Chọn A, 2x + 3y – 8 = 0

Giải thích:

Đường cao từ A vuông góc với BC nên nhận  là một vtpt.

Đường cao đi qua A(1; 2)

⇒ Phương trình đường cao từ A: 2(x - 1) + 3(y – 2) = 0 hay 2x + 3y – 8 = 0.

Chọn (B)

Giải thích:

Đường thẳng MC nhận  là một vtcp

Đường thẳng MC đi qua C(3; –2) nên phương trình đường thẳng MC: 

Chọn (A) 2x + y – 1 = 0

Giải thích :

d nhận  là một vtcp ⇒ d nhận  là một vtpt

d đi qua A(5 ; –9)

⇒ Phương trình tổng quát của d: 2x + y – 1 = 0.

Chọn (C) 2x + y – 2 = 0.

Giải thích :

Trong các đường thẳng trên, chỉ có đường thẳng 2x + y – 2 = 0 đi qua điểm M(1 ; 0).

Chọn (C) (d) có hệ số góc k = 5/3.

Giải thích :

d : 3x + 5y + 2006 = 0

Chọn (B) m = –1

Giải thích:

d₁: 2x + y + 4 – m = 0;

d₂: (m + 3).x + y – 2m – 1 = 0.

Chọn (D) 90º

Giải thích :

Góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ là :

Chọn (A) 45º

Giải thích :

Δ₁: x + y + 5 = 0

Δ₂: y = –10 ⇔ 0.x + y + 10 = 0

Góc giữa Δ₁ và Δ₂ là:

⇒ (Δ₁; Δ₂) = 45º.

Chọn (B)

Giải thích:

Khoảng cách từ M đến Δ là:

Chọn (D) x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0.

Giải thích :

+ (A) và (B) không phải phương trình đường tròn vì hệ số của x² và y² khác nhau.

+ x² + y² – 2x – 8y + 20 = 0

⇔ (x² – 2x + 1) + (y² – 8y + 16) + 3 = 0

⇔ (x – 1)² + (y – 4)² = –3

–3 < 0 nên x² + y² – 2x – 8y + 20 = 0 không phải phương trình đường tròn.

+ x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0

⇔ (x² – 4x + 4) + (y² + 6y + 9) = 25

⇔ (x – 2)² + (y + 3)² = 25

Vậy (D) là phương trình đường tròn có tâm là I(2 ; –3) và bán kính bằng 5.

Chọn (A) (C) có tâm I(1 ; 2)

Giải thích:

x² + y² + 2x + 4y – 20 = 0

⇔ (x² + 2x + 1) + (y² + 4y + 4) = 25

⇔ (x + 1)² + (y + 2)² = 25

⇒ (C) có tâm I(–1; –2), bán kính R = 5.

Thay M(2 ; 2) vào phương trình thấy thỏa mãn ⇒ M thuộc (C)

Thay A(1 ; 1) vào phương trình thấy không thỏa mãn ⇒ A không thuộc (C).

Chọn (A) x + y – 7 = 0

Giải thích :

x² + y² – 2x – 4y – 3 = 0

⇔ (x² – 2x + 1) + (y² – 4y + 4) = 8

⇔ (x – 1)² + (y – 2)² = 8

⇒ (C) có tâm I(1; 2)

Gọi d là phương trình tiếp tuyến tại M với (C)

⇒ IM ⊥ d

⇒ d nhận  là một vtpt

d đi qua M(3 ; 4) ⇒ Phương trình đường thẳng d: x + y – 7 = 0

Chọn (C) Δ tiếp xúc với (C) ;

Giải thích :

(C) : x² + y² – 4x – 2y = 0

⇔ (x² – 4x + 4) + (y² – 2y + 1) = 5

⇔ (x – 2)² + (y – 1)² = 5

⇒ (C) có tâm I(2; 1), bán kính R = √5.

Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng Δ bằng:

⇒ d(I; Δ) = R nên đường thẳng Δ tiếp xúc với đường tròn (C).

Chọn (C) m < 1 hoặc m > 2

Giải thích:

x² + y² – 2(m + 2).x + 4my + 19m – 6 = 0

⇔ (x² – 2(m + 2).x + m² + 4m + 4) + (y² + 4my + 4m²) = 5m² – 15m + 10

⇔ (x – m – 2)² + (y + 2m)² = 5m² – 15m + 10

Phương trình trên là phương trình đường tròn

⇔ 5m² – 15m + 10 > 0

⇔ m < 1 hoặc m > 2

Chọn (B) m = 5

Giải thích:

(C) x² + y² = 1 có tâm O(0; 0) và bán kính R = 1.

Δ tiếp xúc với (C) ⇔ d(I; Δ) = R

Chọn (B) x² + y² – 8x – 6y + 12 = 0

Giải thích :

+ Tâm đường tròn là trung điểm I của đoạn thẳng AB

A(1 ; 1) ; B(7 ; 5) ⇒ I(4; 3)

+ Bán kính đường tròn R = AB/2 = √13

⇒ đường tròn đường kính AB là:

(x – 4)² + (y – 3)² = 13

⇔ x² + y² – 8x – 6y + 12 = 0.

Chọn (D) x² + y² – 4 = 0

Giải thích :

Ta dễ dàng nhận thấy :

x_A² + y_A² = 0² + 2² = 4 ;

x_B² + y_B² = (–2)² + 0² = 4 ;

x_C² + y_C² = 2² + 0² = 4

Do đó A, B, C đều thuộc đường tròn x² + y² = 4.

Chọn (A) M nằm ngoài (C)

Giải thích:

(C) x² + y² – 8x – 6y + 21 = 0

⇔ (x² – 8x + 16) + (y² – 6y + 9) = 4

⇔ (x – 4)² + (y – 3)² = 4

⇒ (C) có tâm I(4; 3) và bán kính R = 2

Ta có :

Do đó M nằm ngoài đường tròn (C).

- Chọn đáp án

- Giải thích:

(E):  có a = 5; b = 3 ⇒ c² = a² – b² = 16 ⇒ c = 4

+ Các tiêu điểm của (E) là F₁(–4; 0) và F₂(4; 0) nên (I) đúng.

+  nên (II) đúng

+ Các đỉnh của (E): A₁(–5 ; 0); A₂(5; 0); B₁(0; -3); B₂(0; 3) nên (III) đúng

+ Độ dài trục nhỏ bằng 2b = 6 nên (IV) sai.

Chọn (C)

Giải thích :

(E) có hai đỉnh A₁(-3; 0) và A₂(3; 0) nên a = 3

(E) có hai tiêu điểm F₁(-1; 0) và F₂(1; 0) nên c = 1

⇒ b² = a² – c² = 8

Vậy phương trình chính tắc của (E) là: 

Chọn (D) (IV)

Giải thích:

+ độ dài trục lớn bằng 2a = 2 nên (I) sai

+ độ dài trục nhỏ bằng 2b = 1 nên (II) sai

+ Hai tiêu điểm là  nên (III) sai

+ Tiêu cự bằng 2c = √3 nên (IV) đúng.

Chọn (B)

Giải thích :

Gọi dây cung đó là CD vuông góc với trục lớn tại tiêu điểm F2(c ; 0) nên C, D có hoành độ đều bằng c

⇒ C(c; t) ; D(c; -t)

C, D nằm trên Elip nên ta có :

Độ dài đoạn thẳng CD bằng 

Vậy độ dài dây cung cần tìm của (E) là 

Chọn (B) 10

Giải thích :

+ Độ dài trục lớn bằng 26 ⇒ 2a = 26 ⇒ a = 13

+ Tỉ số 

⇒ b² = a² – c² = 13² – 12² = 25 ⇒ b = 5

⇒ Độ dài trục nhỏ bằng 2b = 10.

Chọn (C) (E) có tiêu cự bằng √5.

Giải thích:

⇒ (E) có a = 3; b = 2 ⇒ c² = a² – b² = 5 ⇒ c = √5

+ (E) có trục lớn bằng 2a = 6, trục nhỏ bằng 2b = 4, tiêu cự bằng 2c = 2√5, tỉ số 

Chọn (C) Elip

Giải thích:

Đường tròn tâm M, bán kính R tiếp xúc trong với đường tròn (F₁; 2a) nên ta có:

R + F₁M = 2a

Đường tròn tâm M, bán kính R đi qua F₂ nên R = MF₂

Do đó ta có: MF₁ + MF₂ = 2a = const

Do đó M thuộc elip có hai tiêu điểm F₁; F₂ và độ dài trục lớn bằng 2a.

Chọn (A) Elip

Giải thích:

⇒ Với t thay đổi, M luôn thuộc đường elip: 

Chọn (A)

Giải thích:

F₁; F₂ là hai tiêu điểm của elip nên F₁(-c; 0) và F₂(c; 0)

Chọn (B) 9

Giải thích:

(E): có a² = 16; b² = 9 ⇒ c² = a² – b² = 7 ⇒ c = √7.

⇒ Hai tiêu điểm của (E) là F₁(-√7 ; 0) và F₂(√7 ; 0)

CD: x + 2y – 12 = 0 ⇒ CD nhận  là một vtpt

⇒ CD nhận  là một vtcp.

+ ABCD là hcn ⇒ AD ⊥ CD ⇒ AD nhận  là một vtpt

A(5 ; 1) ∈ AD

⇒ Phương trình đường thẳng AD: 2( x- 5) – 1(y – 1) = 0 hay 2x – y – 9 = 0.

+ ABCD là hcn ⇒ AB // CD ⇒ AB nhận  là một vtpt

A(5;1) ∈ AB

⇒ Phương trình đường thẳng AB: 1( x- 5) + 2(y -1) = 0 hay x + 2y – 7 = 0

+ ABCD là hcn ⇒ BC ⊥ CD ⇒ BC nhận  là một vtpt

C(0, 6) ∈ CD

⇒ Phương trình đường thẳng BC: 2(x- 0)- 1(y – 6) =0 hay 2x – y + 6 = 0.

Gọi M(x, y)

⇒ MA² = (x – 1)² + (y – 2)²

MB² = (x + 3)² + (y – 1)²

MC² = (x – 4)² + (y + 2)²

MA² + MB² = MC²

⇔ (x – 1)² + (y – 2)² + (x + 3)² + (y – 1)² = (x – 4)² + (y + 2)²

⇔ [(x – 1)² + (x + 3)² – (x – 4)²] + [(y – 2)² + (y – 1)² – (y + 2)²] = 0

⇔ (x² – 2x +1 +x² + 6x + 9 – x² + 8x -16) + (y² – 4y + 4 + y² – 2y + 1 – y² – 4y – 4) = 0

⇔ (x² + 12x – 6) + (y² – 10y + 1) = 0

⇔ (x² + 12x – 6 +42) + (y² – 10y + 1+ 24) = 42 +24

⇔ (x² + 12x + 36) + (y² – 10y + 25) = 66

⇔ (x + 6)² + (y – 5)² = 66.

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I(–6; 5), bán kính R = √66.

Gọi điểm cách đều hai đường thẳng (Δ₁) và (Δ₂) là M(x, y).

Ta có:

Vậy tập hợp các điểm M cách đều hai đường thẳng đã cho là

đường thẳng: 5x + 3y + 2 = 0.

a, Cách 1: Gọi O’ là điểm đối xứng với O qua (Δ)

⇒ OO’ ⊥ Δ tại trung điểm I của OO’.

+ (Δ) nhận  là một vtpt ⇒ (Δ) nhận  là một vtcp

OO’ ⊥ Δ ⇒ OO’ nhận  là một vtpt. Mà O(0, 0) ∈ OO’

⇒ Phương trình đường thẳng OO’: x + y = 0.

+ I là giao OO’ và Δ nên tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình:

Cách 2: Gọi O’(x, y) là điểm đối xứng với O qua Δ.

+ Trung điểm I của OO’ là 

+ (Δ) nhận  là một vtpt ⇒ (Δ) nhận  là một vtcp.

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

Vậy O’(–2; 2).

b)

+ Vì O và A nằm cùng một nửa mặt phẳng

bờ là đường thẳng Δ nên đoạn thẳng OA không cắt Δ.

O’ và A thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau

bờ là đường thẳng Δ nên O’A cắt Δ.

Do O’ đối xứng với O qua đường thẳng ∆ nên

∆ là đường trung trực của đoạn thẳng OO’,

với mọi M ∈ Δ ta có MO = MO’.

Độ dài đường gấp khúc OMA bằng OM + MA = O’M + MA ≥ O’A.

⇒ O’M + MA ngắn nhất khi O’M + MA = O’A

⇔ M là giao điểm của O’A và Δ.

⇒ O’A nhận  là một vtcp

⇒ O’A nhận  là một vtpt. Mà A(2; 0) ∈ O’A

⇒ Phương trình đường thẳng

O’A : 1(x - 2) + 2(y - 0)= 0 hay x + 2y – 2 = 0.

M là giao điểm của O’A và Δ nên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ :

Vậy điểm M cần tìm là 

a)

– Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

– Tọa độ trực tâm H của tam giác ABC:

Cách 1:

+ Phương trình đường cao BD:

BD ⊥ AC ⇒ Đường thẳng BD nhận  là một vtpt

BD đi qua B(2; 7)

⇒ Phương trình đường thẳng

BD: 7(x - 2) +11(y - 7) = 0 hay 7x + 11y – 91 = 0

+ Phương trình đường cao CE:

CE ⊥ AB ⇒ Đường thẳng CE nhận  là một vtpt

CE đi qua C(–3; –8)

⇒ Phương trình đường thẳng

CE: 1(x + 3) – 2(y + 8)=0 hay x – 2y – 13 = 0.

Trực tâm H là giao điểm của BD và CE

nên tọa độ của H là nghiệm của hpt:

Cách 2: Gọi H(x, y) là trực tâm tam giác ABC

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

b) Gọi T(x; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Khi đó TA = TB = TC = R.

+ TA = TB ⇒ AT² = BT²

⇒ (x – 4)² + (y – 3)² = (x – 2)² + (y – 7)²

⇒ x² – 8x + 16 + y² – 6y + 9 = x² – 4x + 4 + y² – 14y + 49

⇒ 4x – 8y = –28

⇒ x – 2y = –7 (1)

+ TB = TC ⇒ TB² = TC²

⇒ (x – 2)² + (y – 7)² = (x + 3)² + (y + 8)²

⇒ x² – 4x + 4 + y² – 14y + 49 = x² + 6x + 9 + y² + 16y + 64

⇒ 10x + 30y = –20

⇒ x + 3y = –2 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ x = –5, y = 1 ⇒ T(–5 ; 1).

⇒ T, H, G thẳng hàng.

c) Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC: T(–5; 1)

Bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC:

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC :

(x + 5)² + (y – 1)² = 85

Gọi M(x;y) là điểm thuộc đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng đã cho

+) Ta có:

+) Do điểm M thuộc đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng d₁ và d₂ nên điểm M cách đều hai đường thẳng trên: d( M; d₁)= d(M, d₂ )

Vậy phương trình 2 đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng đã cho là:

-21 x – 77y + 191= 0 và 99x – 27y + 121 =0

Gọi A, B là hai tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ M đến (C).

Mà điểm I là cố định nên tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I,

bán kính R = 6 và có phương trình: (x – 1)² + (y – 2)² = 36.

a) Hai đường thẳng Δ₁ và Δ₂ có

vecto pháp tuyến lần lượt là: n₁→(2;1); n₂→(5;-2)

Góc giữa hai đường thẳng (Δ₁) và (Δ₂) là:

b) Cách 1:

Δ₁: y = –2x + 4 ⇔ 2x + y – 4 = 0

Δ₂:  ⇔ x - 2y + 3 = 0

Hai đường thẳng Δ₁ và Δ₂ có

vecto pháp tuyến lần lượt là: n₁→(2;1); n₂→(1;-2)

Góc giữa (Δ₁) và (Δ₂):

Cách 2:

Δ₁: y = –2x + 4 có hệ số góc k₁ = –2

Δ₂:  có hệ số góc k₂ = 1/2

Nhận thấy k₁.k₂ = –1 nên Δ₁ ⊥ Δ₂ ⇒ (Δ₁, Δ₂) = 90°.

Elip (E):  có a = 4, b = 3 ⇒ c² = a² – b² = 7 ⇒ c = √7.

+ Các đỉnh của elip là: A₁(–4; 0); A₂(4; 0); B₁(0; –3); B₂(0; 3).

+ Tiêu điểm của elip: F₁(–√7; 0); F₂(√7; 0).

+ Vẽ elip:

Theo đề bài có:

Độ dài trục lớn của elip bằng 769266km

⇒ A₁A₂ = 2a = 769266 ⇒ a = 384633

Độ dài trục nhỏ của elip bằng 768106km

⇒ B₁B₂ = 2b = 768106 ⇒ b = 384053

⇒ c² = a² – b² = 445837880 ⇒ c ≈ 21115

⇒ F₁F₂ = 2c = 42230

⇒ A₁F₁ = A₂F₂ = (A₁A₂ – F₁F₂)/2 = 363518

+ Trái Đất gần Mặt Trăng nhất khi Mặt Trăng ở điểm A₂

⇒ khoảng cách ngắn nhất giữa Trái Đất và Mặt Trăng bằng A₂F₂ = 363518 km

+ Trái Đất xa Mặt Trăng nhất khi Mặt Trăng ở điểm A₁

⇒ khoảng cách xa nhất giữa Trái Đất và Mặt Trăng bằng:

A₁F₂ = A₁F₁ + F₁F₂ = 405748 km.