Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ đáy là tam giác vuông cân tại $A$. Hình chiếu của $A'$ lên mặt phẳng $(ABC)$ là trung điểm $H$ của đoạn $AB$, khoảng cách giữa $A'H$ và $BC'$ bằng $\frac{{4\sqrt 5 }}{5}$ và $AA' = 3$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 4y - 12z + 41 = 0$. Từ điểm $M\left( {2;\, - 1;\,3} \right)$ kẻ ba tiếp tuyến phân biệt $MA,\,MB,\,MC$ đến mặt cầu ($A,\,B,\,C$ là các tiếp điểm). Khi đó phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ có dạng $x + by + cz + d = 0$. Giá trị $b + c + d$ bằng

Nghiệm của phương trình ${3^{1 - 2x}} = \frac{1}{3}$là

Có bao nhiêu cặp số nguyên $a,\,\,b$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện ${a^2} + {b^2} >1$ và ${a^2} + {b^2} - 3 \le {\log _{{a^2} + {b^2}}}\left( {\frac{{{b^2}\left( {{a^2} + {b^2} + 4} \right) + 4{a^2}}}{{{a^2} + 2{b^2}}}} \right)$?

Bạn muốn mua một áo sơ mi cỡ 40 hoặc 41. Áo cỡ 40 có 6 màu khác nhau, áo cỡ 41 có 4 màu khác nhau. Hỏi bạn có bao nhiêu cách chọn?

Thể tích của khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh 2 và chiều cao 3 bằng

Cho hàm số $y = \left| {\frac{1}{{x + 3}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x - 5}} - m} \right|$, với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số đã cho có giá trị nhỏ nhất trên $\left( { - 3\,;5} \right)\backslash \left\{ {0\,;2} \right\}$ là một số dương?

Số phức liên hợp của số phức $z = 2i - 1$ là:

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu tiên ${u_1} = 2$ và công bội $q = - 3$. Số số hạng thứ 4 của cấp số nhân bằng

Cho số phức $z = 2 + mi\,\,\left( {m \in \mathbb{R}} \right)$thỏa $\left( {2z - i} \right)\left( {2\overline z - 2} \right)$ là số thực. Giá trị $\left| {2z - 3} \right|$ bằng

Cho mặt cầu có diện tích là $16\pi {a^2}$. Thể tích của khối cầu đã cho bằng

Tập xác định của hàm số $y = {\log _3}\left( {4 - {x^2}} \right) + {2^{1 - 2x}}$ là

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$là hàm bậc 4 có đồ thị $\left( C \right)$ và $d$ là tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ tại 2 điểm như hình vẽ.

Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $\left( C \right)$ và đường thẳng $d$ là $\frac{{11}}{3}$. Khi đó $\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}$ bằng:

Cho $a$ là một số thực dương khác 1, khi đó ${\log _a}\sqrt[3]{a}$bằng:

Gọi ${z_1},{z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình ${z^2} + 2z + 2 = 0$ trong đó ${z_1}$ có phần ảo là số dương. Modul của số phức $\omega = \left( {2{z_1} - {z_2}} \right){z_1}$ bằng