Cho hàm số \[f(x) = {(3 - \sqrt 2 )^{{x^3}}} - {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{ - {x^2}}}\]. Xét các khẳng định sau:
Khẳng định 1: \[f(x) > 0 \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} > 0\]
Khẳng định 2: \[f(x) > 0 \Leftrightarrow x > - 1\]
Khẳng định 3: \[f(x) < 3 - \sqrt 2 \Leftrightarrow {(3 - \sqrt 2 )^{{x^3} - 1}} < 1 + {\left( {\frac{{3 + \sqrt 2 }}{7}} \right)^{{x^2} + 1}}\]
Khẳng định 4:\[f(x) < 3 + \sqrt 2 \Leftrightarrow {(3 - \sqrt 2 )^{{x^3} + 1}} < {(3 - \sqrt 2 )^{1 - {x^2}}} + 7\]
Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định đúng?
A.4
B.3
C.1
D.2
Giải bởi Vietjack
Cơ số\[3 - \sqrt 2 > 1\]
Ta có
\[f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{{x^3}}} - {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{ - {x^2}}} > 0 \Leftrightarrow {x^3} > - {x^2} \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} > 0\]
suy ra khẳng định 1 đúng.
Ta có
\[f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{{x^3}}} - {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{ - {x^2}}} > 0 \Leftrightarrow {x^3} > - {x^2} \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} > 0\]
\[ \Leftrightarrow {x^2}(x + 1) > 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > - 1}\\{x \ne 0}\end{array}} \right.\] suy ra khẳng định 2 sai.
Ta có
\[\begin{array}{l}f(x) < 3 - \sqrt 2 \Leftrightarrow {(3 - \sqrt 2 )^{{x^3}}} - {(3 - \sqrt 2 )^{ - {x^2}}} < 3 - \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \frac{{{{(3 - \sqrt 2 )}^{{x^3}}}}}{{3 - \sqrt 2 }} - \frac{{{{(3 - \sqrt 2 )}^{ - {x^2}}}}}{{3 - \sqrt 2 }} < 1\\ \Leftrightarrow {(3 - \sqrt 2 )^{{x^3} - 1}} < 1 + {(3 - \sqrt 2 )^{ - {x^2} - 1}}\\ \Leftrightarrow {(3 - \sqrt 2 )^{{x^3} - 1}} < 1 + {\left( {\frac{1}{{3 - \sqrt 2 }}} \right)^{{x^2} + 1}}\\ \Leftrightarrow {(3 - \sqrt 2 )^{{x^3} - 1}} < 1 + {\left( {\frac{{3 + \sqrt 2 }}{7}} \right)^{{x^2} + 1}}\end{array}\]
suy ra khẳng định 3 đúng.
Ta có
\[\begin{array}{l}f(x) < 3 + \sqrt 2 \Leftrightarrow {(3 - \sqrt 2 )^{{x^3}}} - {(3 - \sqrt 2 )^{ - x2}}^{} < 3 + \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {(3 - \sqrt 2 )^{{x^3}}}(3 - \sqrt 2 ) - {(3 - \sqrt 2 )^{ - x2}}(3 - \sqrt 2 ) < (3 + \sqrt 2 )(3 - \sqrt 2 )\\ \Leftrightarrow {(3 - \sqrt 2 )^{{x^3} + 1}} < {(3 - \sqrt 2 )^{1 - x2}} + 7\end{array}\]
Suy ra khẳng định 4 đúng.
Vậy có 3 khẳng định đúng.
Đáp án cần chọn là: B
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho giới hạn \[I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{3x}} - {e^{2x}}}}{x}\], chọn mệnh đề đúng:
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên \[\left( { - \infty ; + \infty } \right)\]?
Cho các đồ thị hàm số \[y = {a^x},y = {b^x},y = {c^x}(0 < a,b,c \ne 1)\] chọn khẳng định đúng:
Cho hai hàm số \[y = {a^x},y = {b^x}\] với \[1 \ne a,b > 0\;\]lần lượt có đồ thị là (C1),(C2) như hình bên. Mệnh đề nào đúng?
