Cho khối cầu \(\left( S \right)\) tâm I, bán kính R không đổi. Một khối trụ thay đổi có chiều cao h và bán kính đáy r nội tiếp khối cầu. Tính chiều cao h theo R sao cho thể tích của khối trụ lớn nhất.
A. \(h = \frac{{2R\sqrt 3 }}{3}\)
B. \(h = \frac{{R\sqrt 2 }}{2}\)
Giải bởi Vietjack
Đáp án A
Gọi r, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối trụ.
Vì khối trụ nội tiếp khối cầu \( \Rightarrow {R^2} = {r^2} + {\left( {\frac{h}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow {r^2} = {R^2} - \frac{{{h^2}}}{4}\).
Thể tích của khối trụ là \(V = \pi {r^2}h = \pi h\left( {{R^2} - \frac{{{h^2}}}{4}} \right) = \frac{\pi }{4}.h\left( {4{{\rm{R}}^2} - {h^2}} \right)\).
Xét hàm số \(f\left( h \right) = 4{{\rm{R}}^2}h - {h^3}\) với \(h \in \left( {0;2{\rm{R}}} \right)\), có \(f'\left( h \right) = 4{{\rm{R}}^2} - 3{h^2} = 0 \Leftrightarrow h = \frac{{2R}}{{\sqrt 3 }}\).
Lập bảng biến thiên, ta được \(f\left( h \right)\) đạt GTLN khi và chỉ khi \(h = \frac{{2{\rm{R}}\sqrt 3 }}{3}\).
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 200k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho 10 điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được chọn từ 10 điểm trên?
Trong hệ trục Oxyz cho mặt cầu có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{z}} + 4y + 6{\rm{z}} - 1 = 0\). Xác định tâm và bán kính của mặt cầu.
Trong hình vẽ bên điểm M biểu diễn số phức \({z_1}\), điểm N biểu diễn số phức \({z_2}\). Hỏi trung điểm của đoạn MN là điểm biểu diễn hình học của số phức nào sau đây
Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 2{\rm{x}} + {e^x}\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 2019\). Tính \(F\left( 1 \right)\).
Cho hình lập phương \(ABC{\rm{D}}{\rm{.A'B'C'D'}}\) có diện tích tam giác \(AC{\rm{D'}}\) bằng \({a^2}\sqrt 3 \). Tính thể tích V của khối lập phương.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng \(\sqrt 2 a\). Độ lớn của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy bằng
Số nghiệm nguyên của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 3} \right) \ge {\log _{\frac{1}{2}}}4\) là
Cho hàm số \(y = f\left( x \right){\rm{ }}\left( C \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \({f^3}\left( {1 - x} \right) + f\left( {1 - {x^2}} \right) = x + 1{\rm{ }}\left( {\forall x \in \mathbb{R}} \right)\). Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại giao điểm của \(\left( C \right)\) với trục tung có dạng \(y = ax + b\). Giá trị của biểu thức \(T = 5{\rm{a}} + 2b\) bằng
Tìm m để phương trình \(\log _2^2x - {\log _2}{x^2} + 3 = m\) có nghiệm \(x \in \left[ {1;8} \right]\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\ln \left( {{x^2} + 1} \right)}}{x}\) thỏa mãn \(f'\left( 1 \right) = a\ln 2 + b\) với \(a,b \in \mathbb{Z}\). Giá trị của \(a + b\) bằng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm \(A\left( {1; - 1;2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2{\rm{x}} - y + z + 1 = 0\). Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua điểm A và song song với \(\left( P \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) là
Cho đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) như hình vẽ bên. Diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) với trục Ox nằm phía trên và phía dưới trục Ox lần lượt là 3 và 1. Khi đó \(\int\limits_{ - 2}^3 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} \) bằng
Phương trình đường thẳng song song với đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\) và cắt hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\) và \({d_2}:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{3}\) là
Cho phương trình \(\log _2^2\left( {4{\rm{x}}} \right) - {\log _{\sqrt 2 }}\left( {2{\rm{x}}} \right) = 5\). Nghiệm nhỏ nhất của phương trình thuộc khoảng
