Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \[\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 4\] và hai điểm \[A\left( { - 1;2;0} \right),{\rm{ }}B\left( {2;5;0} \right).\] Điểm \[K\left( {a;b;c} \right)\] thuộc \[\left( S \right)\] sao cho \[KA + 2KB\] nhỏ nhất. Tính giá trị của \[a - b + c.\]
Giải bởi Vietjack
Đáp án B
Mặt cầu \[\left( S \right)\] có tâm \[I\left( {3;2;0} \right)\] và bán kính \[R = 2\].
Ta có \[\overrightarrow {AI} = \left( {4;0;0} \right) \Rightarrow AI = 4 \Rightarrow AI = 2IK \Rightarrow \frac{{IA}}{{IK}} = 2\].
Trên đoạn thẳng AI lấy điểm C sao cho \[IC = 1 \Rightarrow C\] cố định.
Ta có \[\begin{array}{l}IC.IA = 1.4 = 4 = I{K^2} \Rightarrow \Delta ICK\~\Delta IKA\\ \Rightarrow \frac{{CK}}{{KA}} = \frac{{IK}}{{IA}} = \frac{1}{2} \Rightarrow KA = 2KC\end{array}\]
\[ \Rightarrow KA + 2KB = 2\left( {KC + KB} \right) \ge 2BC\] (không đổi).
Dấu “=” xảy ra \[ \Leftrightarrow K = BC \cap \left( S \right)\] và K ở giữa B và C.
Ta có \[\overrightarrow {IA} = 4\overrightarrow {IC} \Rightarrow C\left( {2;2;0} \right)\].
Đường thẳng BC qua \[C\left( {2;2;0} \right)\] và nhận \[\overrightarrow {CB} = \left( {0;3;0} \right)\] là một VTCP.
\[ \Rightarrow BC:\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2 + 2t\\z = 0\end{array} \right. \Rightarrow K\left( {2;2t + 2;0} \right)\].
Ép cho \[K \in \left( S \right) \Rightarrow 1 + 4{t^2} = 4 \Rightarrow t = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}K\left( {2;2 + \sqrt 3 ;0} \right)\\K\left( {2;2 - \sqrt 3 ;0} \right)\end{array} \right.\].
Mà K ở giữa B và C \[ \Rightarrow K\left( {2;2 + \sqrt 3 ;0} \right)\].
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 200k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho \[a,{\rm{ }}b\] là các số thực dương thỏa mãn \[{a^2} + {b^2} = 8ab.\] Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Biết rằng \[\int\limits_2^3 {\frac{{x + 1}}{{x\left( {x - 2} \right) + 1}}dx} = a + b\ln 2,\] với \[a,{\rm{ }}b \in \mathbb{Z}.\] Tính \[S = a + 2b.\]
Tính thể tích của khối lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\], biết \[AC' = 2a\sqrt 3 .\]
Cho hàm số \[y = {x^3} - 3m{x^2} + 3\left( {2{m^2} - 10m + 9} \right)x\]. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho có hai điểm cực trị?
Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \[y = \frac{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {x + 4} - 3}}{{{x^3} - x}}.\]
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, \[AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\] Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và đường thẳng SB tạo với mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] một góc \[60^\circ .\] Khoảng cách giữa hai đường thẳng \[AD\] và \[SC\] bằng
Tính môđun của số phức z thỏa mãn \[z\left( {1 - i} \right) + 2i = 1.\]
Tập nghiệm của phương trình \[\frac{1}{2}{\log _3}{\left( {x + 2} \right)^2} + \frac{1}{3}{\log _3}{\left( {4x - 1} \right)^3} = 2\] là
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
Phương trình \[3f\left( x \right) - 2 = 0\] có số nghiệm thực là
Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số \[y = f\left[ {f\left( x \right)} \right]\].
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \[\left( P \right):x + 2y - 3z + 3 = 0.\] Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (P)?
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm liên tục trên \[\mathbb{R}\] và đồ thị hàm số \[y = f'\left( x \right)\] như hình vẽ. Bất phương trình \[f\left( x \right) > {x^3} + 4x + m\] nghiệm đúng với mọi \[x \in \left( {0;2} \right)\] khi và chỉ khi
Cho a và b là hai số thực dương tùy ý. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \[{d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\] và \[{d_2}:\frac{{x + 4}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{1}.\] Mặt phẳng \[\left( Q \right):ax + by + cz - 4 = 0\] chứa đường thẳng \[{d_1}\] và song song với đường thẳng \[{d_2}.\] Tính \[a + b + c.\]
Cho hai số phức z, w thỏa mãn \[\left| {z + 2w} \right| = 3\], \[\left| {2z + 3w} \right| = 6\] và \[\left| {z + 4w} \right| = 7\]. Tính giá trị của biểu thức \[P = z.\bar w + \bar z.w\].
