Người ta ngâm một loại rượu trái cây bằng cách xếp 6 trái cây hình cầu có cùng bán kính bằng 5cm vào một cái bình hình trụ sao cho hai quả nằm cạnh nhau tiếp xúc với nhau, các quả đều tiếp xúc với tất cả các đường sinh của mặt xung quanh của hình trụ, đồng thời quả nằm bên dưới cùng tiếp xúc với mặt đáy trụ, quả nằm bên trên cùng tiếp xúc với nắp của hình trụ, cuối cùng là đổ rượu vào đầy bình. Số lít rượu tối thiểu cần đổ vào bình gần nhất với số nào sau đây:

Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Hàm số $y=f\left(x-1\right)+x^3-12x+2019$  nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Xét các số phức z,  thỏa mãn $\left|z\right|=1$  . Đặt $w=\frac{2z-i}{2+iz}$ , giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\left|w+3i\right|$ là

Cho số phức $z=a+bi\left(a,b\in ℝ\right)$  thỏa mãn $\left|z-8\right|i+\left|z-6i\right|=5\left(1+i\right)$ . Tính giá trị của biểu thức $P=a+b$ 

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu có tâm  I(2;1-4) và tiếp xúc với mặt phẳng $\left(\alpha \right):x-2y+2z-7=0$  .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(-1;0;0) , B(0;3;0) , C(0;0;4). Phương trình nào dưới đây là phương trình của (ABC)  ?

Cho $\int f\left(x\right)dx=\sqrt{x^2+4}.e^{2x-1}+C$ . Tìm $\int f\left(2x\right)dx$ .

Một hình trụ có bán kính đáy r­ = 5cm, chiều cao h = 7cm. Diện tích xung quanh của hình trụ này là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left(P\right):x-2y+2z-3=0$  và mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2+2x-4y-2z+5=0$ . Giả sử $M\in \left(P\right)$  và $N\in \left(S\right)$  sao cho $\overrightarrow{MN}$  cùng phương $\overrightarrow{u}\left(1;0;1\right)$  và khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính MN.

Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc 60°. Gọi M là điểm thuộc cạnh SB sao cho $SM=\frac{2}{3}SB$  (tham khảo hình vẽ). Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SCD).

Tìm số giá trị nguyên của $m\in \left[-2020;2020\right]$  để hàm số $f\left(x\right)=\left|x^3-6x^2+5+m\right|$  đồng biến trên $\left(5;+\infty \right)$ .

Cho $\underset{8}{\overset{56}{\int }}\frac{dx}{\left(x-1\right)\sqrt{x+8}}=a\ln 5+b\ln 7+c\ln 11$ , với a, b, c là các số hữu tỉ. Đặt $T=a+b-3c$  thì

Tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình $2^x+3=m\sqrt{4^x+1}$  có hai nghiệm thực phân biệt là $\left(a;\sqrt{b}\right)$  . Tính $S=2a+3b$.

Cho hàm số  liên tục trên  và có bảng xét dấu của đạo hàm  như sau:

Hàm số $g\left(x\right)=f\left(x^2-2x+1-\left|x-1\right|\right)$  có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hình chóp S.ABC, M và N là các điểm thuộc các cạnh SA và SB sao cho $MA=2SM,SN=2SB$ ,$\left(\alpha \right)$  là mặt phẳng qua MN và song song với SC. Mặt phẳng  chia khối chóp S.ABC thành hai khối đa điện $\left(H_1\right)$  và $\left(H_2\right)$  với  là khối đa điện chứa điểm S và $\left(H_2\right)$  là khối đa điện chứa điểm A. Gọi $V_1$  và $V_2$  lần lượt là thể tích của $\left(H_1\right)$và $\left(H_2\right)$ . Tính tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$ .