Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 4y - 12z + 41 = 0\). Từ điểm \(M\left( {2;\, - 1;\,3} \right)\) kẻ ba tiếp tuyến phân biệt \(MA,\,MB,\,MC\) đến mặt cầu (\(A,\,B,\,C\) là các tiếp điểm). Khi đó phương trình mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] có dạng \[x + by + cz + d = 0\]. Giá trị \[b + c + d\] bằng
A.\[ - 12\].
B.\[ - 14\].
C.\[ - 13\].
D.\[11\].
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Ta có: \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 4y - 12z + 41 = 0\)
\( \Leftrightarrow \,\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = 8\).
Suy ra mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {3;\, - 2;\,6} \right)\) và bán kính \(R = 2\sqrt 2 \).
Ta có \(\overrightarrow {MI} = \left( {1;\, - 1;3} \right)\) và \(MI = \sqrt {1 + 1 + 9} = \sqrt {11} \).
Tam giác \(MAI\) vuông tại \(A\). Ta có: \(M{A^2} = M{I^2} - {R^2} = 11 - 8 = 3\).
Do tính chất tiếp tuyến nên \[MA = MB = MC\].
Vì thế ba điểm \(A,\,B,\,C\) cũng thuộc mặt cầu \(\left( {S'} \right)\) tâm \[M\] bán kính \(MA = \sqrt 3 \).
Phương trình mặt cầu \(\,\left( {S'} \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 3\)
\(\, \Leftrightarrow \,\left( {S'} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 6z + 11 = 0\).
Do đó tọa độ \(A,\,B,\,C\) thỏa: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 6z + 11 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 4y - 12z + 41 = 0\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)
Lấy (1) trừ (2) theo từng vế. Ta được: \[2x - 2y + 6z - 30 = 0\] hay \[x - y + 3z - 15 = 0\]
Vậy \[(ABC):x - y + 3z - 15 = 0\] mà \[(ABC):x + by + cz + d = 0\].
Khi đó: \[\left\{ \begin{array}{l}b = - 1\\c = 3\\d = - 15\end{array} \right.\,\,\,\, \Rightarrow b + c + d = - 1 + 3 - 15 = - 13\].
Kết luận: \[b + c + d = - 13\].
Chọn đáp án C
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Bạn muốn mua một áo sơ mi cỡ 40 hoặc 41. Áo cỡ 40 có 6 màu khác nhau, áo cỡ 41 có 4 màu khác nhau. Hỏi bạn có bao nhiêu cách chọn?
Có bao nhiêu cặp số nguyên \(a,\,\,b\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện \({a^2} + {b^2} >1\) và \({a^2} + {b^2} - 3 \le {\log _{{a^2} + {b^2}}}\left( {\frac{{{b^2}\left( {{a^2} + {b^2} + 4} \right) + 4{a^2}}}{{{a^2} + 2{b^2}}}} \right)\)?
Thể tích của khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh 2 và chiều cao 3 bằng
Cho hàm số \(y = \left| {\frac{1}{{x + 3}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x - 5}} - m} \right|\), với \(m\) là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để hàm số đã cho có giá trị nhỏ nhất trên \(\left( { - 3\,;5} \right)\backslash \left\{ {0\,;2} \right\}\) là một số dương?
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu tiên \({u_1} = 2\) và công bội \(q = - 3\). Số số hạng thứ 4 của cấp số nhân bằng
Cho số phức \(z = 2 + mi\,\,\left( {m \in \mathbb{R}} \right)\)thỏa \(\left( {2z - i} \right)\left( {2\overline z - 2} \right)\) là số thực. Giá trị \(\left| {2z - 3} \right|\) bằng
Cho mặt cầu có diện tích là \(16\pi {a^2}\). Thể tích của khối cầu đã cho bằng
Cho khối lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] đáy là tam giác vuông cân tại \[A\]. Hình chiếu của \[A'\] lên mặt phẳng \[(ABC)\] là trung điểm \[H\] của đoạn \[AB\], khoảng cách giữa \[A'H\] và \[BC'\] bằng \[\frac{{4\sqrt 5 }}{5}\] và \[AA' = 3\]. Thể tích khối lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] bằng
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)là hàm bậc 4 có đồ thị \[\left( C \right)\] và \[d\] là tiếp tuyến của đồ thị \[\left( C \right)\] tại 2 điểm như hình vẽ.
Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \[\left( C \right)\] và đường thẳng \[d\] là \(\frac{{11}}{3}\). Khi đó \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng:
Tập xác định của hàm số \(y = {\log _3}\left( {4 - {x^2}} \right) + {2^{1 - 2x}}\) là
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {1\,;\,2;\, - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y - 2z + 5 = 0\). Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) đi qua điểm nào sau đây?
Cho \(a\) là một số thực dương khác 1, khi đó \({\log _a}\sqrt[3]{a}\)bằng:
