Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {\frac{{{x^2} + mx + m}}{{x + 1}}} \right|\) trên \(\left[ {1;2} \right]\) bằng 2. Số phần tử của \(S\) là
A. 1.
B. 4.
C. 3.
D. 2.
Giải bởi Vietjack
Đáp án D.
Đặt \(y = h\left( x \right) = \left| {\frac{{{x^2} + mx + m}}{{x + 1}}} \right|\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + mx + m}}{{x + 1}} = \frac{{{x^2}}}{{x + 1}} + m,\) ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} >0,\forall x \in \left[ {1;2} \right].\)
Suy ra hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên đoạn \(\left[ {1;2} \right].\)
\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = \frac{1}{2} + m,\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = \frac{4}{3} + m.\)
Nếu \(\frac{1}{2} + m >0 \Leftrightarrow m >- \frac{1}{2}\) thì \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} h\left( x \right) = m + \frac{4}{3},\) suy ra: \(\frac{4}{3} + m = 2 \Leftrightarrow m = \frac{2}{3}\) (thỏa mãn).
Nếu \(\frac{4}{3} + m < 0 \Leftrightarrow m < - \frac{4}{3}\) thì \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} h\left( x \right) = \left| {m + \frac{1}{2}} \right|,\) suy ra: \(\left| {m + \frac{1}{2}} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{3}{2}\left( l \right)\\m = - \frac{5}{2}\end{array} \right..\)
Nếu \(\frac{1}{2} + m < 0 < \frac{4}{3} + m \Leftrightarrow - \frac{4}{3} < m < - \frac{1}{2}\) thì: \(\left| {m + \frac{1}{2}} \right| \le \left| m \right| + \frac{1}{2} \le \frac{4}{3} + \frac{1}{2} = \frac{{11}}{6} < 2,\) suy ra:
\(\left| {m + \frac{4}{3}} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + \frac{4}{3} = 2\\m + \frac{4}{3} = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{2}{3}\\m = - \frac{{10}}{3}\end{array} \right.\) (không thỏa mãn).
Vậy có hai giá trị \(m\) thỏa mãn: \(m = - \frac{5}{2}\) và \(m = \frac{2}{3}.\)
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 8{x^2} + 16x - 9\) trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\) là
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình bên dưới
Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| {3 - x} \right|} \right)\) đồng biến trên các khoảng nào trong các khoảng sau?
Cho tứ diện \(SABC\) có các cạnh \(SA,SB,SC\) đôi một vuông góc với nhau. Biết \(SA = 3a,SB = 4a,SC = 5a.\) Tính theo \(a\) thể tích \(V\) của khối tứ diện \(SABC\).
Cho phương trình: \({\sin ^3}x + 2\sin x + 3 = \left( {2{{\cos }^3}x + m} \right)\sqrt {2{{\cos }^3}x + m - 2} + 2{\cos ^3}x + {\cos ^2}x + m.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình trên có đúng một nghiệm \(x \in \left[ {0;\frac{{2\pi }}{3}} \right)?\)
Cho hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2}\) có đồ thị như hình vẽ.
Tìm tất cả các giá trị thực của \(m\) để phương trình \( - {x^4} + 2{x^2} = m\) có hai nghiệm phân biệt.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 4;4} \right]\) và có bảng biến thiên trên đoạn \(\left[ { - 4;4} \right]\) như sau
![Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [-4;4] và có bảng biến thiên trên đoạn [-4;4] như sau. Phát biểu nào sau đây đúng? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1651165933/1651166122-image8.png)
Phát biểu nào sau đây đúng?
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{m}{3}{x^3} - 2m{x^2} + \left( {3m + 5} \right)x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\sqrt 2 ,\) cạnh bên bằng \(2a.\) Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SCD} \right).\) Tính \(\cos \alpha .\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,SA\) vuông góc với đáy và \(SA = a\sqrt 3 .\) Góc giữa đường thẳng \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
Biết giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là \(M,m.\) Giá trị biểu thức \(P = {M^2} + {m^2}\) bằng
Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) và hai mặt bên \(\left( {SAB} \right),\left( {SAC} \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp \(S.ABC\) biết \(SC = a\sqrt 3 .\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ sau. Tìm số nghiệm thực phân biệt của phương trình \(f\left( x \right) = 1.\)
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a,SA \bot \left( {ABC} \right),\) góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^0}.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(SB\) bằng:
Cho khối chóp có thể tích \(V,\) diện tích đáy là \(B\) và chiều cao \(h.\) Tìm khẳng định đúng?
