)=${(\sin x+\cos x)}^2$ là

Biết ${\int }_1^{4}f\left(x\right)=6$ và ${\int }_4^{5}f\left(x\right)dx=10$, khi đó ${\int }_1^{2}f(4x-3)dx-{\int }_0^{\ln 2}f\left(e^{2x}\right)e^{2x}dx$ bằng

Cho hàm f(x) liên tục trên R và ${\int }_0^{1}x.f\left(x\right)dx=5$ Tích phân $-\frac{1}{4}{\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}f\left(\cos 2x\right)d\left(\cos 4x\right)$ bằng

Cho ${\int }_1^e\left[\frac{1}{x}+\frac{\ln x}{x{(\ln x+2)}^2}\right]dx=a\ln 3+b\ln 2+\frac{c}{3}$với $a,b,c\in Z$. Giá trị của $a^2+b^2+c^2$ bằng

Họ nguyên hàm của hàm $f\left(x\right)=e^{2x}-\frac{1}{x}+\ln x (x>0)$ là

Biết  $F\left(x\right)=a\ln |x-1|+b\ln |x-2| (a,b\in Z)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{x+1}{(x-1)(x-2)}$. Giá trị của biểu thức b-a bằng

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^3-1$ và tiếp tuyến của đồ thị này tại điểm (-1;-2). 

Cho hàm số f(x) thỏa mãn ${\int }_1^2(2x+3).f\text{'}\left(x\right)dx=15$ và $7.f\left(2\right)-5.f\left(1\right)=8$ Tính I=${\int }_1^{2}f\left(x\right)dx$.

Biết F(x) là nguyên hàm của f(x) trên R thỏa mãn ${\int }_1^{e}F\left(x\right)d\left(\ln x\right)=3$ và $F\left(e\right)=5$ Tích phân ${\int }_1^e\ln x.f\left(x\right)dx$ bằng

Có bao nhiêu số thực a thuộc $(\mathrm{\pi };3\mathrm{\pi })$ thỏa mãn ${\int }_{\mathrm{\pi }}^a\cos 2xdx=\frac{1}{4}$. 

Biết ${\int }_1^{\sqrt{2}}2x(x-\sqrt{x^2-1})dx=\frac{a\sqrt{2}+b}{3} (a,b\in Z)$  Tính S=a+b.

Cho hàm số f(x) liên tục trên $[0;\frac{3\mathrm{\pi }}{2}]$ và thỏa mãn ${\int }_0^{\frac{3\mathrm{\pi }}{2}}f\left(x\right)dx=5, {\int }_{-\mathrm{\pi }}^{\mathrm{\pi }}f\left(x\right)dx=2$ Khi đó giá trị của ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}f\left(x\right)dx+{\int }_{\mathrm{\pi }}^{\frac{3\mathrm{\pi }}{2}}f\left(x\right)dx$ bằng

Cho ${\int }_{\ln 2}^{\ln 3}(\frac{1}{x}+3)dx=\ln \left(a{\log }_{b}c\right)$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?