Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 3} \right) \ge {\log _{\frac{1}{2}}}4$ là

Cho 10 điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được chọn từ 10 điểm trên?

Cho đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ như hình vẽ bên. Diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ với trục Ox nằm phía trên và phía dưới trục Ox lần lượt là 3 và 1. Khi đó $\int\limits_{ - 2}^3 {f\left( x \right)d{\rm{x}}}$ bằng

Trong hình vẽ bên điểm M biểu diễn số phức ${z_1}$, điểm N biểu diễn số phức ${z_2}$. Hỏi trung điểm của đoạn MN là điểm biểu diễn hình học của số phức nào sau đây

 Trong hệ trục Oxyz cho mặt cầu có phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{z}} + 4y + 6{\rm{z}} - 1 = 0$. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu.

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng $\sqrt 2 a$. Độ lớn của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy bằng

Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

Cho hình lập phương $ABC{\rm{D}}{\rm{.A'B'C'D'}}$ có diện tích tam giác $AC{\rm{D'}}$ bằng ${a^2}\sqrt 3$. Tính thể tích V của khối lập phương.

Cho hàm số $y = f\left( x \right){\rm{ }}\left( C \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn ${f^3}\left( {1 - x} \right) + f\left( {1 - {x^2}} \right) = x + 1{\rm{ }}\left( {\forall x \in \mathbb{R}} \right)$. Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại giao điểm của $\left( C \right)$ với trục tung có dạng $y = ax + b$. Giá trị của biểu thức $T = 5{\rm{a}} + 2b$ bằng

Gọi $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 2{\rm{x}} + {e^x}$ thỏa mãn $F\left( 0 \right) = 2019$. Tính $F\left( 1 \right)$.

Tìm m để phương trình $\log _2^2x - {\log _2}{x^2} + 3 = m$ có nghiệm $x \in \left[ {1;8} \right]$.

Có 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Chọn ngẫu nhiên ra 2 tấm thẻ bất kỳ. Tính xác suất để tích của hai số trên 2 tấm thẻ đã lấy là một số chẵn.

Cho khối cầu $\left( S \right)$ tâm I, bán kính R không đổi. Một khối trụ thay đổi có chiều cao h và bán kính đáy r nội tiếp khối cầu. Tính chiều cao h theo R sao cho thể tích của khối trụ lớn nhất.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm $A\left( {1; - 1;2} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):2{\rm{x}} - y + z + 1 = 0$. Mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua điểm A và song song với $\left( P \right)$. Phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ là

Phương trình đường thẳng song song với đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}$ và cắt hai đường thẳng ${d_1}:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}$ và ${d_2}:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{3}$ là

Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{{\ln \left( {{x^2} + 1} \right)}}{x}$ thỏa mãn $f'\left( 1 \right) = a\ln 2 + b$ với $a,b \in \mathbb{Z}$. Giá trị của $a + b$ bằng