Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\left[ {2;4} \right]\) và có bảng biến thiên như hình vẽ bên
![Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\left[ {2;4} \right]\) và có bảng biến thiên như hình vẽ bên\(x\)2 3 \(\frac{7}{2}\) (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/04/blobid0-1649620026.png)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \(x + 2\sqrt {{x^2} - 2x} = m.f(x)\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {2;4} \right]\) ?
A.\(3\).
B.\(6\).
C.\(5\).
D.\(4\).
Giải bởi Vietjack
Ta có: \(x + 2\sqrt {{x^2} - 2x} = mf\left( x \right) \Leftrightarrow m = \frac{{x + 2\sqrt {{x^2} - 2x} }}{{f\left( x \right)}}\)
Số nghiệm của phương trình \(m = \frac{{x + 2\sqrt {{x^2} - 2x} }}{{f\left( x \right)}}\) bằng số giao điểm của hàm số \(y = \frac{{x + 2\sqrt {{x^2} - 2x} }}{{f\left( x \right)}}\) với đường thẳng \(y = m.\)
Đặt \(g\left( x \right) = x + 2\sqrt {{x^2} - 2x} \)
Ta có \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} g\left( x \right) = 2\) tại \(x = 2,\) \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {2;4} \right]} g\left( x \right) = 4 + 4\sqrt 2 \) tại \(x = 4\)
\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} f\left( x \right) = 2\) tại \(x = 4,\mathop {\max }\limits_{\left[ {2;4} \right]} f\left( x \right) = 4\) tại \(x = 2\)
Do \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} g\left( x \right) = 2\) và \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {2;4} \right]} f\left( x \right) = 4\) đều đồng thời xảy ra tại \(x = 2\)
Suy ra: \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} \left( {\frac{{x + 2\sqrt {{x^2} - 2x} }}{{f\left( x \right)}}} \right) = \frac{{\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} g\left( x \right)}}{{\mathop {\max }\limits_{\left[ {2;4} \right]} f\left( x \right)}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)
Do \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} f\left( x \right) = 2\) và \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {2;4} \right]} g\left( x \right) = 4 + 4\sqrt 2 \) đều đồng thời xảy ra tại \(x = 4\)
Suy ra: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {2;4} \right]} \left( {\frac{{x + 2\sqrt {{x^2} - 2x} }}{{f\left( x \right)}}} \right) = \frac{{\mathop {\max }\limits_{\left[ {2;4} \right]} g\left( x \right)}}{{\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} f\left( x \right)}} = \frac{{4 + 4\sqrt 2 }}{2} = 2 + 2\sqrt 2 \)
Mà hàm số \(y = \frac{{x + 2\sqrt {{x^2} - 2x} }}{{f\left( x \right)}}\) liên tục trên đoạn \(\left[ {2;4} \right].\)
Vậy \(\frac{1}{2} \le m \le 2 + 2\sqrt 2 ,\) mà \(m\) nguyên nên \(m\) nhận các giá trị \(\left\{ {1;2;3;4} \right\}\) nên chọn đáp án D.
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho tứ diện \[ABCD\] có \[AC = AD = BC = BD = 1\], mặt phẳng\[\left( {ABC} \right) \bot (ABD)\] và \[\left( {ACD} \right) \bot (BCD)\]. Khoảng cách từ \[A\] đến mặt phẳng \[\left( {BCD} \right)\]là:
Cho hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 7x + 5\) có đồ thị là \(\left( C \right)\). Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ bằng 2 là:
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \[A\]. Biết \(AB = AA' = a\), \(AC = 2a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \[AC\]. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(MA'B'C'\) bằng
Cho hàm số \(f(x) = - \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + \left( {3m + 2} \right)x - 5\) . Tập hợp các giá trị của tham số \(m\) để hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) là \(\left[ {a;\,b} \right]\). Khi đó \(2a - b\) bằng
Cho hình chóp \(S.\,ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp \(S.\,ABCD\) là
Cho hình chóp \[S.ABCD\], đáy là hình chữ nhật tâm \[O\], \[AB = a\], \[AD = a\sqrt 3 \], \[SA = 3a\], \[SO\] vuông góc với mặt đáy \[\left( {ABCD} \right)\]. Thể tích khối chóp bằng
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(\Delta ABC\) vuông tại \[B\], \(BA = a\), \[BC = a\sqrt 3 \]. Cạnh bên \[\] vuông góc với đáy và \(SA = a\). Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\).
Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = m{x^4} - \left( {m - 3} \right){x^2} + {m^2}\)không có điểm cực đại là
Hàm số \(y = \left| {{{\left( {x - 1} \right)}^3}\left( {x + 1} \right)} \right|\) có bao nhiêu điểm cực trị?
Cho hàm đa thức \(y = f(x)\). Hàm số \(y = f'(x)\) có đồ thị như hình vẽ sau
![Cho hàm đa thức \(y = f(x)\). Hàm số \(y = f'(x)\) có đồ thị như hình vẽ sau Có bao nhiêu giá trị của \(m \in \left[ {0;\,6} \right];\,2m \in \mathbb{Z}\) để hàm số \(g(x) = f\left( {{x^2} - (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1649615523/1649615702-image19.png)
Có bao nhiêu giá trị của \(m \in \left[ {0;\,6} \right];\,2m \in \mathbb{Z}\) để hàm số \(g(x) = f\left( {{x^2} - 2\left| {x - 1} \right| - 2x + m} \right)\) có đúng \(9\) điểm cực trị?
Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^3} + 2{x^2} + 1}}{{{x^2} + 1}}\) là
Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị hàm \(f'(x)\) như hình vẽ
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên
Tìm \(m\) để phương trình \(2f(x) + m = 0\) có đúng \(3\) nghiệm phân biệt
Cho tứ diện \[OABC\] có \[OA\], \[OB\], \[OC\] đôi một vuông góc nhau và \[OA = OB\]\[ = OC = 3a\]. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \[AC\] và \[OB\].
