Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có điểm $A\left(1;1;1\right),B\left(2;0;2\right),C\left(-1;-1;0\right)$ , $D\left(0;3;4\right)$ . Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm $B^{\text{'}},C^{\text{'}},D^{\text{'}}$  thỏa mãn $\frac{AB}{A{B}^{\text{'}}}+\frac{AC}{A{C}^{\text{'}}}+\frac{A\text{D}}{A}=4$ . Phương trình mặt phẳng  biết tứ diện $A{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$  có thể tích nhỏ nhất là phương trình nào sau đây?

Cho hàm số bậc ba $y=f\left(x\right)$  có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $\left|f\left(x^3-3\text{x}\right)\right|=\frac{m+1}{10-m}$  có 10 nghiệm phân biệt?

Cho hàm số $y=e^x$  có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi $S_1$  là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=e^x,x=-\mathrm{1,}x=k$  và $S_2$  là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=e^x,x=k,x=1$ . Xác định k để $S_1=S_2$ .

Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tham số a để hàm số y=|f(x)+a| có ba điểm cực trị.

Xét số phức z thỏa mãn $4\left|z+i\right|+3\left|z-i\right|=10$  . Gọi P; p tương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của |z|. Giá trị của  bằng

Cho hàm số $f\left(x\right)=a{x}^4+b{x}^2+c$ có đồ thị như hình vẽ. Số các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số $g\left(x\right)=\frac{2020\text{x}}{f\left(x\right)\left[f\left(x\right)-m\right]}$  có tổng số 9 đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng là

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x+1}$  là

Gọi $m_0$  là số nguyên để phương trình ${\log }_3\left(\frac{x^2}{2020-m}\right)+\left|x\right|\left(x^2+m\right)=2020\left|x\right|$ ,

có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$  thỏa mãn$x_1^{2020}+x_2^{2020}=2^{1011}$ . Với $m_0$  đó giá trị của biểu thức $P=\ln \left(x_1+\sqrt{x_2^2+2}\right)+\ln \left(x_2+\sqrt{x_1^2+2}\right)$  thuộc vào khoảng nào dưới đây?

Cho $f\left(x\right)$  là hàm số chẵn và liên tục trên R . Nếu $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{1+e^x}d\text{x}=1010$  thì  $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx$bằng

Giá trị nhỏ nhất của $P=a^2+b^2$  để hàm số $f\left(x\right)=x^4+a{x}^3+b{x}^2+ax+1$  có đồ thị cắt trục hoành là

Cho số phức $z=\frac{3+\sqrt{11}i}{2}$ . Tính $\left|z\right|$ .

Trong không gian Oxyz, cho điểm $M\left(0;2;0\right)$  và đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=4+3t\\ y=2+t\\ z=-1+t\end{array}\right.$ . Đường thẳng đi qua M, cắt và vuông góc với d có phương trình là

Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau, chia hết cho 4, nhỏ hơn 4567 và có chữ số hàng chục là chữ số lẻ?