51 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ đề minh họa môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 (đề 11)

Câu 1:

Biết $\int_{1}^{3} f (x) 𝑑 x = 3$ và $\int_{3}^{1} g (x) 𝑑 x = - 6$ . Tính tích phân $I = \int_{1}^{3} [f (x) - 2 g (x)] 𝑑 x$ .

A. I = 9

B. I = 15

C. I = -3

D. I = -9

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $\int_{3}^{1} g (x) 𝑑 x = - 6 \Rightarrow \int_{1}^{3} g (x) 𝑑 x = 6$

Do đó $I = \int_{1}^{3} [f (x) - 2 g (x)] 𝑑 x = 3 - 2.6 = - 9$ .

Câu 2:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình $2 x + 3 y - 4 z + 7 = 0$ . Tìm tọa độ véc tơ pháp tuyến của (P)

A.

\vec{n} = (- 2; 3; - 4)

.

B.

\vec{n} = (- 2; - 3; - 4)

.

C. $\vec{n} = (2; 3; - 4)$ .

D.

\vec{n} = (2; - 3; - 4)

.

Xem đáp án

Đáp án C

Mặt phẳng (P) có một VTPT là $\vec{n} = (2; 3; - 4)$ .

Câu 3:

Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm, chiều cao h = 7cm. Diện tích xung quanh của hình trụ này là

A.

35 π c m^{2}

.

B. $70 π c m^{2}$ .

C.

\frac{70}{3} π c m^{2}

.

D. $\frac{35}{3} π c m^{2}$ .

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có:

S_{x q} = 2 πrh = 2 π 5.7 = 70 π ({cm}^{2})

Câu 4:

Cho hai số phức $z_{1} = 2 - 3 i$ và $z_{2} = 1 - i$ . Tính môđun của số phức .

A.

|z| = \sqrt{5}

.

B.

|z| = 5

.

C. $|z| = 4$ .

D.

|z| = 5 \sqrt{2}

.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $z_{1} + z_{2} = 3 - 4 i \Rightarrow |z_{1} + z_{2}| = \sqrt{3^{2} + {(- 4)}^{2}} = 5$ .

Câu 5:

Với hai số thực dương tùy ý và $a \neq 1, \log_{\sqrt{a}} (a^{2} b)$ bằng

A. $4 + 2 \log_{a} b$ .

B.

1 + 2 \log_{a} b

.

C.

1 + \frac{1}{2} \log_{a} b

.

D.

4 + \frac{1}{2} \log_{a} b

.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $\log_{\sqrt{a}} (a^{2} b) = 2 \log_{a} (a^{2} b) = 2 [\log_{a} a^{2} + \log_{a} b] = 2 (2 + \log_{a} b) = 4 + 2 \log_{a} b$

Câu 6:

Trong không gian Oxyz, cho điểm P(a;b;c). Khoảng cách từ P đến trục tọa độ Oy bằng

A.

\sqrt{a^{2} + c^{2}}

.

B. b.

C.

|b|

.

D.

a^{2} + c^{2}

.

Xem đáp án

Đáp án A

Hình chiếu vuông góc của P lên trục Oy là H(a;0;c) suy ra khoảng cách từ A đến trục Oy bằng PH.

Câu 7:

Thầy Tuấn có một hộp bút gồm 5 cây bút màu đỏ và 4 cây bút màu xanh, hỏi thầy có bao nhiêu cách chọn ra 2 cây bút màu đỏ và 3 cây bút màu xanh từ hộp

A. 480.

B. 44.

C. 14.

D. 40.

Xem đáp án

Đáp án D

Có $C_{5}^{2}$ cách chọn ra 2 cây bút màu đỏ và $C_{4}^{3}$ cách chọn ra 3 cây bút màu xanh

Theo quy tắc nhân có $C_{5}^{2} C_{4}^{3} = 40$ cách chọn ra 2 cây bút màu đỏ và 3 cây bút màu xanh từ hộp.

Câu 8:

Cho $f (x); g (x)$ là hai hàm số liên tục trên $[1; 3]$ thỏa mãn $\int_{1}^{3} [f (x) + 3 g (x)] d x = 10$ và $\int_{1}^{3} [2 f (x) - g (x)] d x = 6$ . Tính $\int_{1}^{3} [f (x) + g (x)] d x$ .

A. 7.

B. 9.

C. 6.

D. 8.

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt

\{\begin{cases} \int_{1}^{3} f (x) d x = a \\ \int_{1}^{3} g (x) d x = b \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} a + 2 b = 10 \\ 2 a - b = 6 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} a = 4 \\ b = 2 \end{cases} \Rightarrow a + b = 6

Câu 9:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(-1;0;0) , B(0;3;0) , C(0;0;4). Phương trình nào dưới đây là phương trình của (ABC) ?

A. $\frac{x}{1} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1$ .

B. $\frac{x}{1} - \frac{y}{3} - \frac{z}{4} = 1$ .

C. $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} + \frac{z}{- 1} = 1$ .

D. $\frac{x}{1} - \frac{y}{3} - \frac{z}{4} = - 1$ .

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $(A B C) : \frac{x}{- 1} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{1} - \frac{y}{3} - \frac{z}{4} = - 1$ .

Câu 10:

Cho hàm số liên tục trên và có bảng biến thiên như hình vẽ.

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ. (ảnh 1)

Hàm số $y = f (x)$ là hàm số nào trong các hàm số sau

A. $y = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 2$ .

B. $y = x^{3} + 6 x^{2} - 9 x + 3$ .

C.

y = - x^{4} + 4 x^{2} - 1

.

D.

y = - x^{3} + 6 x^{2} - 9 x - 2

.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta loại ngay đáp án C vì đây là bảng biến thiên của hàm số bậc ba.

$\lim_{x \to - \infty} y = - \infty \Rightarrow a > 0$ Þ Loại D.

Lại có $y (1) = 2$

Þ Loại B. Chọn A.

Câu 11:

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ biết $u_{2} = - 2$ và $u_{5} = 16$ . Tìm số hạng thứ 8 của cấp số nhân.

A. -256.

B. 256.

C. 128.

D. -128.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $\{\begin{cases} u_{2} = u_{1} q = 2 \\ u_{5} = u_{1} q^{4} = 16 \end{cases} \Rightarrow - 2 q^{3} = 16 \Rightarrow q = - 2 \Rightarrow u_{1} = 1 \Rightarrow u_{8} = u_{1} q^{7} = - 128$ .

Câu 12:

Tính thể tích khối chóp tam giác đều S.ABC biết cạnh đáy bằng $a \sqrt{3}$ , cạnh bên bẳng 2a.

A.

\frac{3}{4} a^{3}

.

B.

\frac{\sqrt{11}}{4} a^{3}

.

C.

\frac{\sqrt{11}}{12} a^{3}

.

D.

\frac{9}{4} a^{3}

.

Xem đáp án

Đáp án A

Tính thể tích khối chóp tam giác đều S.ABC biết cạnh đáy bằng a căn 3 , cạnh bên (ảnh 1)

$S H ⊥ (A B C) \Rightarrow A H = \frac{A B}{\sqrt{3}} = a \Rightarrow S H = \sqrt{S A^{2} - A H^{2}} = a \sqrt{3}$

$V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S H . S_{A B C} = \frac{1}{3} a \sqrt{3} . \frac{{(a \sqrt{3})}^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{3}{4} a^{3}$ .

Câu 13:

Tập nghiệm S của bất phương trình $5^{1 - 2 x} > \frac{1}{125}$ là:

A.

S = (0; 2)

.

B.

S = (- \infty; 2)

.

C.

S = (- \infty; - 3)

.

D.

S = (2; + \infty)

.

Xem đáp án

Đáp án B

$B P T \Leftrightarrow 5^{1 - 2 x} > 5^{- 3} \Leftrightarrow 1 - 2 x > - 3 \Leftrightarrow x < 2$ .

Câu 14:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên đoạn $[- 2; 3]$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [-2;3] và có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến (ảnh 1)

A.

(- 2; 0)

.

B.

(1; 3)

.

C.

(- 1; 1)

.

D.

(- 1; 3)

.

Xem đáp án

Đáp án B

Hàm số đồng biến trên từng khoảng $(1; 3)$ và $(- 2; - 1)$ .

Câu 15:

Cho hàm số $y = x^{4} - 4 x^{3} + 2$ . Số điểm cực trị của hàm số f(x) là

A. 1.

B. 0.

C. 2.

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $f^{'} (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} = 4 x^{2} (x - 3)$ .

Do $f^{'} (x)$ chỉ đổi dấu khi qua điểm $x = 3$ nên hàm số đã cho có đúng 1 điểm cực trị $x = 3$ .

Câu 16:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 2$ trên đoạn [-1;2] .

A.

\max_{[- 1; 2]} f (x) = 15

.

B.

\max_{[- 1; 2]} f (x) = 10

.

C.

\max_{[- 1; 2]} f (x) = 11

.

D.

\max_{[- 1; 2]} f (x) = 6

.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $\{\begin{cases} x \in (- 1; 2) \\ f^{'} (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12 = 0 \end{cases} \Rightarrow x = 1$ .

Tính $f (- 1) = 15; f (2) = 6; f (1) = - 5$ .

Câu 17:

Cho phương trình $2^{2 x} - {5.2}^{x} + 6 = 0$ có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ . Tính $P = x_{1} . x_{2}$ .

A.

P = \log_{2} 6

.

B.

P = 2 \log_{2} 3

.

C.

P = \log_{2} 3

.

D.

P = 6

.

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp: Coi phương trình đã cho là bậc hai ẩn $2^{x}$ , giải phương trình tìm x và kết luận.

Cách giải:

Ta có: $2^{2 x} - {5.2}^{x} + 6 = 0 \Leftrightarrow (2^{x} - 2) (2^{x} - 3) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2^{x} = 2 \\ 2^{x} = 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = \log_{2} 3 \end{array}$

Do đó $P = x_{1} . x_{2} = 1. \log_{2} 3 = \log_{2} 3$ .

Câu 18:

Biết $z_{1}$ và $z_{2}$ là 2 nghiệm của phương trình $z^{2} - 8 z + 20 = 0$ . Tính giá trị của biểu thức $|z_{1}| + |z_{2}|$ .

A.

T = 2 \sqrt{5}

.

B.

T = 4 \sqrt{5}

.

C.

T = 40

.

D.

T = 20

.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $z^{2} - 8 z + 20 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} z = 4 - 2 i \\ z = 4 + 2 i \end{array}$

Do đó $|z_{1}| = |z_{2}| = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$ nên $|z_{1}| + |z_{2}| = 4 \sqrt{5}$ .

Câu 19:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên $ℝ$ và có đạo hàm $f^{'} (x) = x {(x - 2)}^{2} \forall x \in ℝ$ . Số điểm cực trị của hàm số $y = f (x^{2} - 1)$ là

A. 5.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $y^{'} = 2 x . f^{'} (x^{2} - 1) = 2 x (x^{2} - 1) {(x^{2} - 3)}^{2} = 0 \Rightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 1 \\ x = \pm \sqrt{3} \end{array}$

Đạo hàm đổi dấu khi qua 3 điểm $x = 0; x = \pm 1$ nên hàm số có đúng 3 điểm cực trị.

Câu 20:

Người ta ngâm một loại rượu trái cây bằng cách xếp 6 trái cây hình cầu có cùng bán kính bằng 5cm vào một cái bình hình trụ sao cho hai quả nằm cạnh nhau tiếp xúc với nhau, các quả đều tiếp xúc với tất cả các đường sinh của mặt xung quanh của hình trụ, đồng thời quả nằm bên dưới cùng tiếp xúc với mặt đáy trụ, quả nằm bên trên cùng tiếp xúc với nắp của hình trụ, cuối cùng là đổ rượu vào đầy bình. Số lít rượu tối thiểu cần đổ vào bình gần nhất với số nào sau đây:

A. 1,57.

B. 1,7.

C. 1570.

D. 1,2.

Xem đáp án

Đáp án A

Chú ý một quả tiếp xúc tất cả các đường sinh nên 6 quả xếp lần lượt từ trên xuống dưới.

Chiều cao hình trụ là 12 lần bán kính hình cầu, 12.5 = 60cm. Bán kính hình trụ trùng với bán kính khối cầu nhỏ.

Thể tích khối trụ là $π r^{2} h = π {.5}^{2} .60$ . Thể tích rượu cần đổ bằng thể tích trụ trừ đi thể tích trái cây.

Tức là $V = π r^{2} h = π {.5}^{2} .60 - 6. \frac{4}{3} π {.5}^{2} = 500 π \approx 1, 57 d m^{3} = 1, 57 l$ .

Câu 21:

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu có tâm I(2;1-4) và tiếp xúc với mặt phẳng $(α) : x - 2 y + 2 z - 7 = 0$ .

A. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x + 2 y - 8 z - 4 = 0$ .

B. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x - 2 y + 8 z - 4 = 0$ .

C. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x - 2 y + 8 z - 4 = 0$ .

D.

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x - 2 y - 8 z - 4 = 0

.

Xem đáp án

Đáp án C

Bán kính là $R = \frac{|2 - 2.1 - 8 - 7|}{\sqrt{9}} = 5 \Rightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 4)}^{2} = 25$ .

Câu 22:

Hàm số y = f(x) xác định trên $ℝ \ \{- 1; 1\}$ , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ.

$Hàm số y=f(x) xác định trên R\{-1;1} , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ (ảnh 1)$

Số nghiệm của phương trình là

A. 2.

B. 3.

C. 0.

D. 1.

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình $\Leftrightarrow f (x) = - \frac{3}{2}$ suy ra phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.

Câu 23:

Số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} - 4 x + 3}{\sqrt{x^{2} + 7} - 4}$

A. 1.

B. 3.

C. 2.

D. 0.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có bậc tử cao hơn bậc mẫu nên ĐTHS không có tiệm cận ngang.

Lại có $y = \frac{(x - 1) (x - 3) (\sqrt{x^{2} + 7} + 4)}{x^{2} + 7 - 16} = \frac{(x - 1) (\sqrt{x^{2} + 7} + 4)}{x + 3}$ Þ Tiệm cận đứng $x = - 3$ .

Câu 24:

Đặt $\log_{2} a = x, \log_{2} b = y$ . Biết $\log_{\sqrt{8}} \sqrt[3]{a b^{2}} = m x + n y$ . Tìm $T = m + n$ .

A. $T = \frac{3}{2}$ .

B. $T = \frac{2}{3}$ .

C. $T = \frac{2}{9}$ .

D. $T = \frac{8}{9}$ .

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $m x + n y = \log_{2^{\frac{3}{2}}} {(a b^{2})}^{\frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3}{2}} \log_{2} (a b^{2}) = \frac{2}{9} (\log_{2} a + \log_{2} b^{2}) = \frac{2}{9} (\log_{2} a + 2 \log_{2} b)$

$\Rightarrow m = \frac{2}{9}; n = \frac{4}{9} \Rightarrow m + n = \frac{2}{3}$ .

Câu 25:

Cho hàm số $y = e^{x^{2} + 2 x - 3} - 1$ . Tập nghiệm của bất phương trình $y^{'} \geq 0$ là

A.

(- \infty; - 1)

.

B.

(- \infty; 3] \cup [1; + \infty)

.

C.

[- 3; 1]

.

D.

[- 1; + \infty)

.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $y^{'} = (2 x + 2) e^{x^{2} + 2 x - 3} \geq 0 \Leftrightarrow 2 x + 2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq - 1$ .

Câu 26:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm $A (1; 0; - 2), B (- 1; 2; 4)$ và $C (2; 0; 1)$ . Phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với BC là

A.

3 x - 2 y - 3 z - 3 = 0

.

B.

3 x - 2 y - 3 z + 3 = 0

.

C.

3 x - 2 y - 3 z - 9 = 0

.

D.

3 x - 2 y - 3 z + 9 = 0

.

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm thì $(P) ⊥ B C$ .

Nên một vectơ pháp tuyến của (P) là $\vec{n_{(P)}} = \vec{B C} = (3; - 2; - 3)$ .

Mặt phẳng (P) qua $A (1; 0; - 2)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n_{(P)}} = (3; - 2; - 3) \Rightarrow (P) : 3 x - 2 y - 3 x - 9 = 0$ .

Câu 27:

Cho số phức $z = a + b i, (a, b \in ℝ)$ thỏa mãn $z + (1 - i) \bar{z} = 7 - 2 i$ . Tính tích ab.

A.

a b = 9

.

B.

a b = - 1

.

C.

a b = - 6

.

D. $a b = 6$ .

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $a + b i + (1 - i) (a - b i) = 7 - 2 i$

$\Leftrightarrow 2 a - b - a i = 7 - 2 i \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 a - b = 17 \\ - a = - 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} b = - 3 \\ a = 2 \end{cases} \Rightarrow a b = - 6$ .

Câu 28:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R . Gọi $S_{1}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f (x), y = 0, x = - 1, x = 1$ và $S_{2}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f (x), y = 0$ , $x = 1, x = 4$ (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hàm số f(x) liên tục trên R . Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x), y=0, x=-1 và S2 (ảnh 1)

A.

\int_{- 1}^{4} f (x) d x = S_{1} + S_{2}

.

B.

\int_{- 1}^{4} f (x) d x = S_{1} - S_{2}

.

C.

\int_{- 1}^{4} f (x) d x = - S_{1} - S_{2}

.

D.

\int_{- 1}^{4} f (x) d x = - S_{1} + S_{2}

.

Xem đáp án

Đáp án B

$\int_{- 1}^{4} f (x) d x = \int_{- 1}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{4} f (x) d x = S_{1} - S_{2}$ .

Câu 29:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tam giác vuông tại A có $A B = a \sqrt{3}, A C = a$ , tam giác SBC đều và mặt trong mặt phẳng vuông góc với đáy (tham khảo hình vẽ). Góc giữa SA và mặt phẳng đáy là

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tam giác vuông tại A có , tam giác SBC đều và mặt trong mặt phẳng vuông (ảnh 1)

A. 30°.

B. 45°.

C. 60°.

D. 90°.

Xem đáp án

Đáp án C

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tam giác vuông tại A có , tam giác SBC đều và mặt trong mặt phẳng vuông (ảnh 2)

Kẻ $S H ⊥ B C \Rightarrow S H ⊥ (A B C) \Rightarrow (\hat{S A; (A B C)}) = \hat{S A H}$ .

Cạnh $A H = \frac{1}{2} B C = \frac{1}{2} \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = a$ và $S H = \frac{B C \sqrt{3}}{2} = \frac{2 a . \sqrt{3}}{2} = a \sqrt{3}$ .

$\tan \hat{S A H} = \frac{S H}{A H} = \sqrt{3} \Rightarrow \hat{S A H} = 60 °$ .

Câu 30:

Cho số phức $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ thỏa mãn $|z - 8| i + |z - 6 i| = 5 (1 + i)$ . Tính giá trị của biểu thức $P = a + b$

A. P = 1.

B. P = 14.

C. P = 2.

D. P = 7.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $|z - 8| i + |z - 6 i| = 5 (1 + i) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} |z - 8| = 5 \\ |z - 6 i| = 5 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(a - 8)}^{2} + b^{2} = 25 \\ a^{2} + {(b - 6)}^{2} = 25 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} - 16 a + 12 b + 28 = 0 \\ a^{2} + b^{2} - 12 b = - 11 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 b = 4 a - 7 \\ {(\frac{3 b + 7}{4})}^{2} + b^{2} - 12 b = - 11 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 b = 4 a - 7 \\ 25 {(b - 3)}^{2} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 4 \\ b = 3 \end{cases}$

Do đó $P = a + b = 7$ .

Câu 31:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 3, AD = 4và các cạnh bên của hình chóp tạo với mặt đáy một góc 60°. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

A.

V = \frac{250 \sqrt{3}}{3} π

.

B.

V = \frac{125 \sqrt{3}}{6} π

.

C.

V = \frac{50 \sqrt{3}}{3} π

.

D.

V = \frac{500 \sqrt{3}}{27} π

.

Xem đáp án

Đáp án D

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=3, AD=4 và các cạnh bên (ảnh 1)

Các cạnh bên của hình chóp tạo với mặt phẳng đáy góc 60°.

Kẻ $S H ⊥ (A B C D)$ Þ H là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD.

Trên $(S H D)$ , đường trung trực của đoạn thẳng SD cắt SH tại O thì O là tâm mặt cầu.

Ta có $Δ S H D ~ Δ S P O \Rightarrow \frac{S H}{S P} = \frac{S D}{S O} \Rightarrow S O = \frac{S P . S D}{S H} = \frac{S D^{2}}{2 S H}$ .

Cạnh $H D = \frac{1}{2} B D = \frac{1}{2} \sqrt{C D^{2} + B C^{2}} = \frac{5}{2}$ .

Ta có $\{\begin{cases} \tan 60 ° = \frac{S H}{H D} \Rightarrow S H = \frac{5 \sqrt{3}}{2} \\ \cos 60 ° = \frac{H D}{S D} \Rightarrow S D = 5 \end{cases} \Rightarrow R = S O = \frac{5 \sqrt{3}}{3} \Rightarrow V = \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{500 π \sqrt{3}}{27}$ .

Câu 32:

Trong không gian Oxzyz, cho mặt phẳng $(P) : 2 x - y + 2 z - 3 = 0$ và đường thẳng $(Δ) : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{- 1}$ . Khoảng cách giữa $(Δ)$ và (P) là

A.

\frac{2}{3}

.

B.

\frac{8}{3}

.

C.

\frac{2}{9}

.

D. 1.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $\{\begin{cases} M (1; - 1; 1) \in Δ \\ M \notin (P) \\ 2.2 + (- 1) .2 + 2. (- 1) = 0 \end{cases}$

$\Rightarrow Δ / / (P) \Rightarrow d (Δ; (P)) = d (M; (P)) = \frac{|2.1 - (- 1) .2 + 2.1 - 3|}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}} = \frac{2}{3}$ .

Câu 33:

Cho $\int_{8}^{56} \frac{d x}{(x - 1) \sqrt{x + 8}} = a \ln 5 + b \ln 7 + c \ln 11$ , với a, b, c là các số hữu tỉ. Đặt $T = a + b - 3 c$ thì

A.

T \in (- 1; 0)

.

B. $T \in (0; 1)$ .

C.

T \in (1; 2)

.

D.

T \in (2; 4)

.

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt $t = \sqrt{x + 8} \Rightarrow t^{2} = x + 8 \Rightarrow 2 t d t = d x$

Đổi cận $\{\begin{cases} x = 8 \Rightarrow t = 4 \\ x = 56 \Rightarrow t = 8 \end{cases}$ .

Khi đó $\int_{8}^{56} \frac{d x}{(x - 1) \sqrt{x + 8}} = \int_{4}^{8} \frac{2 t d t}{(t^{2} - 9) t} = \int_{4}^{8} \frac{2 d t}{(t^{2} - 9)} = {\frac{1}{3} \ln |\frac{t - 3}{t + 3}||}_{4}^{8}$

$= \frac{1}{3} \ln \frac{35}{11} = \frac{1}{3} \ln 5 + \frac{1}{3} \ln 5 - \frac{1}{3} \ln 11$

Nên $a = \frac{1}{3}, b = \frac{1}{3}, c = \frac{- 1}{3} \Rightarrow a + b - 3 c = \frac{5}{3} \in (1; 2)$ .

Câu 34:

Cho $\int f (x) d x = \sqrt{x^{2} + 4} . e^{2 x - 1} + C$ . Tìm $\int f (2 x) d x$ .

A. $\int f (2 x) d x = 2 \sqrt{x^{2} + 1} . e^{4 x - 1} + C$ .

B. $\int f (2 x) d x = \frac{1}{2} \sqrt{x^{2} + 16} . e^{x - 1} + C$ .

C.

\int f (2 x) d x = \sqrt{x^{2} + 4} . e^{4 x - 1} + C

.

D.

\int f (2 x) d x = \sqrt{x^{2} + 1} . e^{4 x - 1} + C

.

Xem đáp án

Đáp án D

$\int f (x) d x = \sqrt{x^{2} + 4} . e^{2 x - 1} + C$

Đặt $x = 2 t$ , ta có $\int f (2 t) d (2 t) = \sqrt{{(2 t)}^{2} + 4} e^{2 (2 t) - 1} + C = \sqrt{4 t^{2} + 4} . e^{4 t - 1} + C$

$\Leftrightarrow \int f (2 t) d t = \sqrt{t^{2} + 1} . e^{4 t - 1} + \frac{1}{2} C$

Vậy $\int f (2 x) d x = \sqrt{x^{2} + 1} . e^{4 x - 1} + C$ .

Câu 35:

Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Hàm số $y = f (x - 1) + x^{3} - 12 x + 2019$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

(1; + \infty)

.

B.

(1; 2)

.

C.

(- \infty; 1)

.

D.

(3; 4)

.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $y^{'} = f^{'} (x - 1) + 3 x^{2} - 12 < 0 \{\begin{cases} f^{'} (x - 1) < 0 \\ 3 x^{2} - 12 < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} 0 < x - 1 < 1 \\ 1 < x - 1 < 2 \\ x - 1 > 3 \end{array} \\ - 2 < x < 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} 1 < x < 2 \\ 2 < x < 3 \\ x > 4 \end{array} \\ - 2 < x < 2 \end{cases} \Leftrightarrow 1 < x < 2$ .

Câu 36:

Cắt một hình trụ bằng mặt phẳng $(α)$ vuông góc mặt đáy, ta được thiết diện là một hình vuông có diện tích bằng 16. Biết khoảng cách từ tâm đáy hình trụ đến mặt phẳng $(α)$ bằng 3. Tính thể tích khối trụ.

A.

\frac{52 π}{3}

.

B. 52p.

C. 13p.

D.

2 \sqrt{3} π

.

Xem đáp án

Đáp án B

Giả sử thiết diện qua trục là hình vuông ABCD như hình vẽ.

Cắt một hình trụ bằng mặt phẳng vuông góc mặt đáy, ta được thiết diện là một hình vuông (ảnh 1)

Dựng $O^{'} H ⊥ B C \Rightarrow O^{'} H ⊥ (A B C D) \Rightarrow d (O^{'}; (A B C D)) = O^{'} H = 3$

Lại có và H là trung $A B = B C = \sqrt{16} = 4$ điểm của BC nên $B H = 2$ .

Bán kính đáy hình trụ $r = O^{'} B = \sqrt{O^{'} H^{2} + H B^{2}} = \sqrt{13}$ .

Thể tích khối trụ là $V_{(T)} = π r^{2} h = π .13.4 = 52 π$ .

Câu 37:

Tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình $2^{x} + 3 = m \sqrt{4^{x} + 1}$ có hai nghiệm thực phân biệt là $(a; \sqrt{b})$ . Tính $S = 2 a + 3 b$ .

A. S = 29.

B. S = 28.

C. S = 32.

D. S = 36.

Xem đáp án

Đáp án D

Đặt $t = 2^{x}$ > 0 ta được $t + 3 = m \sqrt{t^{2} + 1} \Rightarrow m = \frac{t + 3}{\sqrt{t^{2} + 1}} = f (t)$ với $t > 0$

Khi đó $f^{'} (t) = \frac{\sqrt{t^{2} + 1} - \frac{(t + 3) t}{\sqrt{t^{2} + 1}}}{t^{2} + 1} = \frac{1 - 3 t}{\sqrt{{(t^{2} + 1)}^{3}}}$ suy ra bảng biến thiên

Tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình 2^x+3=m*căn bậc hai của(4^x+1) (ảnh 1)

Dựa vào BBT suy ra phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi $m \in (3; \sqrt{10})$

Do đó $a = 3, b = 10 \Rightarrow S = 36$ .

Câu 38:

Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - m x^{2} + (2 m - 1) x - m + 2$ nghịch biến trên khoảng (-2; 0) .

A.

m < - \frac{1}{2}

.

B. m = 0.

C. m > 1.

D.

m \leq - \frac{1}{2}

.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $y^{'} = x^{2} - 2 m x + 2 m - 1 = (x^{2} - 1) - 2 m (x - 1) = (x - 1) (x + 1 - 2 m)$

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (-2; 0).

$\Leftrightarrow y^{'} = (x - 1) (x + 1 - 2 m) \leq 0, \forall x \in (- 2; 0) \Leftrightarrow x + 1 - 2 m \geq 0, \forall x \in (- 2; 0)$

$\Leftrightarrow 2 m \leq x + 1, \forall x \in (- 2; 0) \Leftrightarrow 2 m \leq - 2 + 1 \Leftrightarrow m \leq - \frac{1}{2}$

Câu 39:

Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc 60°. Gọi M là điểm thuộc cạnh SB sao cho $S M = \frac{2}{3} S B$ (tham khảo hình vẽ). Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SCD).

Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc 60 (ảnh 1)

A. $\frac{a \sqrt{42}}{14}$

B.

\frac{a \sqrt{42}}{21}

C.

\frac{a \sqrt{42}}{7}

D.

\frac{2 a \sqrt{42}}{21}

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $\frac{d_{M}}{d_{B}} = \frac{M S}{B S} = \frac{2}{3} \Rightarrow d_{M} = \frac{2}{3} d_{B}$

Áp dụng công thức nhanh $\frac{1}{d_{B}^{2}} = \frac{1}{c^{2}} + \frac{k^{2}}{h^{2}}$ ta có $c = a, k = \frac{d_{O}}{d_{B}} = \frac{1}{2}, h = O D \tan 60 ° = \frac{a \sqrt{2}}{2} \tan 60 ° = \frac{a \sqrt{6}}{2}$

Suy ra $d_{B} = \frac{a \sqrt{42}}{7} \Rightarrow d_{M} = \frac{2 a \sqrt{42}}{21}$ .

Câu 40:

Cho hai đường thẳng $d_{1}, d_{2}$ song song với nhau. Trên $d_{1}$ có 10 điểm phân biệt, trên $d_{2}$ có 8 điểm phân biệt. Chọn ra 3 điểm bất kỳ, tính xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác

A.

\frac{5}{34}

.

B.

\frac{29}{34}

.

C.

\frac{9}{51}

.

D.

\frac{40}{51}

.

Xem đáp án

Đáp án D

Chọn ra 3 điểm bất kỳ từ 18 điểm này có $|Ω| = C_{18}^{3}$ cách chọn.

Gọi A là biến cố: “3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác”.

Số điểm thẳng hàng trên đường thẳng $d_{1}$ là $C_{10}^{3}$

Số điểm thẳng hàng trên đường thẳng $d_{2}$ là ${C^{3}}_{8}$ .

Số tam giác được tạo thành là $|Ω_{A}| = C_{18}^{3} - C_{10}^{3} - C_{8}^{3} = 640$ .

Do đó xác suất cần tìm là $P = \frac{640}{C_{18}^{3}} = \frac{40}{51}$ .

Câu 41:

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Số giá trị nguyên của tham số để phương trình $f (x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) = m^{2} - 2 m$ có đúng ba nghiệm phân biệt là

Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ. Số giá trị nguyên của tham số để phương trình (ảnh 1)

A. 2.

B. 1.

C. 4.

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án A

Đặt $t = x^{3} - 2 x^{2} + 5 x \Rightarrow t^{'} = 3 x^{3} - 6 x + 5 > 0 (\forall x \in ℝ)$ .

Nên hàm số $t = x^{3} - 2 x^{2} + 5 x$ là hàm số đồng biến trên R do đó với mỗi giá trị của t ta có một giá trị của x.

Để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì

$- 1 < m^{2} - 2 m < 3 \Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} - 2 m - 3 < 0 \\ m^{2} - 2 m + 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow - 1 < m < 3$ và m khác 1.

Kết hợp $m \in ℤ \Rightarrow m = \{0; 2\}$ .

Câu 42:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng và thỏa mãn: $2 \sqrt{x^{5}} . f (x^{3}) - f (3 \sqrt{x} - 2) = 2 \sqrt{x} \ln (x + 1), \forall x \in (0; + \infty)$

Biết $\int_{4}^{64} f (x) d x = a \ln 5 - 6 \ln b + c$ với $a, b, c \in ℤ$ . Giá trị của a - b + c bằng

A. 7.

B. 8.

C. 22.

D. 4.

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 43:

Xét các số phức z, thỏa mãn $|z| = 1$ . Đặt $w = \frac{2 z - i}{2 + i z}$ , giá trị lớn nhất của biểu thức $P = |w + 3 i|$ là

A.

P_{\max} = 2

.

B. $P_{\max} = 3$ .

C.

P_{\max} = 4

.

D.

P_{\max} = 5

.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $w = \frac{2 z - i}{2 + i z} \Leftrightarrow w (2 + i z) = 2 z - i \Leftrightarrow 2 w + w i z = 2 z - i$

Đặt $w = x + y i (x, y \in ℝ) \Rightarrow 2 (x + y i) + (x + y i) i z = 2 z - i$

$\Leftrightarrow 2 x + 2 y i + x z i - y z = 2 z - i \Leftrightarrow 2 x + (2 y + 1) i = z (y + 2 + x i)$

$\Rightarrow |2 x + (2 y + 1) i| = |z (y + 2 + x i)| = |z| . |y + 2 + x i|$

$\Rightarrow \sqrt{4 x^{2} + {(2 y + 1)}^{2}} = 1. \sqrt{{(y + 2)}^{2} + x^{2}} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = 1$ .

Vậy w thuộc đường tròn tâm $O (0; 0)$ bán kính $R = 1 \Rightarrow P_{\max} = 3 + 1 = 4$

Câu 44:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : x - 2 y + 2 z - 3 = 0$ và mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 4 y - 2 z + 5 = 0$ . Giả sử $M \in (P)$ và $N \in (S)$ sao cho $\vec{M N}$ cùng phương $\vec{u} (1; 0; 1)$ và khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính MN.

A.

M N = 3

.

B.

M N = 1 + 2 \sqrt{2}

.

C.

M N = 3 \sqrt{2}

.

D.

M N = 14

.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $(P) : x - 2 y + 2 z - 3 = 0$ và $(S) : {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 1$

Gọi $\vec{M N} = k (1; 0; 1) \Rightarrow \sin (\hat{M N; (P)}) = \cos (\vec{u_{M N}}; \vec{n_{P}}) = \frac{|1 + 2|}{\sqrt{2} . \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow (\hat{M N; (P)}) = 45 °$

Gọi H là hình chiếu của M trên (P) khi đó $M N \sin 45 ° = M H$

Do đó $M N = M H \sqrt{2}$ lớn nhất $\Leftrightarrow M H_{\max} = d (I; (P)) + R = 2 + 1 = 3$

Suy ra $M N_{\max} = 3 \sqrt{2}$ .

Câu 45:

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho $A (5; 6; - 5)$ và M là điểm thuộc mặt phẳng $(P) : x + 2 y - z - 4 = 0$ đồng thời thuộc mặt cầu $(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} + z^{2} = 62$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của AM.

A.

3 \sqrt{6} + 2 \sqrt{14}

.

B.

2 \sqrt{15}

.

C.

\sqrt{17}

.

D.

2 \sqrt{17}

.

Xem đáp án

Đáp án D

Mặt cầu $(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} + z^{2} = 9$ có tâm $I (2; 4; 0)$ và bán kính $R = \sqrt{62}$ .

Giao tuyến của (S) và (P) là một đường tròn (C) có tâm J và bán kính r. Khi đó M là một điểm di động trên đường tròn (C).

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho A(5;6;-5) và M là điểm thuộc mặt phẳng (ảnh 1)

Tâm J là hình chiếu vuông góc của I trên (P) $\Rightarrow I J : \{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 4 + 2 t \\ z = - t \end{cases} \Rightarrow J (2 + t; 4 + 2 t; - t)$

Cho $J \in (P) \Rightarrow t + 2 + 4 t + 8 + t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow J (1; 2; 1)$ .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (P).

$\Rightarrow A H : \{\begin{cases} x = 5 + u \\ y = 6 + 2 u \\ z = - 5 - u \end{cases} \Rightarrow H (5 + u; 6 + 2 u; - 5 - u)$

Giải $H \in (P) \Rightarrow u + 5 + 4 u + 12 + u + 5 - 4 = 0 \Rightarrow u = - 3 \Rightarrow H (2; 0; - 2)$ .

Ta có: $A M^{2} = A H^{2} + H M^{2} = 54 + H M^{2}$

Mặt khác $H M_{\min} = H M_{1} = |H J - r|$ trong đó $H J = \sqrt{14}, r = \sqrt{R^{2} - d^{2} (I; (P))} = 2 \sqrt{14}$

Suy ra $A M = \sqrt{54 + H M^{2}}$ nhỏ nhất bằng $\sqrt{54 + {(\sqrt{14} - 2 \sqrt{14})}^{2}} = 2 \sqrt{17}$ .

Câu 46:

Tìm số giá trị nguyên của $m \in [- 2020; 2020]$ để hàm số $f (x) = |x^{3} - 6 x^{2} + 5 + m|$ đồng biến trên $(5; + \infty)$ .

A. 2019.

B. 2020.

C. 2001.

D. 2018.

Xem đáp án

Đáp án C

Xét với $m = 0 \Rightarrow f (x) = |x^{3} - 6 x^{2} + 5|$ .

Gọi $h (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 5 \Rightarrow h^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x = 3 x (x - 4)$

$h^{'} (x) = 0 \Rightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 4 \end{array}$

Gọi a là số thực sao cho a > 5 và $h (a) = 0$ .

Ta có bảng biến thiên sau:

Tìm số giá trị nguyên của m thuộc [-2020; 2020] để hàm số f(x)=|x^3-6x^2+5+m| đồng biến (ảnh 1)

Nhìn vào bảng biến thiên muốn để $f (x) = |x^{3} - 6 x^{2} + 5 + m|$ đồng biến trên $(5; + \infty)$ thì $h (5) + m \geq 0 \Rightarrow m \geq 20$ . Do $m \in [- 2020; 2020]$ nên có 2001 giá trị thỏa mãn.

Câu 47:

Cho hình chóp S.ABC, M và N là các điểm thuộc các cạnh SA và SB sao cho $M A = 2 S M, S N = 2 S B$ , $(α)$ là mặt phẳng qua MN và song song với SC. Mặt phẳng chia khối chóp S.ABC thành hai khối đa điện $(H_{1})$ và $(H_{2})$ với là khối đa điện chứa điểm S và $(H_{2})$ là khối đa điện chứa điểm A. Gọi $V_{1}$ và $V_{2}$ lần lượt là thể tích của $(H_{1})$ và $(H_{2})$ . Tính tỉ số $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ .

A. $\frac{4}{3}$ .

B.

\frac{4}{5}

.

C.

\frac{5}{4}

.

D.

\frac{3}{4}

.

Xem đáp án

Đáp án B

Cho hình chóp S.ABC, M và N là các điểm thuộc các cạnh SA và SB sao cho MA=2SM ,SN=2SB (ảnh 1)

Dựng $M E / / S C, N F / / S C$ với $E \in A C, F \in B C$ .

Khi đó $\frac{E C}{E A} = \frac{1}{2}, \frac{F C}{F B} = 2$ . Đặt $V_{A B C D} = V$

Ta có: $\frac{V_{S . F E C}}{V_{S . A B C}} = \frac{S_{F E C}}{S_{A B C}} = \frac{1}{2} . \frac{2}{3} \Rightarrow V_{S . B E C} = \frac{2}{9} V$

Lại có: $V_{S . E N F} = \frac{2}{3} . V_{S . B E F} = \frac{2}{3} . \frac{1}{3} . \frac{1}{3} V_{S . A B C} = \frac{2}{27} V$

$V_{S . M N E} = \frac{1}{3} . \frac{2}{3} . V_{S . A B E} = \frac{2}{9} . \frac{2}{3} V_{S . A B C} = \frac{4}{27} V$

Suy ra $V_{S . M N F C E} = \frac{2}{9} V + \frac{2}{28} V + \frac{4}{27} V = \frac{4}{9} V \Rightarrow \frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{4}{5}$ .

Câu 48:

Cho 2 số thực x, y thỏa mãn $\log_{2} \frac{x^{2} + y^{2}}{3 x y + x^{2}} + x^{2} + 2 y^{2} + 1 \leq 3 x y$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{2 x^{2} - x y + 2 y^{2}}{2 x y - y^{2}}$ .

A.

\frac{3}{2}

.

B. $\frac{5}{2}$ .

C.

\frac{1}{2}

.

D.

\frac{7}{2}

.

Xem đáp án

Đáp án B

Biến đổi giả thiết ta có:

$\log_{2} \frac{x^{2} + y^{2}}{3 x y + x^{2}} + 1 + 2 x^{2} + 2 y^{2} \leq 3 x y + x^{2} \Leftrightarrow \log_{2} \frac{2 x^{2} + 2 y^{2}}{3 x y + x^{2}} + 2 x^{2} + 2 y^{2} \leq 3 x y + x^{2}$

$\Leftrightarrow \log_{2} (2 x^{2} + 2 y^{2}) + 2 x^{2} + 2 y^{2} \leq \log_{2} (3 x y + x^{2}) + 3 x y + x^{2}$

$\Leftrightarrow 2 x^{2} + 2 y^{2} \leq 3 x y + x^{2} \Leftrightarrow x^{2} - 3 x y + 2 y^{2} \leq 0 \Leftrightarrow 1 \leq \frac{x}{y} \leq 2$

Khi đó $P = \frac{2 {(\frac{x}{y})}^{2} - \frac{x}{y} + 2}{\frac{2 x}{y} - 1} = f (\frac{x}{y}) \geq f (\frac{3}{2}) = \frac{5}{2}$ .

Câu 49:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn f(0) = -2 và $f (x) + f (4 - x) = x^{2} - 4 x + 1, \forall x \in ℝ$ . Tích phân $\int_{0}^{2} x . f^{'} (2 x) d x$ bằng

A.

\frac{23}{6}

.

B.

\frac{23}{24}

.

C.

\frac{3}{4}

.

D.

\frac{19}{12}

.

Xem đáp án

Đáp án A

Đặt $t = 2 x \Rightarrow d t = 2 d x$ nên

$I = \int_{0}^{2} x . f^{'} (2 x) d x = \int_{0}^{4} \frac{t}{2} f^{'} (t) . \frac{d t}{2} = \frac{1}{4} \int_{0}^{4} t f^{'} (t) d t = 4 \frac{1}{4} \int_{0}^{4} x f^{'} (x) d x$

Lại có: $\int_{0}^{4} x f^{'} (x) d x = {x f (x)|}_{0}^{4} - \int_{0}^{4} f (x) d x = f (4) - \int_{0}^{4} f (x) d x$

Mặt khác $f (x) + f (4 - x) = x^{2} - 4 x + 1 \Rightarrow \int_{0}^{4} f (x) d x + \int_{0}^{4} f (4 - x) d x = \frac{- 20}{3} (*)$

Do $\int_{0}^{4} f (4 - x) d x = - \int_{0}^{4} f (4 - x) d (4 - x) = - \int_{4}^{0} f (u) d u = \int_{0}^{4} f (u) d u$

Suy ra $(*) \Leftrightarrow 2 \int_{0}^{4} f (x) d x = \frac{- 20}{3} \Rightarrow \int_{0}^{4} f (x) d x = \frac{- 10}{3}$

Thay $x = 0$ vào giả thiết ta được $f (0) + f (4) = 1 \Rightarrow f (4) = 3$ nên $I = \frac{23}{6}$ .

Câu 50:

Cho hàm số liên tục trên và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có bảng xét dấu của đạo hàm f'(x) như sau (ảnh 1)

Hàm số $g (x) = f (x^{2} - 2 x + 1 - |x - 1|)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 8.

B. 7.

C. 9.

D. 10.

Xem đáp án

Đáp án B

Chú ý ${(|x - 1|)}^{'} = \frac{x - 1}{|x - 1|}$

Ta có: $g^{'} (x) = (2 x - 2 - \frac{x - 1}{|x - 1|}) . f^{'} (x^{2} - 2 x + 1 - |x - 1|)$

$= (x - 1) (2 - \frac{1}{|x - 1|}) f^{'} (x^{2} - 2 x + 1 - |x - 1|) = (x - 1) (\frac{2 |x - 1| - 1}{|x - 1|}) . f^{'} (x^{2} - 2 x + 1 - |x - 1|)$

Phương trình $x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1, 2 |x - 1| - 1 = 0 \Leftrightarrow |x - 1| = \frac{1}{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{3}{2} \\ x = \frac{1}{2} \end{array}$

Mặt khác $f^{'} (x^{2} - 2 x + 1 - |x - 1|) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} - 2 x + 1 - |x - 1| = - 1 \\ x^{2} - 2 x + 1 - |x - 1| = 0 \\ x^{2} - 2 x + 1 - |x - 1| = 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} {|x - 1|}^{2} - |x - 1| + 1 = 0 \\ {|x - 1|}^{2} - |x - 1| = 0 \\ {|x - 1|}^{2} - |x - 1| - 1 = 0 \end{array}$

Câu 51:

Với a là số thực dương tùy ý, \[{\log _2}\left( {8a} \right)\] bằng

A. \[3 + {\log _2}a\]

B. \[4 + {\log _2}a\]

C. \[8{\log _2}a\]

D. \[3{\log _2}a\]

Xem đáp án

chọn D

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Bộ đề minh họa môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 (30 đề)

Bộ đề minh họa môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 (đề 11)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan