Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng \[\left( {0; + \infty } \right)\] thỏa mãn \[f\left( 1 \right) = 1\] và \[f'\left( x \right) \ge x + \frac{1}{x},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\]. Tìm giá trị nhỏ nhất của \[f\left( 2 \right)\].
Giải bởi Vietjack
Đáp án C
Từ \(f'\left( x \right) \ge x + \frac{1}{x},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow \mathop \smallint \limits_1^2 f'\left( x \right){\mkern 1mu} dx \ge \mathop \smallint \limits_1^2 \left( {x + \frac{1}{x}} \right){\mkern 1mu} dx\)
\( \Rightarrow f\left( x \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle1}^{\scriptstyle2\atop\scriptstyle}} \right. \ge \left( {\frac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| x \right|} \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle1}^{\scriptstyle2\atop\scriptstyle}} \right. \Rightarrow f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right) \ge \frac{3}{2} + \ln 2 \Rightarrow f\left( 2 \right) \ge \frac{5}{2} + 1\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow f'\left( x \right) = x + \frac{1}{x}{\rm{\;}}(x > 0)\) nên \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x + C.\)
Mà \(f\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow \frac{1}{2} + C = 1 \Rightarrow C = \frac{1}{2} \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x + \frac{1}{2}.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(f\left( 2 \right)\) bằng \(\frac{5}{2} + \ln 2,\) đạt được khi \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x + \frac{1}{2}.\)
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4, ……, 9. Rút ngẫu nhiên đồng thời 2 thẻ và nhân hai số ghi trên hai thẻ lại với nhau. Tính xác suất để tích nhận được là số chẵn.
Cho hai số phức \[{z_1},{z_2}\] thỏa mãn \[\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| > 0\]. Tính \[{\left( {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right)^4} + {\left( {\frac{{{z_2}}}{{{z_1}}}} \right)^4}\].
Trong không gian Oxyz, cho vectơ \[\vec a = 2\vec i + \vec k - 3\vec j.\] Tọa độ của vectơ \[\vec a\] là
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \[\left( P \right):x - 2y + z - 3 = 0\] và đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}.\] Mặt phẳng \[\left( Q \right):ax + by + cz - 4 = 0\] chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (P). Tính \[a + b + c.\]
Cho \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = 5.\] Tích phân \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {\cos x + f\left( x \right)} \right]dx} \] bằng
Cho hàm số \[y = \frac{5}{6}{x^3} + mx - \frac{2}{3}m\] có đồ thị (C), với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m để từ điểm \[A\left( {\frac{2}{3};0} \right)\] kẻ đến (C) được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Tính tổng tất cả các phần tử của \[S.\]
Một cái trục lăn sơn nước có dạng một hình trụ. Đường kính của đường tròn đáy là 6cm, chiều dài lăn là 25cm (như hình vẽ). Sau khi lăn trọn 10 vòng thì trục lăn tạo nên bức tường phẳng có diện tích là
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \[A\left( {1;0;0} \right)\], \[B\left( {0;2;0} \right)\], \[C\left( {0;0;3} \right)\]. Tập hợp các điểm M thỏa mãn \[M{A^2} = M{B^2} + M{C^2}\] là mặt cầu có bán kính bằng
Cho cấp số nhân \[\left( {{u_n}} \right)\] với \[{u_1} = 3,{\rm{ }}{u_6} = \frac{3}{{32}}.\] Tìm q.
Cho tứ diện ABCD có \[AB,{\rm{ }}AC,{\rm{ }}AD\] đôi một vuông góc với nhau và \[AB = 2a,{\rm{ }}AC = 3a,{\rm{ }}AD = 4a.\] Thể tích của khối tứ diện ABCD bằng
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
Phương trình \[f\left( x \right) - 7 = 0\] có số nghiệm thực là
Cho a và b là hai số thực dương khác 1 và các hàm số \[y = {a^x},{\rm{ }}y = {b^x}\] có đồ thị như hình vẽ.
Đường thẳng \[y = 3\] cắt trục tung, đồ thị hàm số \[y = {a^x},{\rm{ }}y = {b^x}\] lần lượt tại các điểm \[H,{\rm{ }}M,{\rm{ }}N.\] Biết rằng \[HM = 2MN.\] Mệnh đề nào sau đây đúng?
Trong không gian, cho hình trụ (T). Mặt phẳng (α) song song với trục của (T), cắt (T) theo thiết diện (D) là một hình vuông có diện tích bằng \[64c{m^2}.\] Khoảng cách từ trục của (T) đến mặt phẳng chứa (D) bằng 3cm. Tính thể tích của khối trụ đã cho.
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{1}{{4x + 1}}\] là
