Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm:

$$\begin{gathered} a. x^2+\sqrt{x+8}\le -3 \\ b. \sqrt{1+2{(x-3)}^2}+\sqrt{5-4x+x^2}<\frac{3}{2} \\ c. \sqrt{1+x^2}-\sqrt{7+x^2}>1 \end{gathered}$$

Giải các bất phương trình sau:

$a. \frac{3x+1}{2}-\frac{x-2}{3}<\frac{1-2x}{4}$

b. (2x - 1)(x + 3) - 3x + 1 ≤ (x - 1)(x + 3) + x² - 5

Tìm các giá trị x thỏa mãn điều kiện của mỗi bất phương trình sau:

$$\begin{gathered} a.\frac{1}{x}<1-\frac{1}{x+1} \\ b. \frac{1}{x^2-4}\le \frac{2x}{x^2-4x+3} \\ c. 2\left|x\right|-1+\sqrt[3]{x-1}<\frac{2x}{x+1} \\ d. 2\sqrt{1-x}>3x+\frac{1}{x+4} \end{gathered}$$

Giải thích vì sao các cặp bất phương trình sau tương đương?

a) -4x + 1 > 0 và 4x - 1 < 0

b) 2x² + 5 ≤ 2x - 1 và 2x² - 2x + 6 ≤ 0

$$\begin{gathered} c) x+1>0 và x+1+\frac{1}{x^2+1}>\frac{1}{x^2+1} \\ d)\sqrt{x-1}\ge x và (2x+1)\sqrt{x-1}\ge x(2x+1) \end{gathered}$$

Cho bất phương trình 2x ≤ 3.

a) Trong các số -2; $2\frac{1}{2}$; π; $\sqrt{10}$ số nào là nghiệm, số nào không là nghiệm của bất phương trình trên ?

b) Giải bất phương trình đó và biểu diễn tập nghiệm của nó trên trục số.

Giải hệ bất phương trình sau:

$$\begin{gathered} a. \left\{\begin{array}{l}6x+\frac{5}{7}<4x+7\\ \frac{8x+3}{2}<2x+5\end{array}\right. \\ b. \left\{\begin{array}{l}15x-2>2x+\frac{1}{3}\\ 2(x-4)<\frac{3x-14}{2}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Cho một ví dụ về bất phương trình một ẩn, chỉ rõ vế trái và vế phải của bất phương trình này

Hai bất phương trình trong ví dụ 1 có tương đương hay không ? Vì sao ?