Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng ${d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z = 3\end{array} \right.$ và ${d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + 7t'\\z = 3 + t'\end{array} \right.$. Phương trình đường phân giác của góc tù giữa ${d_1}$ và ${d_2}$ là:

Một lớp có 19 học sinh nữ và 25 học sinh nam. Bạn lớp trưởng nữ chọn ngẫu nhiên 4 học sinh khác tham gia một hoạt động của Đoàn trường. Xác suất để 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ bằng (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 4).

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:

Số điểm cực tiểu của hàm số $g\left( x \right) = 2{f^3}\left( x \right) + 4{f^2}\left( x \right) + 1$ là:

Trong không gian Oxyz, có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {m + 2} \right)x - 2\left( {m - 1} \right)z + 3{m^2} - 5 = 0$ là phương trình của một mặt cầu?

Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow {OA} = \overrightarrow i - 2\overrightarrow j + 3\overrightarrow k$, điểm $B\left( {3; - 4;1} \right)$ và điểm $C\left( {2;0; - 1} \right)$. Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 6x + m} \right)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn $\left[ { - 2019;2019} \right]$ để hàm số $g\left( x \right) = f\left( {1 - x} \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$?

Cho tập A có 26 phần tử. Hỏi A có bao nhiêu tập con gồm 6 phần tử?

Kí hiệu ${z_1}$ và ${z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình ${z^2} + z + 1 = 0$. Tính $P = z_1^2 + z_2^2 + {z_1}{z_2}$.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và $\widehat {ABC} = 60^\circ$. Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ trùng với trọng tâm tam giác ABC. Gọi $\varphi$ là góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$, tính $\sin \varphi$ biết rằng $SB = a$.

Cho a là số thực dương khác 5. Tính $I = {\log _{\frac{a}{5}}}\left( {\frac{{{a^3}}}{{125}}} \right)$.

Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Các điểm E, F lần lượt là trung điểm của C’B’ và C’D’. Mặt phẳng $\left( {AEF} \right)$ cắt khối lập phương đã cho thành hai phần, gọi ${V_1}$ là thể tích khối chứa điểm A’ và ${V_2}$ là thể tích khối chứa điểm C’. Khi đó $\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}$ là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x - 4y + 6z - 1 = 0$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục và có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f\left( 2 \right) = - 2;\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 1$. Tính tích phân $I = \int\limits_{ - 1}^3 {f'\left( {\sqrt {x + 1} } \right)dx}$.

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ. Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình ${9.6^{f\left( x \right)}} + \left( {4 - {f^2}\left( x \right)} \right){.9^{f\left( x \right)}} \le \left( { - {m^2} + 5m} \right){.4^{f\left( x \right)}}$ đúng $\forall x \in \mathbb{R}$ là: