IMG-LOGO

Bộ đề minh họa môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 (đề 20)

  • 5066 lượt thi

  • 50 câu hỏi

  • 90 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \[\left( P \right):2x - 4y + 6z - 1 = 0\]. Mặt phẳng \[\left( P \right)\] có một vectơ pháp tuyến là:

Xem đáp án

Đáp án A

Mặt phẳng \[\left( P \right):2x - 4y + 6z - 1 = 0\] nhận \[\overrightarrow a = \left( {2; - 4;6} \right)\] là một vectơ pháp tuyến.

Xét \[\overrightarrow n = \left( {1; - 2;3} \right)\]. Ta có \[\overrightarrow a = 2\overrightarrow n \] nên suy ra \[\overrightarrow a \]\[\overrightarrow n \] cùng phương. Vậy \[\overrightarrow n = \left( {1; - 2;3} \right)\] cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( P \right)\].


Câu 2:

Cho a là số thực dương khác 5. Tính \[I = {\log _{\frac{a}{5}}}\left( {\frac{{{a^3}}}{{125}}} \right)\].

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Sử dụng công thức:  \[{\log _a}{b^m} = m{\log _a}b\;\left( {0 < a \ne 1,b > 0} \right)\].

Cách giải:

Ta có \[I = {\log _{\frac{a}{5}}}\left( {\frac{{{a^3}}}{{125}}} \right) = {\log _{\frac{a}{5}}}{\left( {\frac{a}{5}} \right)^3} = 3{\log _{\frac{a}{5}}}\left( {\frac{a}{5}} \right) = 3.\]


Câu 3:

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Cho hàm số y=f(x)  có bảng biến thiên như hình vẽ sau: (ảnh 1)

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

Xem đáp án

Đáp án B

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên \[\left( {0;2} \right)\].


Câu 4:

Phương trình \[{7^{2{x^2} + 5x + 4}} = 49\] có tổng tất cả các nghiệm bằng:

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Đưa về cùng cơ số: \[{a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)\;\left( {0 < a \ne 1} \right)\].

Cách giải:

Ta có \[{7^{2{x^2} + 5x + 4}} = 49 = {7^2} \Leftrightarrow 2{x^2} + 5x + 4 = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2}\\x = - 2\end{array} \right..\]

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là \[ - \frac{1}{2} - 2 = - \frac{5}{2}.\]


Câu 5:

Cho dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] với \[{u_n} = 2n + 5\]. Số hạng \[{u_4}\] bằng:

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có \[{u_4} = 2.4 + 5 = 13\].


Câu 6:

Đường cong như hình vẽ là đồ thị của hàm số nào?

Đường cong như hình vẽ là đồ thị của hàm số nào (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

+ Dựa vào \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y\] xác định dấu của hệ số a và loại đáp án.

+ Dựa vào các điểm đồ thị hàm số đi qua xác định đáp án đúng.

Cách giải:

Đồ thị hàm số đã cho là hàm đa thức bậc ba có \[a > 0\] do \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty  \Rightarrow \] Loại đáp án A.

Đồ thị hàm số đi qua điểm \[\left( {2;1} \right) \Rightarrow \] Loại các đáp án B và D.


Câu 7:

Cho mặt phẳng \[\left( P \right):x - 2y + z - 3 = 0\] và điểm \[A\left( {1;2;0} \right)\], phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với \[\left( P \right)\] là:

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình đường thẳng \[\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}\].


Câu 8:

Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Tính diện tích xung quanh của hình nón.

Xem đáp án

Đáp án B

Chú ý thiết diện qua trục tam giác vuông cân nên \[2R = a\sqrt 2 \Rightarrow R = \frac{a}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow {S_{xq}} = \pi Rl = \pi \frac{a}{{\sqrt 2 }}.a = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{2}\].


Câu 9:

Cho tập A có 26 phần tử. Hỏi A có bao nhiêu tập con gồm 6 phần tử?

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Số tập con gồm k phần tử của tập hợp A gồm n phần tử là \[C_n^k\].

Cách giải:

Số tập con gồm 6 phần tử trong tập A gồm 26 phần tử là \[C_{26}^6\].


Câu 10:

Trong không gian Oxyz, cho \[\overrightarrow {OA} = \overrightarrow i - 2\overrightarrow j + 3\overrightarrow k \], điểm \[B\left( {3; - 4;1} \right)\] và điểm \[C\left( {2;0; - 1} \right)\]. Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là:

Xem đáp án

Đáp án C

Từ giả thiết \[\overrightarrow {OA} = \overrightarrow i - 2\overrightarrow j + 3\overrightarrow k \Rightarrow A\left( {1; - 2;3} \right)\].

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = 2\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = - 2\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = 1\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {2; - 2;1} \right)\].

Vậy trọng tâm của tam giác ABC là điểm \[G\left( {2; - 2;1} \right)\].


Câu 11:

Cho \[\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 3\]\[\int\limits_0^2 {g\left( x \right)dx} = - 1\]. Giá trị của \[\int\limits_0^2 {\left[ {f\left( x \right) - 5g\left( x \right) + x} \right]dx} \] bằng:

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: \[I = \int\limits_0^2 {\left[ {f\left( x \right) - 5g\left( x \right) + x} \right]dx} = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} + 5\int\limits_0^2 {g\left( x \right)dx} + \int\limits_0^2 {xdx} \].

Do đó: \[I = 3 - 5\left( { - 1} \right) + \frac{1}{2}\left( {{2^2} - {0^2}} \right) = 10\].


Câu 12:

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

Xem đáp án

Đáp án B

Đáy là tam giác đều, diện tích cần ghi nhớ, khi đó: \[V = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.2a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\].


Câu 13:

Cho hai số phức \[{z_1} = 2 + 3i,{z_2} = 4 + 5i\]. Số phức liên hợp của số phức \[w = 2\left( {{z_1} + {z_2}} \right)\] là:

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: \[w = 2\left( {{z_1} + {z_2}} \right) = 2\left( {2 + 3i + 4 + 5i} \right) = 12 + 16i \Rightarrow \overline w = 12 - 16i\].


Câu 14:

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có bảng biến thiên như hình vẽ:

Cho hàm số y=f(x)có bảng biến thiên như hình vẽ:  (ảnh 1)

Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Dựa vào BBT để xác định số điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Cách giải:

Dựa vào BBT ta thấy hàm số có 2 điểm cực trị là \[x = - 1,x = 1\].


Câu 15:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {x^2}{e^{{x^3} + 1}}\].

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp đổi biến, đặt \[t = {x^3} + 1\].

Cách giải:

\[\int {f\left( x \right)dx} = \int {{x^2}{e^{{x^3} + 1}}dx} \]

Đặt \[t = {x^3} + 1 \Rightarrow dt = 3{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = \frac{{dt}}{3}\].

\[ \Rightarrow \int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{{e^t}dt}}{3}} = \frac{1}{3}{e^t} + C = \frac{1}{3}{e^{{x^3} + 1}} + C\].


Câu 16:

Số giao điểm của đồ thị hàm số \[y = {x^4} - 5{x^2} + 4\] với trục hoành là:

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Giải phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành. Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm.

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \[{x^4} - 5{x^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm 2\\x = \pm 1\end{array} \right.\].

Vậy số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành là 4.


Câu 17:

Cho hình chóp S.ABCSA vuông góc với đáy. Tam giác ABC vuông cân tại B, biết \[SA = AC = 2a\]. Thể tích khối chóp S.ABC là:

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp \[V = \frac{1}{3}{S_{day}}.h\]

Cách giải:

Do \(\Delta ABC\) vuông cân tại B\[AC = 2a \Rightarrow AB = BC = \frac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 2 \].

\[ \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.SA.\frac{1}{2}.BA.BC = \frac{1}{6}.2a.a\sqrt 2 .a\sqrt 2 = \frac{{2{a^3}}}{3}\].


Câu 18:

Kí hiệu \[{z_1}\]\[{z_2}\] là hai nghiệm phức của phương trình \[{z^2} + z + 1 = 0\]. Tính \[P = z_1^2 + z_2^2 + {z_1}{z_2}\].

Xem đáp án

Đáp án D

Do \[{z_1},{z_2}\] là nghiệm của phương trình \[{z^2} + z + 1 = 0\] nên \[{z_1} + {z_2} = - 1;{z_1}{z_2} = 1\]

Ta có \[P = z_1^2 + z_2^2 + {z_1}{z_2} = {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} - {z_1}{z_2} = {\left( { - 1} \right)^2} - 1 = 0\].


Câu 19:

Tìm tập xác định của hàm số \[y = \frac{1}{{\sqrt {{{\log }_2}\left( {x - 1} \right)} }}\].

Xem đáp án

Đáp án B

Điều kiện: \[{\log _2}\left( {x - 1} \right) > 0 \Rightarrow x - 1 > 1 \Rightarrow x > 2\].


Câu 20:

Giá trị lớn nhất của hàm số \[y = f\left( x \right) = {x^4} - 4{x^2} + 5\] trên đoạn \[\left[ { - 2;3} \right]\] bằng:

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: \[f'\left( x \right) = 4{x^3} - 8x \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm \sqrt 2 \end{array} \right.\].

Trên đoạn \[\left[ { - 2;3} \right]\] ta có \[f\left( { - 2} \right) = 5;f\left( 3 \right) = 50;f\left( 0 \right) = 5;f\left( { \pm \sqrt 2 } \right) = 1\].

Vậy \[\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;3} \right]} f\left( x \right) = 50\].


Câu 21:

Trong không gian Oxyz, có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {m + 2} \right)x - 2\left( {m - 1} \right)z + 3{m^2} - 5 = 0\] là phương trình của một mặt cầu?

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình đã cho là phương trình của một mặt cầu

\[ \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} + {\left( {m + 1} \right)^2} - 3{m^2} + 5 > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 10 < 0 \Leftrightarrow 1 - \sqrt {11} < m < 1 + \sqrt {11} \].

Do \[m \in \mathbb{Z}\] nên \[m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2;3;4} \right\}\]. Vậy có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.


Câu 22:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA vuông góc với mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\]\[AB = 2,AC = 4,SA = \sqrt 5 \]. Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp S.ABC có bán kính là:

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp có cạnh bên vuông góc với đáy là \[R = \sqrt {\frac{{{h^2}}}{4} + S_{day}^2} \], trong đó h là chiều cao của khối chóp và \({R_{day}}\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy.

Cách giải:

Xét tam giác vuông ABC ta có \[BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{2^2} + {4^2}} = 2\sqrt 5 \].

Tam giác ABC vuông tại A nên nội tiếp đường tròn đường kính BC.

Gọi \({R_{day}}\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Sử dụng công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC\[SA \bot \left( {ABC} \right)\]:

\[R = \sqrt {\frac{{S{A^2}}}{4} + S_{day}^2} = \sqrt {\frac{5}{4} + 5}  = \frac{5}{2}\].


Câu 23:

Cho hàm số \[f\left( x \right)\] có đạo hàm liên tục trên \[\mathbb{R}\] và hàm \[y = f'\left( x \right)\] có đồ thị như hình vẽ. Xét hàm số \[g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 5} \right)\]. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

Cho hàm số  f(x) có đạo hàm liên tục trên R  và hàm y=f'(x)   (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án B

Ta có \[g'\left( x \right) = 2xf'\left( {{x^2} - 5} \right);\;g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\f'\left( {{x^2} - 5} \right) = 0\end{array} \right.\].

Từ đồ thị suy ra \[\left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 5 = - 1\\{x^2} - 5 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 2\\x = \pm \sqrt 7 \end{array} \right.\].

Bảng biến thiên:

Cho hàm số  f(x) có đạo hàm liên tục trên R  và hàm y=f'(x)   (ảnh 2)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số \[g\left( x \right)\] đồng biến trên khoảng \[\left( { - 2;0} \right)\].


Câu 24:

Hệ số của số hạng chứa \[{x^7}\] trong khai triển nhị thức \[{\left( {x - \frac{2}{{x\sqrt x }}} \right)^{12}}\] (với \[x > 0\]) là:

Xem đáp án

Đáp án C

Số hạng tổng quát của khai triển \[{\left( {x - \frac{2}{{x\sqrt x }}} \right)^{12}}\] (với \[x > 0\]) là:

\[{T_{k + 1}} = C_{12}^k.{x^{12 - k}}.{\left( { - \frac{2}{{x\sqrt x }}} \right)^k} = {\left( { - 2} \right)^k}.C_{12}^k.{x^{12 - k}}.{x^{ - \frac{{3k}}{2}}} = {\left( { - 2} \right)^k}.C_{12}^k.{x^{12 - \frac{{5k}}{2}}}\]

Số hạng trên chứa \[{x^7}\] suy ra \[12 - \frac{{5k}}{2} = 7 \Leftrightarrow k = 2\].

Vậy hệ số của số hạng chứa \[{x^7}\] trong khai triển trên là \[ = {\left( { - 2} \right)^2}.C_{12}^2 = 264\].


Câu 25:

Cho số phức z thỏa mãn \[z + 2\overline z = 6 + 2i\]. Điểm biểu diễn số phức z có tọa độ là:

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi số phức \[z = x + yi\] với \[x,y \in \mathbb{R}\]. Theo bài ra ta có:

\[\left( {x + yi} \right) + 2\left( {x - yi} \right) = 6 + 2i \Leftrightarrow 3x - yi = 6 + 2i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 2\end{array} \right.\].

Vậy điểm biểu diễn số phức z có tọa độ là: \[\left( {2; - 2} \right)\].


Câu 26:

Tập nghiệm của bất phương trình \[{\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 1} \right) + {\log _3}\left( {11 - 2x} \right) \ge 0\] là:

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Biến đổi đưa về cùng cơ số rồi giải bất phương trình.

Cách giải:

Điều kiện: \[\left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\11 - 2x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x < \frac{{11}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < x < \frac{{11}}{2}\].

Ta có: \[{\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 1} \right) + {\log _3}\left( {11 - 2x} \right) \ge 0 \Leftrightarrow - {\log _3}\left( {x - 1} \right) + {\log _3}\left( {11 - 2x} \right) \ge 0\]

\[ \Rightarrow {\log _3}\frac{{11 - 2x}}{{x - 1}} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{11 - 2x}}{{x - 1}} \ge 1 \Leftrightarrow \frac{{11 - 2x}}{{x - 1}} - 1 \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{12 - 3x}}{{x - 1}} \ge 0 \Leftrightarrow 12 - 3x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 4\] (do \[x - 1 > 0\]).

Kết hợp với điều kiện \[1 < x < \frac{{11}}{2}\] ta được \[1 < x \le 4\] hay tập nghiệm của bất phương trình là \[S = \left( {1;4} \right]\].


Câu 27:

Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng 10 và diện tích xung quanh bằng \[60\pi \]. Thể tích của khối nón đã cho bằng:

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi bán kính hình tròn đáy của khối nón là R.

Diện tích xung quanh của khối nón \[S = \pi .R.10 = 60\pi \Rightarrow R = 6\].

Thể tích khối nón đã cho bằng: \[V = \frac{1}{3}\pi {R^2}\sqrt {{l^2} - {R^2}} = \frac{1}{3}\pi {.6^2}.\sqrt {{{10}^2} - {6^2}} = 96\pi \].


Câu 28:

Cho đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\] như hình vẽ bên. Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \[y = \frac{{{x^2} - 1}}{{f\left( x \right)}}\] là:

Cho đồ thị hàm số y=(x)=ax^3+bx^2+cx+d  như hình vẽ bên (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án A

Dễ thấy \[f\left( x \right) = k\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\].

Do đó \[y = \frac{{{x^2} - 1}}{{f\left( x \right)}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{k\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{1}{{k\left( {x - 2} \right)}}\].

Vậy đồ thị hàm số \[y = \frac{{{x^2} - 1}}{{f\left( x \right)}}\] có 1 đường tiệm cận đứng.


Câu 29:

Thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = {x^2} - 2x\], trục hoành, đường thẳng \[x = 0\] và đường thẳng \[x = 1\] quay quanh trục hoành là:

Xem đáp án

Đáp án C

Thể tích cần tính bằng \[V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{x^2} - 2x} \right)}^2}dx} = \frac{{8\pi }}{{15}}\].


Câu 30:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \[A\left( {0;1;0} \right)\] và mặt phẳng \[\left( Q \right):x + y - 4z - 6 = 0\] và đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 3 + t\\z = 5 - t\end{array} \right.\]. Phương trình mặt phẳng qua A song song với d và vuông góc với mặt phẳng \[\left( Q \right)\] là:

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có \[\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {15;5;5} \right) \Rightarrow \left( P \right):3x + y + z - 1 = 0\].


Câu 31:

Cho \[\int {{{\left( {\frac{x}{{x + 1}}} \right)}^2}dx = mx + n\ln \left| {x + 1} \right| + \frac{P}{{x + 1}} + C} \]. Giá trị của biểu thức \[m + n + p\] bằng:

Xem đáp án

Đáp án D

\[\int {{{\left( {\frac{x}{{x + 1}}} \right)}^2}dx} = \int {{{\left( {1 - \frac{1}{{x + 1}}} \right)}^2}dx} = \int {\left[ {1 - \frac{2}{{x + 1}} + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right]dx} = x - 2\ln \left| {x + 1} \right| - \frac{1}{{x + 1}} + C\].

\[ \Rightarrow m = 1;n = - 2;p = - 1\]. Vậy \[m + n + p = 1 - 2 - 1 = - 2\].


Câu 32:

Cho hàm số \[f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\] thỏa mãn các điều kiện: \[f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 ,f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\]\[f\left( x \right).f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} ,\forall x \in \mathbb{R}\]. Khi đó giá trị \[f\left( 1 \right)\] bằng:

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Chia cả hai vế cho \[\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} \] rồi lấy nguyên hàm hai vế tìm \[f\left( x \right)\].

Cách giải:

Ta có \[f\left( x \right).f'\left( x \right) = 2x + 1\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} \].

\[ \Rightarrow \frac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }} = 2x + 1 \Rightarrow \int {\frac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}dx} = \int {\left( {2x + 1} \right)dx} \]

Tính \[\int {\frac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}dx} \], ta đặt \[\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} = t \Rightarrow 1 + {f^2}\left( x \right) = {t^2} \Leftrightarrow 2f\left( x \right)f'\left( x \right)dx = 2tdt \Rightarrow f\left( x \right).f'\left( x \right)dx = tdt\].

Thay vào ta được \[\int {\frac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}dx} = \int {\frac{{tdt}}{t}} = \int {dt} = t + C = \sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} + C\].

Do đó \[\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} + C = {x^2} + x\].

\[f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 \Rightarrow \sqrt {1 + {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}} + C = 0 \Leftrightarrow C = - 3\].

Từ đó: \[\begin{array}{l}\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} - 3 = {x^2} + x \Rightarrow \sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} - 3 = 1 + 1 \Leftrightarrow \sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} = 5\\ \Leftrightarrow 1 + {f^2}\left( 1 \right) = 25 \Leftrightarrow {f^2}\left( 1 \right) = 24 \Leftrightarrow f\left( 1 \right) = \sqrt {24} \end{array}\]


Câu 33:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \[M\left( {1;2;3} \right)\] và song song với giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( P \right):3x + y - 3 = 0,\left( Q \right):2x + y + z = 0\].

Xem đáp án

Đáp án D

Các VTPT của hai mặt phẳng \[\left( P \right)\]\[\left( Q \right)\] lần lượt là: \[\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3;1;0} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;1;1} \right)\].

VTCP của đường thẳng cần tìm là \[\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {1; - 3;1} \right)\]. Phương trình đường thẳng đó là: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - 3t\\z = 3 + t\end{array} \right..\]


Câu 34:

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\] và có đạo hàm \[f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 6x + m} \right)\] với mọi \[x \in \mathbb{R}\]. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn \[\left[ { - 2019;2019} \right]\] để hàm số \[g\left( x \right) = f\left( {1 - x} \right)\] nghịch biến trên khoảng \[\left( { - \infty ; - 1} \right)\]?

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Hàm số nghịch biến trên \[\left( { - \infty ; - 1} \right)\] nếu \[g'\left( x \right) \le 0,\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\].

Cách giải:

Ta có \[\begin{array}{l}g'\left( x \right) = - f'\left( {1 - x} \right) = - {\left( {1 - x} \right)^2}\left( {1 - x - 2} \right)\left[ {{{\left( {1 - x} \right)}^2} - 6\left( {1 - x} \right) + m} \right]\\ = - {\left( {1 - x} \right)^2}\left( { - 1 - x} \right)\left( {{x^2} + 4x + m - 5} \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 4x + m - 5} \right).\end{array}\]

Hàm số \[g\left( x \right)\] nghịch biến trên \[\left( { - \infty ; - 1} \right)\].

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow g'\left( x \right) \le 0,\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 4x + m - 5} \right) \le 0,\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + m - 5 \ge 0,\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\;\left( {{\rm{do}}\;x + 1 < 0,\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)} \right)\\ \Leftrightarrow h\left( x \right) = {x^2} + 4x - 5 \ge m\;\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \Leftrightarrow - m \le \mathop {\min }\limits_{\left( { - \infty ; - 1} \right]} h\left( x \right)\end{array}\]

Ta có: \[h'\left( x \right) = 2x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = - 2\].

BBT

Cho hàm số  y=f(x) liên tục trên  R và có đạo hàm f'(x)=x^2*(x-2)*(x^2-6x+m) (ảnh 1)

Dựa vào BBT ta có \[ - m \le - 9 \Leftrightarrow m \ge 9\].

\[m \in \left[ { - 2019;2019} \right]\]m nguyên nên \[m \in \left[ {9;10;11;...;2019} \right]\] hay có \[2019 - 9 + 1 = 2011\] giá trị của m thỏa mãn.


Câu 35:

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\], hàm số \[y = f'\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\] và có bảng biến thiên như hình vẽ:

Cho hàm số y=f(x) , hàm số y=f'(x)  liên tục trên R  và có bảng biến thiên như hình vẽ: (ảnh 1)

Bất phương trình \[f\left( x \right) < 4{e^{x + 1}} + m\] có nghiệm \[x \in \left( { - 1;1} \right)\] khi và chỉ khi:

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: \[f\left( x \right) < 4{e^{x + 1}} + m \Leftrightarrow m > f\left( x \right) - 4{e^{x + 1}} = g\left( x \right)\].

Mặt khác \[g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 4{e^{x + 1}}\], với \[x \in \left( { - 1;1} \right)\] thì \[\left\{ \begin{array}{l}f'\left( x \right) \le 4\\ - 4{e^{x + 1}} \in \left( { - 4{e^2}; - 4} \right)\end{array} \right.\].

Do đó \[g'\left( x \right) \le 4 - 4 = 0\] suy ra hàm số \[g\left( x \right)\] nghịch biến trên khoảng \[\left( { - 1;1} \right)\].

Khi đó bảng biến thiên của \[g\left( x \right)\] là:

Cho hàm số y=f(x) , hàm số y=f'(x)  liên tục trên R  và có bảng biến thiên như hình vẽ: (ảnh 2)

Suy ra phương trình \[m > f\left( x \right) - 4{e^{x + 1}}\] có nghiệm \[ \Leftrightarrow m > g\left( 1 \right) \Leftrightarrow m > f\left( 1 \right) - 4{e^2}\].


Câu 36:

Một lớp có 19 học sinh nữ và 25 học sinh nam. Bạn lớp trưởng nữ chọn ngẫu nhiên 4 học sinh khác tham gia một hoạt động của Đoàn trường. Xác suất để 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ bằng (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 4).

Xem đáp án

Đáp án C

Theo bài ra, bạn lớp trưởng sẽ chọn ngẫu nhiên 4 học sinh trong 19 học sinh nữ và 25 học sinh nam.

Số cách chọn 4 học sinh trong 44 học sinh của lớp là: \[C_{44}^4 = 135751\].

Số cách chọn cả 4 học sinh đều là nữ là: \[C_{19}^4\].

Số cách chọn cả 4 học sinh đều là nam là: \[C_{25}^4\].

Số cách chọn 4 học sinh trong đó có cả nam và nữ là: \[C_{44}^4 - C_{19}^4 - C_{25}^4 = 119225\] cách.

Xác suất để 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ là: \[\frac{{119225}}{{135751}} \approx 0,8783\].


Câu 37:

Một hình hộp chữ nhật có chiều cao là 90 cm, đáy hộp là hình chữ nhật có chiều rộng là 50 cm và chiều dài là 80 cm. Trong khối hộp có chứa nước, mực nước so với đáy hộp có chiều cao là 40 cm. Hỏi khi đặt vào khối hộp một khối trụ có chiều cao bằng chiều cao khối hộp và bán kính đáy là 20 cm theo phương thẳng đứng thì chiều cao của mực nước so với đáy là bao nhiêu?

Một hình hộp chữ nhật có chiều cao là 90 cm, đáy hộp là hình chữ nhật có chiều rộng là 50 cm (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án C

Trước khi đặt vào khối hộp một khối trụ thì thể tích lượng nước có trong khối hộp là:

\[{V_n} = 40.80.50 = 160000\left( {c{m^3}} \right)\].

Gọi \[h\left( {cm} \right)\] là chiều cao của mực nước so với đáy.

Sau khi đặt vào khối hộp một khối trụ thì thể tích lượng nước là: \[{V_n} = h.\left( {4000 - 400\pi } \right)\left( {c{m^3}} \right)\]

Do lượng nước không đổi nên ta có: \[\begin{array}{l}h.\left( {4000 - 400\pi } \right) = 160000\\ \Leftrightarrow h = \frac{{160000}}{{4000 - 400\pi }} \approx 58,32\;\left( {cm} \right).\end{array}\]


Câu 38:

Cho phương trình \[{2^{{x^3} + {x^2} - 2x + m}} - {2^{{x^2} + x}} + {x^3} - 3x + m = 0\]. Tập các giá trị m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt có dạng \[\left( {a;b} \right)\]. Tổng \[\left( {a + 2b} \right)\] bằng:

Xem đáp án

Đáp án D

\[{2^{{x^3} + {x^2} - 2x + m}} - {2^{{x^2} + x}} + {x^3} - 3x + m = 0 \Leftrightarrow {2^{{x^3} + {x^2} - 2x + m}} + \left( {{x^3} + {x^2} - 2x + m} \right) = {2^{{x^2} + x}} + \left( {{x^2} + x} \right)\;\;\;\left( 1 \right)\].

Xét hàm số \[f\left( t \right) = {2^t} + t\] với \[t \in \mathbb{R}\].

Do \[f'\left( t \right) = {2^t}.\ln 2 + 1 > 0\;\forall t \in \mathbb{R}\] nên hàm số \[f\left( t \right)\] đồng biến trên \[\mathbb{R}\].

Phương trình (1) có dạng \[f\left( {{x^3} + {x^2} - 2x + m} \right) = f\left( {{x^2} + x} \right)\].

Suy ra \[{x^3} + {x^2} - 2x + m = {x^2} + x \Leftrightarrow m = - {x^3} + 3x\;\;\;\left( 2 \right)\]

Bài toán trở thành tìm tập các giá trị m để phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt.

Ta có BBT của hàm số \[g\left( x \right) = - {x^3} + 3x\].

Cho phương trình 2^( x^3+x^2-2x+m)-2^(x^2+x)+x^3-3x+m=0 (ảnh 1)

Yêu cầu bài toán \[ \Rightarrow m \in \left( { - 2;2} \right)\] hay \[a = - 2;b = 2\].

Vậy \[a + 2b = 2\].


Câu 39:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a \[\widehat {ABC} = 60^\circ \]. Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] trùng với trọng tâm tam giác ABC. Gọi \[\varphi \] là góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng \[\left( {SCD} \right)\], tính \[\sin \varphi \] biết rằng \[SB = a\].

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

-         Gọi M là trung điểm của SD, nhận xét góc giữa SB\[\left( {SCD} \right)\] cũng bằng góc giữa OM\[\left( {SCD} \right)\].

-         Xác định góc \[\varphi \] và tính \[\sin \varphi \].

Cách giải:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và  góc ABC = 60 độ (ảnh 1)

Gọi M là trung điểm của SD, nhận xét góc giữa SB \[\left( {SCD} \right)\] cũng bằng góc giữa OM\[\left( {SCD} \right)\] (vì \[OM//SB\]).

Gọi H là hình chiếu của O trên \[\left( {SCD} \right) \Rightarrow \left( {OM,\left( {SCD} \right)} \right) = \left( {OM,MH} \right) = OMH\].

Trong \[\left( {SBD} \right)\] kẻ \[OE//SH\], khi đó tứ diện OECD là tứ diện vuông nên \[\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{C^2}}} + \frac{1}{{O{D^2}}} + \frac{1}{{O{E^2}}}\].

Ta dễ dàng tính được: \[OC = \frac{a}{2},OD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\].

Lại có \[\frac{{OE}}{{SH}} = \frac{{OD}}{{HD}} = \frac{3}{4} \Rightarrow OE = \frac{3}{4}SH\], mà \[SH = \sqrt {S{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\].

Do đó \[OE = \frac{3}{4}SH = \frac{3}{4}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\].

Suy ra \[\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{4}} \right)}^2}}} = \frac{8}{{{a^2}}} \Rightarrow OH = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\].

Tam giác OMH vuông tại H\[OM = \frac{1}{2}SB = \frac{a}{2};OH = \frac{{a\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow \sin OMH = \frac{{OH}}{{OM}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\].

Vậy \[\sin \varphi = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]


Câu 40:

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục và có đạo hàm trên \[\mathbb{R}\] thỏa mãn \[f\left( 2 \right) = - 2;\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 1\]. Tính tích phân \[I = \int\limits_{ - 1}^3 {f'\left( {\sqrt {x + 1} } \right)dx} \].

Xem đáp án

Đáp án D

Đặt \[\sqrt {x + 1} = t \Rightarrow x + 1 = {t^2} \Rightarrow dx = 2tdt\].

Đổi cận \[x = - 1 \Rightarrow t = 0;x = 3 \Rightarrow t = 2\].

\[ \Rightarrow I = \int\limits_0^2 {f'\left( t \right)2tdt} = \int\limits_0^2 {2xf'\left( x \right)dx} \].

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = 2x\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2dx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\].

\[ \Rightarrow I = 2x.f'\left( x \right)\left| \begin{array}{l}^2\\_0\end{array} \right. - \int\limits_0^2 {2.f\left( x \right)dx}  = 4.\left( { - 2} \right) - 2.1 = - 10\].


Câu 41:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng \[{d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z = 3\end{array} \right.\]\[{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + 7t'\\z = 3 + t'\end{array} \right.\]. Phương trình đường phân giác của góc tù giữa \[{d_1}\]\[{d_2}\] là:

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi d là đường thẳng cần tìm. Ta có: \[{d_1}\] cắt \[{d_2}\] tại điểm \[I\left( {1;2;3} \right) \Rightarrow d\] đi qua I.

Lại có: \[\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;1;0} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {0;7;1} \right)\], vì \[\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 7 > 0 \Rightarrow \] góc giữa \[\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \] là góc nhọn.

Suy ra VTCP của góc tù tạo bởi \[{d_1}\]\[{d_2}\] là:

\[\overrightarrow u = \frac{{\overrightarrow {{u_1}} }}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|}} - \frac{{\overrightarrow {{u_2}} }}{{\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{\left( {1;1;0} \right)}}{{\sqrt 2 }} - \frac{{\left( {0;7;1} \right)}}{{5\sqrt 2 }} = \frac{1}{{5\sqrt 2 }}\left( {5; - 2; - 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} = \left( {5; - 2; - 1} \right)\].


Câu 42:

Có bao nhiêu cặp số thực \[\left( {x;y} \right)\] thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: \[{7^{\left| {{x^2} - 4x - 5} \right| - {{\log }_7}5}} = {5^{ - \left( {y + 2} \right)}}\]\[2\left| {y - 2} \right| - \left| y \right| + {y^2} - y \le 7\]?

Xem đáp án

Đáp án B

Xét phương trình: \[2\left| {y - 2} \right| - \left| y \right| + {y^2} - y \le 7\;\;\;\left( 1 \right)\]

TH1: \[y < 0,\;\left( 1 \right) \Leftrightarrow - 2y + 4 + y + {y^2} - y - 7 \le 0 \Leftrightarrow {y^2} - 2y - 3 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le y \le 3 \Rightarrow - 1 \le y < 0.\]

TH2: \[0 \le y < 2,\;\left( 1 \right) \Leftrightarrow - 2y + 4 - y + {y^2} - y - 7 \le 0 \Leftrightarrow {y^2} - 4y - 3 \le 0 \Leftrightarrow 2 - \sqrt 7 \le y \le 2 + \sqrt 7 \Rightarrow 0 \le y < 2.\]

TH3: \[y \ge 2,\;\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2y - 4 - y + {y^2} - y - 7 \le 0 \Leftrightarrow {y^2} - 11 \le 0 \Leftrightarrow - \sqrt {11} \le y \le \sqrt {11} \Rightarrow 2 \le y \le \sqrt {11} .\]

Vậy nghiệm của (1) là \[ - 1 \le y \le \sqrt {11} \].

Ta có \[{7^{\left| {{x^2} - 4x - 5} \right| - {{\log }_7}5}} = {5^{ - \left( {y + 2} \right)}} \Leftrightarrow {7^{\left| {{x^2} - 4x - 5} \right|}}{.5^{ - 1}} = {5^{ - \left( {y + 2} \right)}} \Leftrightarrow {7^{\left| {{x^2} - 4x - 5} \right|}} = {5^{ - \left( {y + 1} \right)}}\;\;\;\left( * \right)\].

Do \[y \ge - 1 \Rightarrow - \left( {y + 1} \right) \le 0 \Rightarrow {5^{ - \left( {y + 1} \right)}} \le 1,{7^{\left| {{x^2} - 4x - 5} \right|}} \ge {7^0} = 1\] nên (*) xảy ra khi \[\left\{ \begin{array}{l}\left| {{x^2} - 4x - 5} \right| = 0\\ - \left( {y + 1} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\].

Vậy có 2 cặp số thực \[\left( {x;y} \right)\] thỏa yêu cầu bài toán.


Câu 43:

Cho hai số phức \[{z_1},{z_2}\] thỏa mãn \[\left| {{z_1} + 2 - i} \right| = 2\]\[{z_2} = i{z_1}\]. Tập hợp điểm biểu diễn số phức \[w = {z_1} - {z_2}\] trên mặt phẳng tọa độ là đường tròn có tâm:

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: \[w = {z_1} - {z_2} = {z_1} - i{z_1} = \left( {1 - i} \right){z_1} \Rightarrow {z_1} = \frac{w}{{1 - i}}\].

Suy ra \[\left| {\frac{w}{{1 - i}} + 2 - i} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {\frac{{w + \left( {1 - i} \right)\left( {2 - i} \right)}}{{1 - i}}} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {w + 1 - 3i} \right| = 2\sqrt 2 \].

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm \[I\left( { - 1;3} \right)\], bán kính \[R = 2\sqrt 2 \].


Câu 44:

Cho hàm số \[f\left( x \right)\]\[f\left( 1 \right) = 1\]\[f'\left( x \right) = - \frac{{\ln x}}{{{x^2}}},\forall x > 0\]. Khi đó \[\int\limits_1^e {f\left( x \right)dx} \] bằng:

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có \[f'\left( x \right) = - \frac{{\ln x}}{{{x^2}}},\forall x > 0 \Rightarrow f\left( x \right) = \int {\left( { - \frac{{\ln x}}{{{x^2}}}} \right)dx} = \int {\ln x.d\left( {\frac{1}{x}} \right)} \]

\[ \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{{\ln x}}{x} - \int {\frac{1}{{{x^2}}}dx} \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{{\ln x}}{x} + \frac{1}{x} + C\].

\[f\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow C = 0\] nên \[f\left( x \right) = \frac{{\ln x}}{x} + \frac{1}{x}\].

Suy ra \[\int\limits_1^e {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^e {\left( {\frac{{\ln x}}{x} + \frac{1}{x}} \right)dx} = \left( {\frac{{{{\ln }^2}x}}{2} + \ln x} \right)\left| \begin{array}{l}^e\\_1\end{array} \right. = \frac{3}{2}\].

Vậy \[\int\limits_1^e {f\left( x \right)dx} = \frac{3}{2}\].


Câu 45:

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có bảng biến thiên như sau:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau:  Số điểm cực tiểu của hàm số (ảnh 1)

Số điểm cực tiểu của hàm số \[g\left( x \right) = 2{f^3}\left( x \right) + 4{f^2}\left( x \right) + 1\] là:

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: \[g'\left( x \right) = 6{f^2}\left( x \right).f'\left( x \right) + 8f\left( x \right).f'\left( x \right) \Leftrightarrow g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = 0\\f\left( x \right) = 0\\f\left( x \right) = - \frac{4}{3}\end{array} \right..\]

Với \[f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 0\\x = 1\end{array} \right.;\;f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {x_1} < 1\\x = {x_2} > 1\end{array} \right.;\;f\left( x \right) = - \frac{4}{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {x_3},{x_3} > {x_1}\\x = {x_4} \in \left( { - 1;0} \right)\\x = {x_5} \in \left( {0;1} \right)\\x = {x_6} > 1,{x_6} < {x_2}\end{array} \right..\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \] nên ta có bảng biến thiên cho \[g\left( x \right)\] như sau:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau:  Số điểm cực tiểu của hàm số (ảnh 2)

Từ đây ta suy ra số điểm cực tiểu của hàm số \[g\left( x \right)\] là 5.


Câu 46:

Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Các điểm E, F lần lượt là trung điểm của C’B’C’D’. Mặt phẳng \[\left( {AEF} \right)\] cắt khối lập phương đã cho thành hai phần, gọi \[{V_1}\] là thể tích khối chứa điểm A’\[{V_2}\] là thể tích khối chứa điểm C’. Khi đó \[\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\] là:

Xem đáp án

Đáp án A

Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Các điểm E, F lần lượt là trung điểm  (ảnh 1)

Dựng thiết diện: PQ qua A và song song với BD (vì \[EF//B'D'//BD\]).

PE cắt các cạnh BB’, CC’ tại MI. Tương tự ta tìm được giao điểm N. Thiết diện là AMEFN.

Dựa vào đường trung bình BD và định lí Ta-lét cho các tam giác IAC, DNQ, D’NF ta tính được: \[IC' = \frac{a}{3},ND = \frac{{2a}}{3}\]. Tương tự ta tính được: \[MB = \frac{{2a}}{3}\]. Và ta có: \[QD = PB = a\].

Ta có \[{V_{IEFC'}} = \frac{1}{3}.\frac{a}{3}.\frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{a}{2} = \frac{{{a^3}}}{{72}}\]. Dùng tỉ lệ thể tích ta có: \[{V_{IPQC}} = {4^3}.{V_{IEFC'}} = 64.\frac{{{a^3}}}{{72}} = \frac{{8{a^3}}}{9}\]

\[{V_{NADQ}} = \frac{1}{3}.\frac{{2a}}{3}.\frac{1}{2}.a.a = \frac{{{a^3}}}{9} = {V_{MPAB}} \Rightarrow {V_2} = \frac{{8{a^3}}}{9} - \frac{{{a^3}}}{{72}} - 2.\frac{{{a^3}}}{9} = \frac{{47{a^3}}}{{72}}\].

Thể tích khối lập phương ABCD.A’B’C’D’\[{a^3}\] nên \[{V_1} = {a^3} - \frac{{47{a^3}}}{{72}} = \frac{{25{a^3}}}{{72}}\].

\[ \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{25}}{{47}}\].


Câu 47:

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \[\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 16\]. Mặt phẳng \[\left( P \right)\] thay đổi luôn đi qua điểm \[A\left( {2;1;9} \right)\] và tiếp xúc với mặt cầu \[\left( S \right)\]. Đặt M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm O đến \[\left( P \right)\]. Giá trị M + m bằng:

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: \[\left( P \right):a\left( {x - 2} \right) + b\left( {y - 1} \right) + c\left( {z - 9} \right) = 0\;\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} > 0} \right)\].

Mặt khác  \[D\left( {I;\left( P \right)} \right) = 4 \Leftrightarrow \frac{{\left| {8c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 4 \Leftrightarrow \frac{{\left| {2c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 1\].

Do đó \[c \ne 0\] chọn \[c = 1 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 3\].

Đặt \[a = \sqrt 3 \sin t;\;b = \sqrt 3 \cos t \Rightarrow d\left( {O;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2a + b + 9} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{{\left| {2a + b + 9} \right|}}{2} = \frac{{\left| {2\sqrt 3 \sin t + \sqrt 3 \cos t + 9} \right|}}{2}\].

Mặt khác \[ - \sqrt {12 + 3} \le 2\sqrt 3 \sin t + \sqrt 3 \cos t \le \sqrt {12 + 3} \Rightarrow \frac{{9 - \sqrt {15} }}{2} \le {d_0} \le \frac{{9 + \sqrt {15} }}{2} \Rightarrow M + m = 9\].


Câu 48:

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm liên tục trên \[\mathbb{R}\]. Đồ thị của hàm số \[y = f'\left( x \right)\] như hình vẽ.

Cho hàm số  y=f(x) có đạo hàm liên tục trên R . Đồ thị của hàm số y=f'(x)  như hình vẽ. (ảnh 1)

Đặt \[g\left( x \right) = 2f\left( {x + \frac{m}{2}} \right) - {x^2} - mx + {m^2} - 3\] với m là tham số. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số \[m \in \left[ { - 15;15} \right]\] để hàm số \[y = g\left( x \right)\] nghịch biến trên khoảng \[\left( {3;4} \right)\]. Số phần tử của tập hợp S là:

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có \[g'\left( x \right) = 2f'\left( {x + \frac{m}{2}} \right) - 2x - m = 2\left[ {f'\left( {x + \frac{m}{2}} \right) - \left( {x + \frac{m}{2}} \right)} \right]\].

Đặt \[t = x + \frac{m}{2}\] thì \[g'\left( t \right) < 0 \Leftrightarrow f'\left( t \right) < t \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t < - 3\\2 < t < 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{m}{2} < - 3\\2 < x + \frac{m}{2} < 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 3 - \frac{m}{2}\\2 - \frac{m}{2} < x < 5 - \frac{m}{2}\end{array} \right..\]

Giả thiết bài toán thỏa mãn khi \[\left[ \begin{array}{l} - 3 - \frac{m}{2} \ge 4\\2 - \frac{m}{2} \le 3 < 4 \le 5 - \frac{m}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le - 14\\ - 2 \le m \le 12\end{array} \right.\].

Kết hợp điều kiện \[m \in \mathbb{Z},m \in \left[ { - 15;15} \right]\] suy ra \[m = \left\{ { - 14; - 15; - 2; - 1;0;1;2} \right\}\]


Câu 49:

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\] và có đồ thị như hình vẽ. Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình \[{9.6^{f\left( x \right)}} + \left( {4 - {f^2}\left( x \right)} \right){.9^{f\left( x \right)}} \le \left( { - {m^2} + 5m} \right){.4^{f\left( x \right)}}\] đúng \[\forall x \in \mathbb{R}\] là:

Cho hàm số y=f(x)  liên tục trên R  và có đồ thị như hình vẽ. Tổng tất cả các giá  (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án B

+ \[\begin{array}{l}{9.6^{f\left( x \right)}} + \left( {4 - {f^2}\left( x \right)} \right){.9^{f\left( x \right)}} \le \left( { - {m^2} + 5m} \right){.4^{f\left( x \right)}}\\ \Leftrightarrow - {m^2} + 5m \ge 9.{\left( {\frac{3}{2}} \right)^{f\left( x \right)}} + \left( {4 - {f^2}\left( x \right)} \right){\left( {\frac{3}{2}} \right)^{2f\left( x \right)}}\;\;\;\left( 1 \right).\end{array}\]

+ Từ đồ thị suy ra \[f\left( x \right) \le - 2,\forall x \Rightarrow 9.{\left( {\frac{3}{2}} \right)^{f\left( x \right)}} \le 4,\forall x\]\[\left( {4 - {f^2}\left( x \right)} \right){\left( {\frac{3}{2}} \right)^{2f\left( x \right)}} \le 0,\forall x\].

+ Suy ra \[g\left( x \right) = 9.{\left( {\frac{3}{2}} \right)^{f\left( x \right)}} + \left( {4 - {f^2}\left( x \right)} \right){\left( {\frac{3}{2}} \right)^{2f\left( x \right)}} \le 4,\forall x \Rightarrow \mathop {\max }\limits_\mathbb{R} g\left( x \right) = 4\].

+ Bất phương trình (1) nghiệm đúng \[\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow - {m^2} + 5m \ge 4 \Leftrightarrow 1 \le m \le 4\].

Vậy \[m \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\].


Câu 50:

Cho zw là các số phức thỏa mãn các điều kiện \[z\left( {w + 1} \right) + iw - 1 = 0,\left| {w + 2} \right| = 1\]. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[T = \left| {z - 1 - 3i} \right|\] bằng:

Xem đáp án

Đáp án C

\[w\left( {z + i} \right) = 1 - z \Rightarrow w = \frac{{1 - z}}{{z + i}}\]

Khi đó: \[\left| {w + 2} \right| = 1 \Rightarrow \left| {\frac{{1 - z}}{{z + i}} + 2} \right| = 1 \Rightarrow \left| {z + 2i + 1} \right| = \left| {z + i} \right| \Rightarrow \left| {2i + 1 + a + bi} \right| = \left| {a + bi + i} \right|\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} = {a^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} \Rightarrow a = - b - 2\\ \Rightarrow T = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( {b - 3} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {b + 3} \right)}^2} + {{\left( {b - 3} \right)}^2}} = \sqrt {2{b^2} + 18} \ge \sqrt {18} = 3\sqrt 2 .\end{array}\]


Bắt đầu thi ngay