Cho ${\int }_{\frac{1}{2}}^1\sqrt{\frac{x}{x^3+1}}dx=\frac{1}{a}\ln (\frac{b}{c}+\sqrt{d})$  với a, b, c, d là các số nguyên dương và $\frac{b}{c}$  tối giản. Giá trị của a+b+c+d  bằng 

Tìm tất cả các họ nguyên hàm của hàm số  

f(x)=$\frac{1}{x^9+3x^5}$

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng diện tích các hình phẳng (A), (B) lần lượt bằng 3 và 7. Tích phân ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\cos x,f(5\sin x-1)dx$ bằng

Cho $f\left(x\right)=x^3+a{x}^2+bx+c$ và $g\left(x\right)=f(dx+e)$ với $a,b,c,d,e \in \mathrm{ℝ}$   có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số y=f(x)  Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường congy=f(x) và y=g(x) gần nhất với kết quả nào dưới đây?

Cho ${\int }_1^3\left(f\right(x)+3g(x\left)\right)dx=10,{\int }_1^3\left(2f\right(x)-g(x)dx=6$   Giá trị của ${\int }_1^3\left(f\right(x)=g(x\left)\right)dx$ bằng

Hai viên đạn cùng rời khỏi nòng súng tại thời điểm t = 0 với những vận tốc khác nhau: viên thứ nhất có vận tốc $v=3t^2(m/s)$ viên thứ 2 có vận tốc

v = 2t + 6(m/s). Hỏi bắt đầu từ giây thứ mấy trở đi thì viên đạn thứ nhất xa điểm xuất phát hơn viên đạn thứ 2 ?

 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y=${(x-2)}^2$,   đường cong y=$x^3$và trục hoành bằng (phần tô đậm trong hình vẽ bên)

Cho hàm số  liên tục trên đoạn [-2;6] và có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng diện tích các hình phẳng

A, B, C trong hình vẽ lần lượt bằng 32; 2; 3. Tích phân ${\int }_{-2}^2\left(f\right(2x+2+1)dx$  bằng

Cho biết  F(x)= $\frac{1}{3}{x}^3+2x-\frac{1}{x}$là một nguyên hàm của  f(x)=$\frac{{(x}^{}}{}$²+a)2x2. Tìm nguyên hàm của g(x)=xcosax

Cho số thực a và hàm số      . Tích phân ${\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)dx$  bằng

Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên R. Gọi g(x) là một nguyên hàm của y=$\frac{x}{x+f^2\left(x\right)}$ hàm số  Biết rằng ${\int }_1^{2}g\left(x\right)dx=1$ và 2g(2)-g(1)=2 Tích phân

${\int }_1^2\frac{x^2}{x+f^2\left(x\right)}dx$ bằng

Trên khoảng $(0;\frac{\pi }{2})$  họ nguyên hàm của hàm số

f(x)=$\frac{1}{{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}$ là

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol $y=\frac{1}{2}{x}^2$ và $y=6-x^2$ bằng

Biết  ${\int }_0^2(2x+e^x)e^{x}dx=a{e}^4+b{e}^2+c$ với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của 232 a + b + c bằng

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị   hàm số y=f(x) và trục hoành như hình vẽ bên. Đặt a=${\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)dx, b={\int }_1^{2}f\left(x\right)dx$. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

Có bao nhiêu số thực a∈(0;2π] sao cho  ${\int }_0^1{\cos }^2\left(ax\right)dx=\frac{1}{2}+\frac{1}{4a}$