50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 25 đề thi thử Toán THPT Quốc gia có lời giải chi tiết (Đề 3)

Câu 1:

Cho hàm số $y = x^{- \frac{1}{3}}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận.

B. Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang và không có tiệm cận đứng.

C. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang và có một tiệm cận đứng.

D. Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận ngang và một tiệm cận đứng.

Xem đáp án

Tập xác định $D = (0; + \infty)$ .

Ta có: $\lim_{x \to 0^{+}} x^{- \frac{1}{3}} = + \infty, \lim_{x \to + \infty} x^{- \frac{1}{3}} = 0$ .

Đồ thị hàm số

y = x^{- \frac{1}{3}}

nhận Oy là tiệm cận đứng và nhận Ox là tiệm cận ngang

Câu 2:

Cho số phức $z = \frac{3 + \sqrt{11} i}{2}$ . Tính $|z|$ .

A. $|z| = 3$

B. $|z| = 5$

C. $|z| = 2$

D. $|z| = \sqrt{5}$

Xem đáp án

Chọn D

Câu 3:

Cho hàm số

y = f (x)

là hàm bậc bốn trùng phương có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hàm số y=f(x) là hàm bậc bốn trùng phương có (ảnh 1)

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(2; 3)$ .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng

(- 2; 2)

.

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(- \infty; - 2) \cup (0; 2)

.

D. Hàm số đồng biến trên khoảng

(4; + \infty)

.

Xem đáp án

Chọn D

Câu 4:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây: Khẳng định nào sau đây sai? (ảnh 1)

Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- 2; - 1)$

B. Hàm số đồng biến trên khoảng

(1; 3)

.

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(- 1; 1)

D. Hàm số đồng biến trên khoảng

(0; 1)

.

Xem đáp án

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng $(- 2; - 1)$ và (1;3); nghịch biến trên khoảng $(- 1; 1)$ .

Câu 5:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{x + 1}$ là

A. $- \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + C$

B. $- \ln |x + 1| + C$

C. $- \frac{1}{2} \ln {(x + 1)}^{2} + C$

D. $\ln |x + 1| + C$

Xem đáp án

Chọn D

Câu 6:

Đường cong như hình vẽ bên là dạng đồ thị của hàm số nào dưới đây?

Đường cong như hình vẽ bên là dạng đồ thị của hàm số nào dưới đây? (ảnh 1)

A. $y = x^{4} - 2 x^{2} + 1$

B. $y = - (x + 1) {(x - 2)}^{2}$

C. $y = x^{3} - 3 x^{2} + 4$

D. $y = {(x - 3)}^{3}$

Xem đáp án

Loại A do đồ thị không phải dạng đồ thị hàm trùng phương.

Loại B do $a < 0$ .

Đồ thị hàm số có cực đại tại $x = 0$ nên $y^{'} = 0$ có nghiệm $x = 0$ .

Ta có ${(x - 3)}^{3} = x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27$ nên $y = {(x - 3)}^{2}$ cắt trục tung tại điểm có tung độ nhỏ hơn 0 (loại đáp án D).

Câu 7:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x + 1}{1} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z}{- 2}$ , véctơ nào dưới đây là véctơ chỉ phương của đường thẳng d?

A. $\vec{u} = (- 1; - 3; 2)$

B. $\vec{u} = (1; 3; 2)$

C. $\vec{u} = (1; - 3; - 2)$

D. $\vec{u} = (- 1; 3; - 2)$

Xem đáp án

d có véctơ chỉ phương là $(1; 3; - 2)$ .

Xét đáp án A, $\vec{u} = (- 1; - 3; 2) = - 1 (1; 3; - 2)$ .

Câu 8:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A cạnh $A B = A C = a$ và thể tích bằng $\frac{a^{3}}{6}$ . Tính chiều cao h của hình chóp đã cho.

A. $h = a \sqrt{2}$

B. $h = a \sqrt{3}$

C. $h = a$

D. $h = 2 a$

Xem đáp án

Ta có: $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} h . S_{Δ A B C} = \frac{1}{3} h . \frac{1}{2} a^{2} = \frac{a^{3}}{6} \Rightarrow h = a$ .

Câu 9:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-1;3] và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[- 1; 3]$ . Giá trị của $4 M - m$ bằng

A. 3

B.5

C. 10

D. 4

Xem đáp án

Dựa vào đồ thị ta có

\{\begin{cases} \max_{[- 1; 3]} y = \frac{9}{4} \Leftrightarrow M = \frac{9}{4} \\ \min_{[- 1; 3]} y = - 1 \Leftrightarrow m = - 1 \end{cases} \Rightarrow 4 M - m = 9 - (- 1) = 10

.

Câu 10:

Cho hàm số $f (x) = - x^{3} + 3 x^{2} - 2021$ . Giá trị của $f^{'} (1)$ bằng

A. - 2018

B. -3

C. 0

D. 3

Xem đáp án

Ta có $f (x) = - x^{3} + 3 x^{2} - 2018 \Rightarrow f^{'} (x) = - 3 x^{2} + 6 x \Rightarrow f^{'} (1) = 3$ .

Câu 11:

Biết $\int_{0}^{1} \frac{x dx}{x + 1} = a + b \ln 2$ (với $a, b \in ℤ$ ). Giá trị $a - 2 b$ bằng

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

$\int_{0}^{1} \frac{x d x}{x + 1} = \int_{0}^{1} (1 - \frac{1}{x + 1}) d x = {(x - \ln |x + 1|)|}_{0}^{1} = 1 - \ln 2 \Rightarrow a = 1; b = - 1 \Rightarrow a - 2 b = 3$

Câu 12:

Cho tam giác ABC vuông tại A với AB=a;AC=2a quay xung quanh cạnh AB ta được một khối nón tròn xoay có đường kính $l$ bằng bao nhiêu?

A. $l = a \sqrt{3}$

B. $l = 3 a$

C. $l = 2 a \sqrt{2}$

D. $l = a \sqrt{5}$

Xem đáp án

Ta có: $l = B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = \sqrt{a^{2} + 4 a^{2}} = a \sqrt{5}$ .

Câu 13:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ : \frac{x - 8}{1} = \frac{y - 9}{- 2} = \frac{z - 10}{3}$ . Mặt phẳng $(α)$ vuông góc với Δ có một véctơ pháp tuyến là

A. $\vec{b} = (8; 9; 10)$

B. $\vec{v} = (1; 2; - 3)$

C. $\vec{a} = (- 1; 2; 3)$

D. $\vec{u} = (- 1; 2; - 3)$

Xem đáp án

Đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng

(α)

nên các véctơ pháp tuyến của mặt phẳng

(α)

có dạng

\vec{n} = k (1; - 2; 3), \forall k \neq 0

.

Câu 14:

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = |- x^{3} + 3 x^{2} - 3|$ trên đoạn [1;3]. Khi đó M+m bằng

A. 5

B. 3

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Xét hàm số $f (x) = - x^{3} + 3 x^{2} - 3$ trên đoạn [1;3].

Ta có $f^{'} (x) = - 3 x^{2} + 6 x; f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \notin [1; 3] \\ x = 2 \in [1; 3] \end{array}$ .

Bảng biến thiên của hàm số $f (x) = - x^{3} + 3 x^{2} - 3$ trên đoạn

[1;3].

Gọi $x_{1}$ và $x_{2}$ là hai nghiệm trên đoạn[1;3].

(với $x_{1} < x_{2}$ ) của phương trình $- x^{3} + 3 x^{2} - 3 = 0$ .

Khi đó ta có bảng biến thiên của hàm số $g (x) = |- x^{3} + 3 x^{2} - 3|$ trên đoạn [1;3].

Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số $y = |- x^{3} + 3 x^{2} - 3|$ trên đoạn [1;3] bằng 3 và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = |- x^{3} + 3 x^{2} - 3|$ trên đoạn [1;3] bằng 0.

Do đó $M = 3, m = 0 \Rightarrow M + m = 3$ .

Câu 15:

Xác định số hạng đầu $u_{1}$ và công sai d của cấp số cộng $(u_{n})$ biết $u_{9} = 5 u_{2}$ và $u_{13} = 2 u_{6} + 5$ .

A. $u_{1} = 3; d = 4$

B. $u_{1} = 3; d = 5$

C. $u_{1} = 4; d = 5$

D. $u_{1} = 4; d = 3$

Xem đáp án

Xét hệ \

\{\begin{cases} u_{9} = 5 u_{2} \\ u_{13} = 2 u_{6} + 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} + 8 d = 5 (u_{1} + d) \\ u_{1} + 12 d = 2 (u_{1} + 5 d) + 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 u_{1} - 3 d = 0 \\ u_{1} - 2 d = - 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} d = 4 \\ u_{1} = 3 \end{cases}

.

Câu 16:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình sau:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình sau: (ảnh 1)

Số nghiệm thực của phương trình $4 f^{2} (x) - 16 = 0$ là

A. 2

B.4

C. 6

D. 3

Xem đáp án

Ta có: $4 f^{2} (x) - 16 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (x) = 2 \\ f (x) = - 2 \end{array}$ .

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng $y = 2$ cắt đồ thị hàm số ỳ(x) tại 2 điểm phân biệt và đường thẳng $y = - 2$ cắt đồ thị hàm số $y = f (x)$ tại 2 điểm phân biệt nên phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.

Câu 17:

Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh a. Biết SA vuông góc với mặt đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD, BC bằng

A. a

B. $\sqrt{2} a$

C. $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

D. $\frac{a}{2}$

Xem đáp án

Vì $B C // AD \Rightarrow B C // (S A D)$

$\Rightarrow d (B C, S D) = d (B C, (S A D)) = d (B, (S A D))$ .

Ta có:

\{\begin{cases} A B ⊥ S A \\ A B ⊥ A D \end{cases} \Rightarrow A B ⊥ (S A D) \Rightarrow d (B, (S A D)) = B A = a

.

Câu 18:

Kí hiệu $z_{0}$ là nghiệm phức có phần thực âm và phần ảo dương của phương trình $z^{2} + 2 z + 5 = 0$ . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức $w = (i^{2020} - 2) z_{0}$ ?

A. $M (2; - 1)$

B. $M (- 1; 2)$

C. $M (- 5; 0)$

D. $M (0; - 5)$

Xem đáp án

Giải phương trình ta có: $w = (i^{2021} - 2) z_{0} = - 5 i$ .

Vậy điểm $M (0; - 5)$ biểu diễn số phức w.

Câu 19:

Cho hàm số $f (x) = \log_{2} (e^{x} + π m)$ thỏa mãn $f^{'} (\ln 2) = \frac{1}{\ln 2}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $m \in (- 1; 1)$

B. $m \in (1; 3)$

C. $m \in (0; 2)$

D. $m \in (- 2; - 1)$

Xem đáp án

Ta có $f (x) = \log_{2} (e^{x} + π m) \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{e^{x}}{(e^{x} + π m) \ln 2}$ .

Vậy

f^{'} (\ln 2) = \frac{1}{\ln 2} \Leftrightarrow \frac{2}{(2 + π m) \ln 2} = \frac{1}{\ln 2} \Leftrightarrow m = 0 \in (- 1; 1)

.

Câu 20:

Trong không gian Oxyz, cho $Δ A B C$ biết $A (2; 0; 0), B (0; 2; 0), C (1; 1; 3)$ . $H (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống BC. Khi đó $x_{0} + y_{0} + z_{0}$ bằng

A. $\frac{38}{9}$

B. $\frac{34}{11}$

C. $\frac{30}{11}$

D. $\frac{11}{34}$

Xem đáp án

Đường thẳng BC có véctơ chỉ phương là $\vec{B C} = (1; - 1; 3)$ .

Nên phương trình đường thẳng BC: $\{\begin{cases} x = t \\ y = 2 - t \\ z = 3 t \end{cases} (t \in ℝ)$ .

Gọi $H (t; 2 - t; 3 t) \in B C$ .

Khi đó: $\vec{A H} = (t - 2; 2 - t; 3 t)$ .

Mà H là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống BC nên

$\vec{A H} ⊥ \vec{B C} \Leftrightarrow \vec{A H} . \vec{B C} = 0 \Leftrightarrow t - 2 - 2 + t + 9 t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{4}{11}$ .

$\Rightarrow H (\frac{4}{11}; \frac{18}{11}; \frac{12}{11}) \Rightarrow x_{0} + y_{0} + z_{0} = \frac{34}{11}$ .

Câu 21:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm f’(x) xác định, liên tục trên R và có đồ thị f’(x) như hình vẽ, biết rằng $S_{2} > S_{1}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hàm số f(x) có đạo hàm f’(x) xác định, liên tục trên R và có đồ thị f’(x) như hình vẽ, biết rằng . Khẳng định nào sau đây đúng? (ảnh 1)

A. $f (c) > f (b) > f (a)$

B. $f (b) > f (c) > f (a)$

C. $f (c) > f (a) > f (b)$

D. $f (b) > f (a) > f (c)$

Xem đáp án

Câu 22:

Cho hình lăng trụ đứng ABCA’B’C’, biết đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Khoảng cách từ tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng (A’BC) bằng $\frac{a}{6}$ . Thể tích khối lăng trụ ABCA’B’C’ là

A. $\frac{3 a^{3} \sqrt{2}}{8}$

B. $\frac{3 a^{3} \sqrt{2}}{28}$

C. $\frac{3 a^{3} \sqrt{2}}{4}$

D. $\frac{3 a^{3} \sqrt{2}}{16}$

Xem đáp án

Gọi M là trung điểm của BC.

Ta có $(A^{'} A M) ⊥ (A^{'} B C)$ theo giao tuyến $A' M$ .

Trong $(A^{'} A M)$ kẻ $O H ⊥ A^{'} M (H \in M) \Rightarrow O H ⊥ (A^{'} B C)$ .

Suy ra: $d (O, (A^{'} B C)) = O H = \frac{a}{6}; S_{Δ A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ .

Ta có: $Δ A^{'} A M Δ OHM$ , suy ra $\frac{O H}{A^{'} A} = \frac{O M}{A^{'} M} \Rightarrow \frac{\frac{a}{6}}{A^{'} A} = \frac{\frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2}}{\sqrt{A^{'} A^{2} + A M^{2}}}$

$\Rightarrow \frac{1}{A^{'} A} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{A^{'} A^{2} + {(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2}}} \Rightarrow A^{'} A = \frac{a \sqrt{6}}{4}$ .

Thể tích $V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = S_{Δ A B C} . A^{'} A = \frac{a \sqrt{6}}{4} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{3 a^{3} \sqrt{2}}{16}$ .

Câu 23:

Cho các số thực dương x, y thỏa mãn $\log_{4} x = \log_{9} y = \log_{6} (\frac{x y}{4} + 1)$ . Giá trị của biểu thức $P = x^{\log_{4} 6} + y^{\log_{9} 6}$ bằng

A.2

B.5

C.4

D. 6

Xem đáp án

Đặt $\log_{4} x = \log_{9} y = \log_{6} (\frac{x y}{4} + 1) = t \Rightarrow x = 4^{t}, y = 9^{t}, x y = {4.6}^{t} - 4$

$\Rightarrow 6^{2 t} - {4.6}^{t} + 4 = 0 \Rightarrow 6^{t} = 2 \Rightarrow t = \log_{6} 2$ .

Khi đó $\log_{4} x + \log_{9} y = \log_{6} (\frac{x y}{4} + 1) = t = \log_{6} 2 \Leftrightarrow x = 4^{\log_{6} 2}, y = 9^{\log_{6} 2}$ .

Do đó $P = {(4^{\log_{6} 2})}^{\log_{4} 6} + {(9^{\log_{6} 2})}^{\log_{9} 6} = {(4^{\log_{4} 6})}^{\log_{6} 2} + {(9^{\log_{9} 6})}^{\log_{6} 2} = 6^{\log_{6} 2} + 6^{\log_{6} 2} = 4$ .

Câu 24:

Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 24π, diện tích toàn phần bằng 42π. Thể tích khối trụ là

A. $V = 36 π$

B. $V = 9 π$

C. $V = 18 π$

D. $V = 32 π$

Xem đáp án

Ta có $S_{x q} = 2 π R h = 24 π$ và $S_{t p} = S_{x q} + 2 π R^{2} = 42 π \Rightarrow R = 3, h = 4$ .

Vậy thể tích khối trụ trên là: $V = π R^{2} h = π {.3}^{2} .4 = 36 π$ .

Câu 25:

Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn $|z - 2 i| = |\bar{z} + 4|$ trong mặt phẳng Oy là

A. đường thẳng $Δ : 2 x + y + 3 = 0$

B. đường thẳng

Δ : x + y - 3 = 0

.

C. đường thẳng

Δ : 2 x - y + 3 = 0

.

D. đường thẳng

Δ : x + y + 3 = 0

Xem đáp án

Gọi $z = x + y i$ với $x, y \in ℝ$ . Khi đó điểm $M (x; y)$ là điểm biểu diễn cho số phức z.

Ta có $|z - 2 i| = |\bar{z} + 4| \Leftrightarrow |x + y i - 2 i| = |x - y i + 4|$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + {(y - 2)}^{2}} = \sqrt{{(x + 4)}^{2} + y^{2}} \Leftrightarrow 8 x + 4 y + 12 = 0 \Leftrightarrow 2 x + y + 3 = 0$ .

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng $Δ : 2 x + y + 3 = 0$ .

Câu 26:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên sau

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên sau Số nghiệm của phương trình |f(x-1)|2 là (ảnh 1)

Số nghiệm của phương trình $|f (x - 1)| = 2$ là

A.5

B.4

C.2

D.3

Xem đáp án

Từ bảng biến thiên của hàm số đã cho ta suy ra bảng biến thiên của hàm số $y = |f (x - 1)|$ như sau (trong đó $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ là các nghiệm của phương trình $f (x) = 0$ ):

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên sau Số nghiệm của phương trình |f(x-1)|2 là (ảnh 2)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình $|f (x - 1)| = 2$ có 5 nghiệm.

Câu 27:

Trong không gian Oxyz, cho điểm $A (2; 2; 1)$ và đường thẳng $d_{1} : \frac{x}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{2}$ , $d_{2} : \frac{x - 3}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z}{3}$ . Phương trình đường thẳng d đi qua A, vuông góc với $d_{1}$ và cắt $d_{2}$ là

A. $d : \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z - 1}{- 5}$

B. $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z - 2}{- 4}$

C. $d : \{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 2 \\ z = 1 - t \end{cases} (t \in ℝ)$

D. $d : \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 1}{- 3}$

Xem đáp án

Câu 28:

Trong khai triển ${(2 x^{2} + \frac{1}{x})}^{n}$ , hệ số của $x^{3}$ là $2^{6} C_{n}^{9}$ . Tính n.

A. $n = 12$

B. $n = 13$

C. $n = 14$

D. $n = 15$

Xem đáp án

Ta có: ${(2 x^{2} + \frac{1}{x})}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} 2^{n - k} x^{2 n - 3 k} \Rightarrow a_{k} = C_{n}^{k} 2^{n - k} x^{2 n - 3 k}$ .

Hệ số chứa $x^{3}$ là $2^{6} C_{n}^{9} \Rightarrow \{\begin{cases} C_{n}^{k} 2^{n - k} = 2^{6} . C_{n}^{9} \\ 2 n - 3 k = 3 \end{cases} \Rightarrow n = 15$ .

Câu 29:

Cho hàm số $y = e^{x}$ có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi $S_{1}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = e^{x}, x = - 1, x = k$ và $S_{2}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = e^{x}, x = k, x = 1$ . Xác định k để $S_{1} = S_{2}$ .

Cho hàm số y= e^x có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (ảnh 1)

A. $k = \ln (e + \frac{1}{e}) - \ln 2$

B. $k = 2 \ln (e - \frac{1}{e}) - 1$

C. $k = 2 \ln 2 - 1$

D. $k = \ln 2$

Xem đáp án

Ta có:

\int_{- 1}^{k} e^{x} d x = \int_{k}^{1} e^{x} d x \Leftrightarrow e^{x} - \frac{1}{e} = e - e^{k} \Leftrightarrow k = \ln (e + \frac{1}{e}) - \ln 2

.

Câu 30:

Trong không gian Oxyz, cho điểm $M (0; 2; 0)$ và đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = 4 + 3 t \\ y = 2 + t \\ z = - 1 + t \end{cases}$ . Đường thẳng đi qua M, cắt và vuông góc với d có phương trình là

A. $\frac{x}{- 1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{2}$

B. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{- 1} = \frac{z}{- 2}$

C. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{2}$

D. $\frac{x}{- 1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{2}$

Xem đáp án

Ta có: d đi qua $N (4; 2; - 1)$ và có véctơ chỉ phương $\vec{u_{d}} = (3; 1; 1)$ .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} M H ⊥ d \\ H \in d \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \vec{M H} . \vec{u_{d}} = 0 \\ H \in d \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 4 + 3 t \\ y = 2 + t \\ z = - 1 + t \\ 3 x + y - 2 + z = 0 \end{cases} \Rightarrow H (1; 1; - 2)$ .

Đường thẳng Δ đi qua M và vuông góc với d có véctơ chỉ phương là $\vec{u} = - 1$ . $\vec{M H} = (1; - 1; - 2)$ .

Phương trình $Δ : \frac{x}{- 1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{2}$ .

Câu 31:

Phương trình $3^{2 x} + 2 x (3^{x} + 1) - {4.3}^{x} - 5 = 0$ có tất cả bao nhiêu nghiệm không âm?

A.1

B.2

C.0

D.3

Xem đáp án

Ta có: $3^{2 x} + 2 x (3^{x} + 1) - {4.3}^{x} - 5 = 0 \Leftrightarrow (3^{2 x} - 1) + 2 x (3^{x} + 1) - ({4.3}^{x} + 4) = 0$

$\Leftrightarrow (3^{x} - 1) (3^{x} + 1) + (2 x - 4) (3^{x} + 1) = 0 \Leftrightarrow (3^{x} + 2 x - 5) (3^{x} + 1) = 0 \Leftrightarrow 3^{x} + 2 x - 5 = 0$ .

Xét hàm số $f (x) = 3^{x} + 2 x - 5$ , ta có: $f (1) = 0$ và $f^{'} (x) = 3^{x} \ln 3 + 2 > 0; \forall x \in ℝ$ . Do đó hàm số f(x) đồng biến trên R.

Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là $x = 1$ .

Câu 32:

Cho $f (x)$ là hàm số chẵn và liên tục trên R . Nếu $\int_{- 1}^{1} \frac{f (x)}{1 + e^{x}} d x = 1010$ thì $\int_{0}^{1} f (x) d x$ bằng

A. 4040

B. 505

C. 2020

D. 1010

Xem đáp án

Do f(x) là hàm số chẵn nên $f (- x) = f (x)$ và $\int_{- 1}^{1} f (x) d x = 2 \int_{0}^{1} f (x) d x$ .

Xét $I = \int_{- 1}^{1} \frac{f (x)}{1 + e^{x}} d x = 1010$ . Đặt $x = - t \Rightarrow d x = - d t$ .

Đổi cận: $x = - 1 \Rightarrow t = 1$ .

$x = 1 \Rightarrow t = - 1$ .

$\Rightarrow I = \int_{- 1}^{1} \frac{f (x)}{1 + e^{x}} d x = \int_{1}^{- 1} \frac{f (- t)}{1 + e^{- t}} (- d t) = \int_{- 1}^{1} \frac{e^{t} . f (- t)}{1 + e^{t}} d t = \int_{- 1}^{1} \frac{e^{t} . f (t)}{1 + e^{t}} d t = \int_{- 1}^{1} \frac{e^{x} . f (x)}{1 + e^{x}} d x$

$\Rightarrow \int_{- 1}^{1} \frac{f (x)}{1 + e^{x}} d x = \int_{- 1}^{1} \frac{e^{x} . f (x)}{1 + e^{x}} d x = 1010$ .

Khi đó: $\int_{- 1}^{1} \frac{f (x)}{1 + e^{x}} d x + \int_{- 1}^{1} \frac{e^{x} . f (x)}{1 + e^{x}} d x = \int_{- 1}^{1} \frac{(e^{x} + 1) . f (x)}{1 + e^{x}} d x = \int_{- 1}^{1} f (x) d x = 1010 + 1010 = 2020$

$\Rightarrow 2 \int_{0}^{1} f (x) d x = 2020 \Rightarrow \int_{0}^{1} f (x) d x = 1010$ .

Câu 33:

Cho hàm số $f (x) = a \sin x + b \cos x$ (với $a, b \in ℝ; b > 0$ ), có $f^{'} (0) = 1$ . Gọi hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $f (x)$ với các trục hoành, trục tung và đường thẳng $x = π$ . Khi quay $(H)$ quanh trục Ox thì ta được một vật thể tròn xoay có thể tích bằng $\frac{17 π^{2}}{2}$ . Khi đó giá trị biểu thức $T = 2021 a + b^{10}$ thuộc khoảng nào sau đây?

A. $(2^{10}; 3^{10})$

B. $(3^{10}; 4^{10})$

C. $(4^{10}; 5^{10})$

D. $(7^{2020}; 9^{2020})$

Xem đáp án

Thể tích của vật thể là:

$\frac{17 π^{2}}{2} = π \int_{0}^{π} {(a \sin x + b \cos x)}^{2} d x = π \int_{0}^{π} (a^{2} \sin^{2} x + b^{2} \cos^{2} x + 2 a b \sin x \cos x) d x$

$= π \int_{0}^{π} (a^{2} \frac{1 - \cos 2 x}{2} + b^{2} \frac{1 + \cos 2 x}{2} + a b \sin 2 x) d x$

$= {π [a^{2} (\frac{x}{2} - \frac{\sin 2 x}{4}) + b^{2} (\frac{x}{2} + \frac{\sin 2 x}{4}) - \frac{a b}{2} \cos 2 x]|}_{0}^{π} = (a^{2} + b^{2}) \frac{π^{2}}{2}$ .

Suy ra có $a^{2} + b^{2} = 17$ .

Mặt khác $f^{'} (x) = a \cos x - b \sin x \Rightarrow 1 = f^{'} (0) = a \Rightarrow a = 1 \Rightarrow b = 4$ .

Ta được $T = 2020 + 4^{10}$ .

Câu 34:

Cho hai số phức z, w thỏa mãn $|z + 2 w| = 3, |2 z + 3 w| = 6$ và $|z + 4 w| = 7$ Tính giá trị của biểu thức $P = z . \bar{w} + \bar{z} . w$ .

A. $P = - 14 i$

B. $P = - 28 i$

C. $P = - 14$

D. $P = - 28$

Xem đáp án

Ta có: $|z + 2 w| = 3 \Leftrightarrow {|z + 2 w|}^{2} = 9 \Leftrightarrow (z + 2 w) . (\bar{z + 2 w}) = 9 \Leftrightarrow (z + 2 w) (\bar{z} + 2 \bar{w}) = 9$

$\Leftrightarrow z . \bar{z} + 2 (z . \bar{w} + \bar{z} . w) + 4 w . \bar{w} = 9 \Leftrightarrow {|z|}^{2} + 2 P + 4 {|w|}^{2} = 9$ (1).

Tương tự:

$|2 z + 3 w| = 6 \Leftrightarrow {|2 z + 3 w|}^{2} = 36 \Leftrightarrow (2 z + 3 w) (2 \bar{z} + 3 \bar{w}) = 36 \Leftrightarrow 4 {|z|}^{2} + 6 P + 9 {|w|}^{2} = 36$ (2).

$|z + 4 w| = 7 \Leftrightarrow (z + 4 w) (\bar{z} + 4 \bar{w}) = 49 \Leftrightarrow {|z|}^{2} + 4 P + 16 {|w|}^{2} = 49$ (3).

Giải hệ phương trình gồm (1), (2), (3) ta có: $\{\begin{cases} {|z|}^{2} = 33 \\ P = - 28 \\ {|w|}^{2} = 8 \end{cases} \Rightarrow P = - 28$ .

Câu 35:

Cho hàm số $f (x) = a x^{4} + b x^{2} + c$ có đồ thị như hình vẽ. Số các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số $g (x) = \frac{2020 x}{f (x) [f (x) - m]}$ có tổng số 9 đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng là

Cho hàm số f(x)=ax^4+bx^2+c có đồ thị như hình vẽ. Số các giá trị nguyên của tham số m (ảnh 1)

A. 4

B.3

C. 3

D. 2

Xem đáp án

: Ta có g(x) là hàm phân thức hữu tỉ với bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu nên $\lim_{x \to \pm \infty} g (x) = 0$ , do đó đồ thị hàm số g(x) luôn có một tiệm cận ngang là $y = 0$ .

Phương trình $f (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = x_{1} \in (- 2; - 1) \\ x = x_{2} \in (- 1; 0) \\ x = x_{3} \in (0; 1) \\ x = x_{4} \in (1; 2) \end{array}$ .

Ta thấy phương trình $f (x) = 0$ có 4 nghiệm phân biệt đều khác 0 nên $x = x_{1}, x = x_{2}, x = x_{3}, x = x_{4}$ là 4 tiệm cận đứng đồ thị hàm số g(x).

Vậy để đồ thị hàm số g(x) có đúng 9 đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng thì phương trình $f (x) = m$ phải có đúng 4 nghiệm phân biệt khác 0 và khác với 4 nghiệm $x_{i}$ ( $i = \bar{1,4}$ ) $\Leftrightarrow \{\begin{cases} - \frac{3}{2} < m < 2 \\ m \neq 0 \end{cases}$ mà $m \in ℤ$ nên $m \in \{- 1; 1\}$ .

Câu 36:

Cho hàm số $y = f (x), y = g (x)$ . Hai hàm số $y = f^{'} (x)$ và $y = g^{'} (x)$ có đồ thị như hình sau. Trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số .

Cho hàm số y=f(x);y=g(x). Hai hàm số y=f'x);y=g'(x) có đồ thị như hình sau. Trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số (ảnh 1)

Hàm số $h (x) = f (x) - g (x)$ nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A. $(- \infty; - \frac{11}{5})$

B. $(- \frac{13}{5}; - \frac{13}{10})$

C. $(- \frac{9}{10}; - \frac{2}{5})$

D. $(\frac{1}{10}; \frac{3}{6})$

Xem đáp án

Ta có: $h^{'} (x) = f^{'} (x) - g^{'} (x)$ . Với $x \in (- \frac{9}{10}; - \frac{2}{5})$ , ta có:

Đồ thị $y = f^{'} (x)$ nằm hoàn toàn phía dưới đồ thị $y = g^{'} (x)$ nên $h^{'} (x) < 0, \forall x \in (- \frac{9}{10}; - \frac{2}{5})$ .

Nên hàm số $h (x)$ nghịch biến trên khoảng $(- \frac{9}{10}; - \frac{2}{5})$ .

Câu 37:

Cho $m = \log_{a} \sqrt{a b}$ với $a, b > 1$ và $P = 1010 \log_{a}^{2} b + 2020 \log_{b} a$ . Khi đó giá trị của m để P đạt giá trị nhỏ nhất là

A. 1

B. 2

C. 4

D. 5

Xem đáp án

Ta có $P = 1010 \log_{a}^{2} b + 2020 \log_{b} a = 1010 \log_{a}^{2} b + \frac{2020}{\log_{a} b}$ .

Đặt $t = \log_{a} b$ . Khi đó $P = 1010 t^{2} + \frac{2020}{t}$ .

Vì $a, b > 1$ nên $t = \log_{a} b > 0$ . Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

$P = 1010 t^{2} + \frac{2020}{t} = 1010 t^{2} + \frac{1010}{t} + \frac{1010}{t} \geq 3 \sqrt[3]{1010^{3}} = 3030$ .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $1010 t^{2} = \frac{1010}{t} \Rightarrow t = 1$ .

Ta có $m = \log_{a} \sqrt{a b} = \frac{1}{2} \log_{a} (a b) = \frac{1}{2} (1 + \log_{a} b) = \frac{1}{2} (1 + t) = \frac{1}{2} (1 + 1) = 1$ .

Câu 38:

Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có điểm $A (1; 1; 1), B (2; 0; 2), C (- 1; - 1; 0)$ , $D (0; 3; 4)$ . Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm $B^{'}, C^{'}, D^{'}$ thỏa mãn $\frac{A B}{A B^{'}} + \frac{A C}{A C^{'}} + \frac{A D}{A} = 4$ . Phương trình mặt phẳng biết tứ diện $A B^{'} C^{'} D^{'}$ có thể tích nhỏ nhất là phương trình nào sau đây?

A. $16 x + 40 y - 44 z + 39 = 0$

B. $16 x + 40 y + 44 z - 39 = 0$

C. $16 x - 40 y - 44 z + 39 = 0$

D. $16 x - 40 y - 44 z - 39 = 0$

Xem đáp án

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: $4 = \frac{A B}{A B^{'}} + \frac{A C}{A C^{'}} + \frac{A D}{A} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{A B . A C . A D}{A B' . A C' . A D'}}$ .

$\Rightarrow \frac{A B' . A C' . A D'}{A B . A C . A D} \geq \frac{27}{64} \Rightarrow \frac{V_{A B' C' D'}}{V_{A B C D}} = \frac{A B' . A C' . A D'}{A B . A C . A D} \geq \frac{27}{64} \Rightarrow V_{A B^{'} C^{'} D^{'}} \geq \frac{27}{64} V_{A B C D}$

Để $V_{A B^{'} C^{'} D^{'}}$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $\frac{A B^{'}}{A B} = \frac{A C^{'}}{A C} = \frac{A}{A D} = \frac{3}{4} \Rightarrow \{\begin{cases} \vec{A B^{'}} = \frac{3}{4} \vec{A B} \Rightarrow B^{'} (\frac{7}{4}; \frac{1}{4}; \frac{7}{4}) \\ (B^{'} C^{'} D^{'}) // (B C D) \end{cases}$ .

Ta có $\vec{C B} = (3; 1; 2), \vec{C D} = (1; 4; 4)$ suy ra mặt phẳng (BCD) có véctơ pháp tuyến là

$\vec{n} = [\vec{C B}; \vec{C D}] = (- 4; - 10; 11)$ .

Lúc đó mặt phẳng $(B^{'} C^{'} D^{'})$ song song với mặt phẳng $(B C D)$ và đi qua $B^{'} (\frac{7}{4}; \frac{1}{4}; \frac{7}{4})$

$\Rightarrow (B^{'} C^{'} D^{'}) : 16 x + 40 y - 44 z + 39 = 0$ .

Câu 39:

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = x^{2}$ , cung tròn $y = \sqrt{2 x - x^{2}}$ và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của hình $(H)$ bằng

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y=x^2, cung tròny=căn bậc hai 2x-x^2 và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). (ảnh 1)

A. $\frac{π}{2} - \frac{1}{3}$

B. $\frac{π}{4} - \frac{1}{3}$

C. $\frac{π}{4} + \frac{1}{3}$

D. $\frac{π}{2} + \frac{1}{3}$

Xem đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm giữa parabol và cung tròn: $x^{2} = \sqrt{2 x - x^{2}} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 0 \end{array}$ .

Khi đó: $S = \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{1}^{2} \sqrt{2 x - x^{2}} d x = \frac{1}{3} + \int_{1}^{2} \sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}} d x$ .

Đặt $x - 1 = \sin t, t \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}] \Rightarrow d x = \cos t d t$ .

Đổi cận: $x = 1 \Rightarrow t = 0; x = 2 \Rightarrow t = \frac{π}{2}$ .

Suy ra $S = \frac{1}{3} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} t d t = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 + \cos 2 t) d t = {\frac{1}{3} + \frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin 2 t)|}_{0}^{\frac{π}{2}} = \frac{1}{3} + \frac{π}{4}$ .

Câu 40:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông tại A, $A B = a \sqrt{2}, A C = a \sqrt{5}$ . Hình chiếu của điểm S trên mặt phẳng $(A B C)$ trùng với điểm của đoạn thẳng BC. Biết rằng góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SAC) bằng $60 °$ . Thể tích của khối chóp S.ABC là

A. $\frac{5 a^{3} \sqrt{6}}{12}$

B. $\frac{5 a^{3} \sqrt{10}}{12}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{210}}{24}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{30}}{12}$

Xem đáp án

Gọi H là trung điểm của BC, M là trung điểm của AC, P là trung điểm của AB, kẻ .

Ta có $(S A B) \cap (S A C) = S A$ , kẻ $B E ⊥ S A$ và $G H // BE$ , suy ra

$\hat{((S A C), (S A B))} = \hat{(G H, (S A C))} = \hat{H G I} = 60 °$ .

$S H = h$ Đặt $S A = \sqrt{h^{2} + \frac{7 a^{2}}{4}}$ , ta tính được $S P = \sqrt{h^{2} + \frac{5 a^{2}}{4}}$ và $B E = \frac{2 S_{S A B}}{S A} = \frac{a \sqrt{2} . \sqrt{h^{2} + \frac{5 a^{2}}{4}}}{\sqrt{h^{2} + \frac{7 a^{2}}{4}}}$ .

Vậy $H I = \sqrt{\frac{M H^{2} . S H^{2}}{M H^{2} + S H^{2}}} = \frac{\frac{a \sqrt{2}}{2} h}{\sqrt{h^{2} + \frac{a^{2}}{2}}}$

Tam giác GIH vuông tại I có

$\frac{I H}{H G} = \sin 60 ° \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} . \frac{\frac{a \sqrt{2}}{2} \sqrt{h^{2} + \frac{5 a^{2}}{4}}}{\sqrt{h^{2} + \frac{7 a^{2}}{4}}} = \frac{h \frac{a \sqrt{2}}{2}}{\sqrt{h^{2} + \frac{a^{2}}{4}}} \Rightarrow h^{4} + \frac{7 a^{2}}{4} h^{2} - \frac{15 a^{4}}{8} = 0 \Rightarrow h = \frac{2 a \sqrt{3}}{4}$ .

Vậy $V_{S A B C} = \frac{1}{6} A B . A C . S H = \frac{a^{3} \sqrt{30}}{12}$ .

Câu 41:

Cho hình lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có thể tích bằng V. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, $B B^{'}, A^{'} C^{'}$ . Thể tích của khối tứ diện CMNP bằng

A. $\frac{5}{24} V$

B. $\frac{1}{4} V$

C. $\frac{7}{24} V$

D. $\frac{1}{3} V$

Xem đáp án

Gọi I là trung điểm $A C \Rightarrow N P \cap B I = \{J\}$ .

Lại có $B P = \frac{1}{2} N I$ và $B N // IP$ suy ra BN là đường trung bình tam giác PIJ. Suy ra B là trung điểm IJ.

Suy ra $C M \cap B I = \{G\}$ là trọng tâm tam giác ABC.

Ta có: $\frac{S_{J C M}}{S_{B C M}} = \frac{J G}{B G}$ mà $J G = B J + B G = B I + \frac{2}{3} B I = \frac{5}{3} B I$

$\Rightarrow \frac{S_{J C M}}{S_{B C M}} = \frac{\frac{5}{3} B I}{\frac{2}{3} B I} = \frac{5}{2} \Rightarrow S_{J C M} = \frac{5}{2} S_{B C M} \Rightarrow S_{J C M} = \frac{5}{4} . S_{A B C}$ .

Ta có $V_{1} = V_{P . M J C} = \frac{1}{3} h S_{J M C} = \frac{5}{12} V; V_{2} = V_{N . M J C} = \frac{1}{3} . \frac{1}{2} h S_{J M C} = \frac{1}{3} . h . \frac{5}{8} S_{A B C} = \frac{5}{24} V$ .

Vậy $V_{P . C M N} = V_{1} - V_{2} = \frac{5}{24} V$ .

Câu 42:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 9$ và mặt phẳng $(P) : 2 x - 2 y + z + 3 = 0$ . Gọi $M (a; b; c)$ là điểm trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ M đến $(P)$ lớn nahát. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $a + b + c = 8$

B. $a + b + c = 5$

C. $a + b + c = 6$

D. $a + b + c = 7$

Xem đáp án

Mặt cầu (S) có tâm $I (1; 2; 3), R = 3$ .

Ta có: $d (I, (P)) = \frac{|2.1 - 2.2 + 3 + 3|}{\sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2} + 1^{2}}} = \frac{4}{3} < R$ nên mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn.

Gọi $M (a; b; c)$ là điểm trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất thì điểm M thuộc đường thẳng $∆$ đi qua điểm I và vuông góc với(P).

Phương trình $Δ : \{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 2 - 2 t \\ z = 3 + t \end{cases}$ . Thay vào mặt cầu (S) ta có: ${(2 t)}^{2} + {(- 2 t)}^{2} + {(t)}^{2} = 9 \Rightarrow 9 t^{2} = 9 \Rightarrow t = \pm 1$ .

Với t=1 ta có: $M (3; 0; 4) \Rightarrow d (M, (P)) = \frac{|2.3 - 2.0 + 4 + 3|}{\sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2} + 1^{2}}} = \frac{13}{3}$ .

Với t=-1 ta có: $M (- 1; 4; 2) \Rightarrow d (M, (P)) = \frac{|2. (- 1) - 2.4 + 2 + 3|}{\sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2} + 1^{2}}} = \frac{5}{3}$ .

Vậy $M (3; 0; 4)$ nên a+b+c=7.

Câu 43:

Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tham số a để hàm số y=|f(x)+a| có ba điểm cực trị.

Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tham số a để hàm số y=|f(x)+a| có ba điểm cực trị. (ảnh 1)

A. $1 \leq a \leq 3$

B. x=-1 hoặc x= 3

C. $a \leq - 1$ hoặc $a \geq 3$

D. $a \geq - 3$ hoặc $a \geq 1$

Xem đáp án

Đồ thị hàm số y=f(x)+a là đồ thị y=f(x) tịnh tiến lên trên một đoạn thẳng bằng a khi a>0 tịnh tiến xuống dưới một đoạn bằng |a| khia<0.

Hơn nữa đồ thị y=|f(x)+a| là:

+) Phần đồ thị của y=f(x)+a nằm phía trên trục Ox.

+) Lấy đối xứng phần đồ thị của y=f(x)+a nằm dưới Ox qua Ox và bỏ đi phần đồ thị của y=f(x)+a nằm dưới Ox.

Vậy để đồ thị hàm số y=|f(x)+a| có ba điểm cực trị thì đồ thị hàm số y=f(x)+a xảy ra hai trường hợp:

+) Đồ thị hàm số y=f(x)+a có điểm cực tiểu nằm phía trên trục hoành hoặc thuộc trục hoành và cực đại dương. Khi đó $a \geq 3$ .

+) Đồ thị hàm số y=f(x)+a có điểm cực đại nằm phía dưới trục hoành hoặc thuộc trục hoành và cực tiểu âm. Khi đó $a \leq - 1$ .

Vậy giá trị a cần tìm là $a \leq - 1$ hoặc $a \geq 3$ .

Câu 44:

Giá trị nhỏ nhất của $P = a^{2} + b^{2}$ để hàm số $f (x) = x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + a x + 1$ có đồ thị cắt trục hoành là

A. $P = \frac{5}{4}$

B. $P = \frac{2}{5}$

C. $P = \frac{5}{2}$

D. $P = \frac{4}{5}$

Xem đáp án

Xét phương trình: $x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + a x + 1 = 0 \Rightarrow {(x + \frac{1}{x})}^{2} + a (x + \frac{1}{x}) + b - 2 = 0 (x \neq 0)$ .

Đặt $t = x + \frac{1}{x} (|t| \geq 2) \Rightarrow t^{2} + a t + b - 2 = 0$ (*)

Xét đường thẳng $Δ : t x + y + t^{2} - 2 = 0 (|t| \geq 2)$ và đường tròn $(C) : x^{2} + y^{2} = P$ có tâm O(0;0), bán kính $R = \sqrt{P}$ .

Để (*) có nghiệm thì Δ và ( C) tiếp xúc hoặc cắt nhau:

$\Leftrightarrow d_{(O, Δ)} \leq R \Leftrightarrow \frac{|t^{2} - 2|}{\sqrt{t^{2} + 1}} \leq \sqrt{P} \Rightarrow P \geq \frac{{(t^{2} - 2)}^{2}}{t^{2} + 1} (|t| \geq 2); \frac{{(t^{2} - 2)}^{2}}{t^{2} + 1} = \frac{{(u - 3)}^{2}}{u} (u = t^{2} + 1 \geq 5)$ .

Xét $f (u) = \frac{{(u - 3)}^{2}}{u}, u \geq 5 \Rightarrow f (u) \geq \frac{4}{5} \Rightarrow P \geq \frac{4}{5}$ khi $u = 5 \Rightarrow x + \frac{1}{x} = \pm 2$ .

Câu 45:

Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau, chia hết cho 4, nhỏ hơn 4567 và có chữ số hàng chục là chữ số lẻ?

A. 170

B. 171

C. 172

D. 173

Xem đáp án

Câu 46:

Gọi $m_{0}$ là số nguyên để phương trình $\log_{3} (\frac{x^{2}}{2020 - m}) + |x| (x^{2} + m) = 2020 |x|$ ,

có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^{2020} + x_{2}^{2020} = 2^{1011}$ . Với $m_{0}$ đó giá trị của biểu thức $P = \ln (x_{1} + \sqrt{x_{2}^{2} + 2}) + \ln (x_{2} + \sqrt{x_{1}^{2} + 2})$ thuộc vào khoảng nào dưới đây?

A. (-5;1)

B. $(1; 5)$

C. $(2018; 2020)$

D. $(2020; 2025)$

Xem đáp án

Điều kiện: $\{\begin{cases} x \neq 0 \\ m < 2020 \end{cases}$ .

Phương trình có dạng: $\log_{3} {|x|}^{2} + {|x|}^{3} = \log_{3} (2020 - m) + |x| (2020 - m)$

$\Leftrightarrow \log_{3} |x| + \log_{3} {|x|}^{2} + {|x|}^{3} = \log_{3} |x| + \log_{3} (2020 - m) + |x| (2020 - m)$

$\Leftrightarrow \log_{3} {|x|}^{3} + {|x|}^{3} = \log_{3} (|x| (2020 - m)) + |x| (2020 - m)$ (1).

Xét hàm số: $f (t) = t + \log_{3} t$ trên $D = (0; + \infty)$ .

Vì $f^{'} (t) = 1 + \frac{1}{t \ln 3} > 0, \forall t \in D$ nên hàm số f(x) đồng biến trên D.

Từ phương trình (1) $\Leftrightarrow f ({|x|}^{3}) = f (|x| (2020 - m))$

$\Leftrightarrow {|x|}^{3} = |x| (2020 - m) \Rightarrow {|x|}^{2} = 2020 - m \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \sqrt{2020 - m} \\ x = - \sqrt{2020 - m} \end{array} (m < 2020)$ (2).

Mà $x_{1}^{2020} + x_{2}^{2020} = 2^{1011} \Leftrightarrow 2 {(2020 - m)}^{1010} = 2^{1011} \Rightarrow (2020 - m) = 2 \Leftrightarrow m = 2018$ .

Khi đó $\{\begin{cases} x_{1} = \sqrt{2} \\ x_{2} = - \sqrt{2} \end{cases}$ .

Vậy $P = \ln (x_{1} + \sqrt{x_{2}^{2} + 2}) + \ln (x_{2} + \sqrt{x_{1}^{2} + 2}) = \ln (\sqrt{2} + 2) + \ln (- \sqrt{2} + 2) = \ln 2 \approx 0,693$ .

Câu 47:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [-1;1] và thỏa mãn f(1) = 0, $(f^{'} {(x)}^{2} + 4 f (x)) = 8 x^{2} + 16 x - 8$ với mọi x thuộc

[-1;1]. Giá trị của

\int_{0}^{1} f (x) d x

bằng

A. $- \frac{5}{3}$

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{1}{5}$

D. $\frac{- 1}{3}$

Xem đáp án

Ta có:

${(f^{'} (x))}^{2} + 4 f (x) = 8 x^{2} + 16 x - 8 \Rightarrow \int_{- 1}^{1} {[f^{'} (x)]}^{2} d x + 2 \int_{- 1}^{1} 2 f (x) d x = \int_{- 1}^{1} (8 x^{2} + 16 x - 8) d x$ (1).

Xét $I = \int_{- 1}^{1} 2 f (x) d x$ , đặt $\{\begin{cases} u = f (x) \\ d v = 2 dx \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = f^{'} (x) d x \\ v = 2 x + 2 \end{cases}$ .

Do đó $I = \int_{- 1}^{1} 2 f (x) d x = {(2 x + 2) f (x)|}_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} (2 x + 2) f^{'} (x) d x = - \int_{- 1}^{1} (2 x + 2) f^{'} (x) d x$ .

Từ (1) suy ra $\int_{- 1}^{1} {[f^{'} (x)]}^{2} d x + 2 \int_{- 1}^{1} 2 f (x) d x = \int_{- 1}^{1} (8 x^{2} + 16 x - 8) d x$

$\Leftrightarrow \int_{- 1}^{1} {[f^{'} (x)]}^{2} d x - 2 \int_{- 1}^{1} (2 x + 2) f^{'} (x) d x + \int_{- 1}^{1} {(2 x + 2)}^{2} d x = \int_{- 1}^{1} (12 x^{2} + 24 x - 4) d x$

$\Leftrightarrow \int_{- 1}^{1} {[f^{'} (x) - (2 x + 2)]}^{2} d x = 0 \Rightarrow f^{'} (x) = 2 x + 2 \Rightarrow f (x) = x^{2} + 2 x + C$ .

Vì f(1)=0 nên C=-3. Suy ra

\int_{0}^{1} f (x) d x = \int_{0}^{1} (x^{2} + 2 x - 3) d x = - \frac{5}{3}

.

Câu 48:

Cho hàm số bậc ba $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $|f (x^{3} - 3 x)| = \frac{m + 1}{10 - m}$ có 10 nghiệm phân biệt?

Cho hàm số bậc ba f=f(x)có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình (ảnh 1)

A. 9

B. 5

C. Vô số.

D. 6

Xem đáp án

Xét phương trình: $|f (x^{3} - 3 x)| = \frac{m + 1}{10 - m}$ (1).

Đặt $t = x^{3} - 3 x$ , ta có: $t^{'} = 3 x^{2} - 3, t^{'} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$ .

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có:

Ứng với mỗi giá trị t > 2 hoặc t< -2 thì phương trình $x^{3} - 3 x = t$ có một nghiệm x duy nhất.

Ứng với mỗi giá trị t = 2 hoặc t=-2 thì phương trình $x^{3} - 3 x = t$ có 2 nghiệm x.

Ứng với mỗi giá trị -2<t<2 thì phương trình $x^{3} - 3 x = t$ có 3 nghiệm x.

Phương trình (1) trở thành $|f (t)| = \frac{m + 1}{10 - m}$ với .

Từ đồ thị hàm số y=f(x) ban đầu, ta suy ra bảng biến thiên của hàm số y=|f(t)| như sau:

(trong đó f(a) >1),

Từ bảng biến thiên của hàm số y=|f(t)| để phương trình $|f (x^{3} - 3 x)| - \frac{m + 1}{10 - m} = 0$ có 10 nghiệm phân biệt thì phương trình $|f (t)| = \frac{m + 1}{10 - m}$ có 6 nghiệm thỏa mãn $t_{1} < - 2 < t_{2} < t_{3} < 2 < t_{4} < t_{5} < t_{6}$ .