Cho khối cầu \(\left( S \right)\) tâm I, bán kính R không đổi. Một khối trụ thay đổi có chiều cao h và bán kính đáy r nội tiếp khối cầu. Tính chiều cao h theo R sao cho thể tích của khối trụ lớn nhất.
A. \(h = \frac{{2R\sqrt 3 }}{3}\)
B. \(h = \frac{{R\sqrt 2 }}{2}\)
Giải bởi Vietjack
Đáp án A
Gọi r, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối trụ.
Vì khối trụ nội tiếp khối cầu \( \Rightarrow {R^2} = {r^2} + {\left( {\frac{h}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow {r^2} = {R^2} - \frac{{{h^2}}}{4}\).
Thể tích của khối trụ là \(V = \pi {r^2}h = \pi h\left( {{R^2} - \frac{{{h^2}}}{4}} \right) = \frac{\pi }{4}.h\left( {4{{\rm{R}}^2} - {h^2}} \right)\).
Xét hàm số \(f\left( h \right) = 4{{\rm{R}}^2}h - {h^3}\) với \(h \in \left( {0;2{\rm{R}}} \right)\), có \(f'\left( h \right) = 4{{\rm{R}}^2} - 3{h^2} = 0 \Leftrightarrow h = \frac{{2R}}{{\sqrt 3 }}\).
Lập bảng biến thiên, ta được \(f\left( h \right)\) đạt GTLN khi và chỉ khi \(h = \frac{{2{\rm{R}}\sqrt 3 }}{3}\).
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho 10 điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được chọn từ 10 điểm trên?
Trong hình vẽ bên điểm M biểu diễn số phức \({z_1}\), điểm N biểu diễn số phức \({z_2}\). Hỏi trung điểm của đoạn MN là điểm biểu diễn hình học của số phức nào sau đây
Trong hệ trục Oxyz cho mặt cầu có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{z}} + 4y + 6{\rm{z}} - 1 = 0\). Xác định tâm và bán kính của mặt cầu.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng \(\sqrt 2 a\). Độ lớn của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy bằng
Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
Cho hình lập phương \(ABC{\rm{D}}{\rm{.A'B'C'D'}}\) có diện tích tam giác \(AC{\rm{D'}}\) bằng \({a^2}\sqrt 3 \). Tính thể tích V của khối lập phương.
Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 2{\rm{x}} + {e^x}\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 2019\). Tính \(F\left( 1 \right)\).
Cho đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) như hình vẽ bên. Diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) với trục Ox nằm phía trên và phía dưới trục Ox lần lượt là 3 và 1. Khi đó \(\int\limits_{ - 2}^3 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} \) bằng
Cho hàm số \(y = f\left( x \right){\rm{ }}\left( C \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \({f^3}\left( {1 - x} \right) + f\left( {1 - {x^2}} \right) = x + 1{\rm{ }}\left( {\forall x \in \mathbb{R}} \right)\). Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại giao điểm của \(\left( C \right)\) với trục tung có dạng \(y = ax + b\). Giá trị của biểu thức \(T = 5{\rm{a}} + 2b\) bằng
Số nghiệm nguyên của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 3} \right) \ge {\log _{\frac{1}{2}}}4\) là
Tìm m để phương trình \(\log _2^2x - {\log _2}{x^2} + 3 = m\) có nghiệm \(x \in \left[ {1;8} \right]\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm \(A\left( {1; - 1;2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2{\rm{x}} - y + z + 1 = 0\). Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua điểm A và song song với \(\left( P \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) là
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\ln \left( {{x^2} + 1} \right)}}{x}\) thỏa mãn \(f'\left( 1 \right) = a\ln 2 + b\) với \(a,b \in \mathbb{Z}\). Giá trị của \(a + b\) bằng
Phương trình đường thẳng song song với đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\) và cắt hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\) và \({d_2}:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{3}\) là
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(f\left( 4 \right) = 1\) và \(\int\limits_{ - 2}^2 {xf\left( {x + 2} \right)d{\rm{x}}} = 5\) khi đó \(\int\limits_0^4 {\left[ {{x^2}f'\left( x \right) + 4f\left( x \right)} \right]d{\rm{x}}} \) bằng
