Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \[f\left( 1 \right) = 0,\;F(x) = {[f(x)]^{2020}}\] là một nguyên hàm của \[2020x.{e^x}\]. Họ các nguyên hàm của \[{f^{2020}}(x)\;\] là:
A.\[2020\left( {x - 2} \right){e^x} + C\]
B. \[x{e^x} + C\]
C. \[2020\left( {x + 2} \right){e^x} + C\]
D. \[\left( {x - 2} \right){e^x} + C\]
Giải bởi Vietjack
Vì\[F\left( x \right) = {\left[ {f\left( x \right)} \right]^{2020}}\] là một nguyên hàm của\[2020x.{e^x}\] nên
\[\begin{array}{*{20}{l}}{F'\left( x \right) = 2020x.{e^x}}\\{ \Leftrightarrow 2020{f^{2019}}\left( x \right).f'\left( x \right) = 2020x.{e^x}}\\{ \Leftrightarrow {f^{2019}}\left( x \right).f'\left( x \right) = x.{e^x}}\end{array}\]
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\smallint {f^{2019}}\left( x \right).f'\left( x \right)dx = \smallint x.{e^x}dx}\\{ \Leftrightarrow \smallint {f^{2019}}\left( x \right)d\left[ {f\left( x \right)} \right] = x.{e^x} - \smallint {e^x}dx}\\{ \Leftrightarrow \frac{{{f^{2020}}\left( x \right)}}{{2020}} = x.{e^x} - {e^x} + C}\\{ \Leftrightarrow {f^{2020}}\left( x \right) = 2020\left( {x - 1} \right){e^x} + 2020C}\end{array}\]
Có \[f\left( 1 \right) = 1 \Leftrightarrow 0 = 2020C \Leftrightarrow C = 0\] do đó\[{f^{2020}}\left( x \right) = 2020\left( {x - 1} \right){e^x}\]
\[ \Rightarrow I = \smallint {f^{2020}}\left( x \right)dx = \smallint 2020\left( {x - 1} \right){e^x}dx\]
Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = x - 1}\\{dv = {e^x}dx}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = dx}\\{v = {e^x}}\end{array}} \right.\)
Khi đó
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\,\,\,\,\,\,I = 2020\left[ {\left( {x - 1} \right){e^x} - \smallint {e^x}dx + C} \right]}\\{ \Leftrightarrow I = 2020\left[ {\left( {x - 1} \right){e^x} - {e^x} + C} \right]}\\{ \Leftrightarrow I = 2020\left[ {\left( {x - 2} \right){e^x} + C} \right]}\\{ \Leftrightarrow I = 2020\left( {x - 2} \right){e^x} + C}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: A
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \[f\left( 0 \right) = 1,\;F(x) = f(x) - {e^x} - x\;\] là một nguyên hàm của f(x). Họ các nguyên hàm của f(x) là:
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{x}{{{{\cos }^2}x}}\] thỏa mãn F(0)=0. Tính \[F(\pi )?\]
Trong phương pháp nguyên hàm từng phần, nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = g\left( x \right)}\\{dv = h\left( x \right)dx}\end{array}} \right.\) thì:
Tìm nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {x^2}ln\left( {3x} \right)\]
Nguyên hàm của hàm số \[y = \frac{{\left( {{x^2} + x} \right){e^x}}}{{x + {e^{ - x}}}}dx\] là:
Biết \[F\left( x \right) = \left( {ax + b} \right).{e^x}\] là nguyên hàm của hàm số \[y = (2x + 3).{e^x}\]. Khi đó b−a là
Ta có \[ - \frac{{x + a}}{{{e^x}}}\] là một họ nguyên hàm của hàm số \[f(x) = \frac{x}{{{e^x}}}\], khi đó:
Biết rằng \[x{e^x}\] là một nguyên hàm của hàm số f(−x) trên khoảng \[\left( { - \infty ; + \infty } \right)\]. Gọi F(x) là một nguyên hàm của \[f\prime \left( x \right){e^x}\;\] thỏa mãn F(0)=1, giá trị của F(−1) bằng:
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số \[y = x.cosx\] mà F(0)=1. Phát biểu nào sau đây đúng:
Cho \[F\left( x \right) = \smallint \left( {x + 1} \right)f'\left( x \right)dx\]. Tính \[I = \smallint f(x)dx\;\] theo F(x).
Tính \[I = \smallint \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)dx\] ta được:
