Cho hàm số fx có đạo hàm trên R. Biết 4fx−f'x2=x2+2x, ∀x∈ℝ. Tính ∫01fxdx

Dựa vào giả thiết ta xét fx là hàm bậc hai.Giả sử fx=ax2+bx+c, x∈ℝ⇒4fx=4ax2+4bx+4c.Có f'x=2ax+b⇒f'x2=2ax+b2=4a2x2+4abx+b2.4fx−f'x2=4a1−ax2+4b1−ax+4c−b2.Theo giả thiết 4fx−f'x2=x2+2x⇒4a1−a=14b1−a=24c−b2=0⇒a=12b=1c=14.Như vậy hàm số fx=12x2+x+14 thỏa mãn điều kiện bài toán.Ta có: ∫01fxdx=∫01x22+x+14dx=x36+x22+14x01=1112. Chọn đáp án B

Câu hỏi:

16/07/2024 141

Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm trên R. Biết $4 f (x) - {[f^{'} (x)]}^{2} = x^{2} + 2 x$ , $\forall x \in ℝ$ . Tính $\int_{0}^{1} f (x) d x$

A. $\frac{7}{12}$

B. $\frac{11}{12}$

Đáp án chính xác

C. $\frac{13}{12}$

D. $\frac{9}{12}$

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Dựa vào giả thiết ta xét $f (x)$ là hàm bậc hai.
Giả sử $f (x) = a x^{2} + b x + c, x \in ℝ$
$\Rightarrow 4 f (x) = 4 a x^{2} + 4 b x + 4 c$ .
Có $f^{'} (x) = 2 a x + b \Rightarrow {[f^{'} (x)]}^{2} = {(2 a x + b)}^{2} = 4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + b^{2}$ .
$4 f (x) - {[f^{'} (x)]}^{2} = 4 a (1 - a) x^{2} + 4 b (1 - a) x + 4 c - b^{2}$ .
Theo giả thiết $4 f (x) - {[f^{'} (x)]}^{2} = x^{2} + 2 x \Rightarrow \{\begin{cases} 4 a (1 - a) = 1 \\ 4 b (1 - a) = 2 \\ 4 c - b^{2} = 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} a = \frac{1}{2} \\ b = 1 \\ c = \frac{1}{4} \end{cases}$ .
Như vậy hàm số $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + \frac{1}{4}$ thỏa mãn điều kiện bài toán.
Ta có: $\int_{0}^{1} f (x) d x = \int_{0}^{1} (\frac{x^{2}}{2} + x + \frac{1}{4}) d x = {(\frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{4} x)|}_{0}^{1} = \frac{11}{12}$ .

Chọn đáp án B

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết

ĐĂNG KÝ VIP

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Tính tích phân $I = \int_{0}^{2} 2^{2018 x} d x$ .

Xem đáp án » 08/09/2022 273

Câu 2:

Cho hàm số $y = \frac{1}{2} x^{2}$ có đồ thị (P). Xét các điểm $A, B$ thuộc (P) sao cho tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng AB bằng $\frac{9}{4}$ . Gọi $x_{1}^{}, x_{2}^{}$ lần lượt là hoành độ của A và B. Giá trị của ${(x_{1}^{} + x_{2}^{})}^{2}$ bằng :

Xem đáp án » 08/09/2022 262

Câu 3:

Cho số phức $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ thỏa mãn $3 z - (4 + 5 i) \bar{z} = - 17 + 11 i .$ Tính ab

Xem đáp án » 08/09/2022 239

Câu 4:

Tính thể tích V của khối lăng trụ có đáy là một lục giác đều cạnh a và chiều cao của khối lăng trụ 4a.

Xem đáp án » 08/09/2022 221

Câu 5:

Tính thể tích của khối tứ diện ABCD, biết $A B, A C, A D$ đôi một vuông góc và lần lượt có độ dài bằng $2, 3, 4$ .

Xem đáp án » 08/09/2022 211

Câu 6:

S là tập tất cả các số nguyên dương của tham số m sao cho bất phương trình $4^{x} - m 2^{x} - m + 15 > 0$ có nghiệm đúng với mọi $x \in [1; 2]$ . Tính số phần tử của S

Xem đáp án » 08/09/2022 203

Câu 7:

Trong mặt phẳng cho tập hợp P gồm 10 điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Số tam giác có 3 đỉnh đều thuộc tập hợp P là

Xem đáp án » 08/09/2022 200

Câu 8:

Thể tích của khối trụ có chu vi đáy bằng $4 π a$ và độ dài đường cao bằng a là

Xem đáp án » 08/09/2022 192

Câu 9:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm trên R và không có cực trị, đồ thị của hàm số $y = f (x)$ là đường cong của hình vẽ bên. Xét hàm số $h (x) = \frac{1}{2} {[f (x)]}^{2} - 2 x . f (x) + 2 x^{2}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Xem đáp án » 08/09/2022 191

Câu 10:

Cho 4 điểm $A (- 2; - 1; 3), B (2; 3; 1), C (1; 2; 3), D (- 4; 1; 3)$ . Hỏi có bao nhiêu điểm trong bốn điểm đã cho thuộc mặt phẳng $(α) : x + y + 3 z - 6 = 0$ ?

Xem đáp án » 08/09/2022 190

Câu 11:

Đồ thị sau đây là đồ thị của hàm số nào?

Xem đáp án » 08/09/2022 188

Câu 12:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hỏi hàm số đó có bao nhiêu điểm cực trị?

Xem đáp án » 08/09/2022 185

Câu 13:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = - 2 + t \\ y = 1 + 2 t \\ z = 5 - 3 t \end{cases} (t \in ℝ)$ có véc tơ chỉ phương là

Xem đáp án » 08/09/2022 184

Câu 14:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ với $u_{1} = 2$ và $u_{2} = 6$ . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

Xem đáp án » 08/09/2022 181

Câu 15:

Điểm nào trong hình vẽ bên dưới là điểm biểu diễn số phức $z = 1 + 3 i ?$

Xem đáp án » 08/09/2022 178

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài

Đề thi liên quan

Xem thêm »

Bộ đề thi Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (30 đề)

31 đề 94275 lượt thi Thi thử
30 đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải

31 đề 54264 lượt thi Thi thử
[Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có lời giải (30 đề)

31 đề 49046 lượt thi Thi thử
Đề thi THPT Quốc gia môn Toán học năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề)

30 đề 37890 lượt thi Thi thử
Thi Online Bộ đề thi Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (30 đề)

31 đề 34126 lượt thi Thi thử
Bộ 30 đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có đáp án

21 đề 20265 lượt thi Thi thử
Đề thi thử tốt nghiệp môn Toán THPT năm 2022 có đáp án

30 đề 16551 lượt thi Thi thử
30 Đề thi thử thpt quốc gia môn Toán hay nhất có lời giải chi tiết

31 đề 12383 lượt thi Thi thử
Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề)

31 đề 11645 lượt thi Thi thử
Đề thi thử THPTGQ môn Toán cực cực hay có lời giải chi tiết

31 đề 11508 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM