Cho đường thẳng Δ : x – y + 2 = 0 và hai điểm O(0; 0), A(2; 0).
a, Tìm điểm đối xứng của O qua Δ.
b, Tìm điểm M trên Δ sao cho độ dài đường gấp khúc OMA ngắn nhất.
Giải bởi Vietjack
a, Cách 1: Gọi O’ là điểm đối xứng với O qua (Δ)
⇒ OO’ ⊥ Δ tại trung điểm I của OO’.
+ (Δ) nhận 
là một vtpt ⇒ (Δ) nhận 
là một vtcp
OO’ ⊥ Δ ⇒ OO’ nhận 
là một vtpt. Mà O(0, 0) ∈ OO’
⇒ Phương trình đường thẳng OO’: x + y = 0.
+ I là giao OO’ và Δ nên tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình:
Cách 2: Gọi O’(x, y) là điểm đối xứng với O qua Δ.
+ Trung điểm I của OO’ là 
+ (Δ) nhận 
là một vtpt ⇒ (Δ) nhận 
là một vtcp.
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
Vậy O’(–2; 2).
b)
+ Vì O và A nằm cùng một nửa mặt phẳng
bờ là đường thẳng Δ nên đoạn thẳng OA không cắt Δ.
O’ và A thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau
bờ là đường thẳng Δ nên O’A cắt Δ.
Do O’ đối xứng với O qua đường thẳng ∆ nên
∆ là đường trung trực của đoạn thẳng OO’,
với mọi M ∈ Δ ta có MO = MO’.
Độ dài đường gấp khúc OMA bằng OM + MA = O’M + MA ≥ O’A.
⇒ O’M + MA ngắn nhất khi O’M + MA = O’A
⇔ M là giao điểm của O’A và Δ.
⇒ O’A nhận 
là một vtcp
⇒ O’A nhận 
là một vtpt. Mà A(2; 0) ∈ O’A
⇒ Phương trình đường thẳng
O’A : 1(x - 2) + 2(y - 0)= 0 hay x + 2y – 2 = 0.
M là giao điểm của O’A và Δ nên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ :
Vậy điểm M cần tìm là 
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho hai điểm A(1; 1) và B(7; 5). Phương trình đường tròn đường kính AB là:
Phương trình tiếp tuyến tại M(3 ; 4) với đường tròn (C) : x2 + y2 – 2x – 4y – 3 = 0 là:
Tính góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 trong các trường hợp sau:
a) Δ1: 2x + y – 4 = 0 và Δ2 : 5x – 2y + 3 = 0.
b) Δ1: y = –2x + 4 và Δ2: 
Cho hai đường thẳng:
: 2x+y+4-m=0, : (m+3)x+y-2m-1=0
song song với khi:
Cho elip (E): 4x2 + 9y2 = 36. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
Với giá trị nào của m thì phương trình sau đây là phương trình của đường tròn:
x2 + y2 – 2(m + 2).x + 4my + 19m – 6 = 0
Bán kính của đường tròn tâm I(0; -2) và tiếp xúc với đường thẳng Δ : 3x – 4y – 23 = 0 là:
Phương trình chính tắc của elip có hai đỉnh là (-3; 0); (3; 0) và hai tiêu điểm là (-1; 0); (1; 0) là:
Cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là A(1; 2), B(3; 1) và C(5; 4). Phương trình nào sau đây là phương trình đường cao của tam giác vẽ từ A?
Đường thẳng đi qua điểm M(1; 0) và song song với đường thẳng d: 4x + 2y +1 = 0 có phương trình tổng quát là:
Đường tròn (C): x2 + y2 – x + y – 1 = 0 có tâm I và bán kính R là:
Cho đường tròn (C) x2 + y2 – 4x – 2y = 0 và đường thẳng Δ: x + 2y + 1 = 0. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau :
Cho tam giác ABC với các đỉnh là A(-1; 1), B(4; 7) và C(3; -2), M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Phương trình tham số của trung tuyến CM là:
Cho (d1): x + 2y + 4 = 0 và (d2) : 2x – y + 6 = 0. Số đo của góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 là :
