Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a.\) Gọi \(M,N\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(ABD,ABC\) và \(E\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(D.\) Mặt phẳng \(MNE\) chia khối tứ diện \(ABCD\) thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh \(A\) có thể tích \(V.\) Tính \(V.\)
A.\(V = \frac{{3\sqrt 2 {a^3}}}{{320}}.\)
B.\(V = \frac{{9\sqrt 2 {a^3}}}{{320}}.\)
C.\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{96}}.\)
D. \(V = \frac{{3\sqrt 2 {a^3}}}{{80}}.\)
Giải bởi Vietjack
Đáp án A.
Xét mặt phẳng chứa tam giác \(ABD\). Gọi \(D'\) trên \(IE\) sao cho \[DD'//AQ\] ta có: \(\frac{{DD'}}{{MQ}} = \frac{{ED}}{{EQ}} = \frac{2}{3}\)
Mà \(\Delta KDD' \sim \Delta KAM \Rightarrow \frac{{KD}}{{KA}} = \frac{{DD'}}{{AM}} = \frac{{DD'}}{{2MQ}} = \frac{1}{3}\)
Gọi \(M'\) trên \(BD\) sao cho \(MM'//AB.\) Ta có:
\(M'Q = \frac{1}{3}BQ = \frac{1}{3}.\frac{1}{4}BE = \frac{1}{{12}}BE \Rightarrow EM' = 3EQ + QM' = \left( {\frac{3}{4} + \frac{1}{{12}}} \right)BE = \frac{5}{6}BE\)
\( \Rightarrow \frac{{MM'}}{{IB}} = \frac{{EM'}}{{EB}} = \frac{5}{6} \Rightarrow MM' = \frac{5}{6}IB\)
Xét mặt tam giác \(ABQ\). Ta có \(\frac{{MM'}}{{AB}} = \frac{{QM}}{{QA}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{5}{6}\frac{{IB}}{{AB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{IB}}{{AB}} = \frac{2}{5} \Rightarrow \frac{{AI}}{{AB}} = \frac{3}{5}\)
Vì \(MN//PQ//CD \Rightarrow MN//\left( {ACD} \right) \Rightarrow MN//JK//CD \Rightarrow \frac{{AJ}}{{AC}} = \frac{{AK}}{{AD}} = \frac{3}{4}\)
Vì \(ABCD\) là tứ diện đều có cạnh bằng \(a \Rightarrow {V_{ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)
Ta lại có: \(\frac{{{V_{AIJK}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{{AI}}{{AB}}.\frac{{AJ}}{{AC}}.\frac{{AK}}{{AD}} = \frac{3}{5}.\frac{3}{4}.\frac{3}{4} = \frac{{27}}{{80}} \Rightarrow {V_{AIJK}} = \frac{{27}}{{80}}{V_{ABCD}} = \frac{{27}}{{80}}\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}} = \frac{{9\sqrt 2 {a^3}}}{{320}}\)
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 8{x^2} + 16x - 9\) trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\) là
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình bên dưới
Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| {3 - x} \right|} \right)\) đồng biến trên các khoảng nào trong các khoảng sau?
Cho tứ diện \(SABC\) có các cạnh \(SA,SB,SC\) đôi một vuông góc với nhau. Biết \(SA = 3a,SB = 4a,SC = 5a.\) Tính theo \(a\) thể tích \(V\) của khối tứ diện \(SABC\).
Cho phương trình: \({\sin ^3}x + 2\sin x + 3 = \left( {2{{\cos }^3}x + m} \right)\sqrt {2{{\cos }^3}x + m - 2} + 2{\cos ^3}x + {\cos ^2}x + m.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình trên có đúng một nghiệm \(x \in \left[ {0;\frac{{2\pi }}{3}} \right)?\)
Cho hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2}\) có đồ thị như hình vẽ.
Tìm tất cả các giá trị thực của \(m\) để phương trình \( - {x^4} + 2{x^2} = m\) có hai nghiệm phân biệt.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 4;4} \right]\) và có bảng biến thiên trên đoạn \(\left[ { - 4;4} \right]\) như sau
![Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [-4;4] và có bảng biến thiên trên đoạn [-4;4] như sau. Phát biểu nào sau đây đúng? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1651165933/1651166122-image8.png)
Phát biểu nào sau đây đúng?
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{m}{3}{x^3} - 2m{x^2} + \left( {3m + 5} \right)x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\sqrt 2 ,\) cạnh bên bằng \(2a.\) Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SCD} \right).\) Tính \(\cos \alpha .\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,SA\) vuông góc với đáy và \(SA = a\sqrt 3 .\) Góc giữa đường thẳng \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
Biết giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là \(M,m.\) Giá trị biểu thức \(P = {M^2} + {m^2}\) bằng
Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) và hai mặt bên \(\left( {SAB} \right),\left( {SAC} \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp \(S.ABC\) biết \(SC = a\sqrt 3 .\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ sau. Tìm số nghiệm thực phân biệt của phương trình \(f\left( x \right) = 1.\)
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a,SA \bot \left( {ABC} \right),\) góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^0}.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(SB\) bằng:
