Cho tam giác ABC có trung tuyến $\overrightarrow{\mathrm{AM}}$ (M là trung điểm của BC). Phân tích vec tơ $\overrightarrow{\mathrm{AM}}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB} }\mathrm{và} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$

Cho tam giác ABC.

    a) Tìm điểm K sao cho $\overrightarrow{\mathrm{KA} }+2\overrightarrow{\mathrm{KB}} = \overrightarrow{\mathrm{CB}}$

    b) Tìm điểm M sao cho $\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{2\mathrm{MC}} = \overrightarrow{0}$

Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NA = 2NC. Gọi K là trung điểm của MN.

Phân tích vec tơ $\overrightarrow{\mathrm{AK}}$ theo $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \mathrm{và} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$

Cho tam giác ABC. Điểm I trên cạnh AC sao cho CI = CA/4, J là điểm mà $\overrightarrow{\mathrm{BJ}} = \frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}} - \frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$

    a) Chứng minh $\overrightarrow{\mathrm{BJ}} = \frac{3}{4}\overrightarrow{\mathrm{AC}} - \overrightarrow{\mathrm{AB}}$

    b) Chứng minh B, I, J thẳng hàng.

    c) Hãy dựng điểm J thỏa mãn điều kiện đề bài.

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu $\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}} = \overrightarrow{0}$ thì G là trọng tâm của tam giác ABC.

Cho hai tam giác ABC và A'B'C'. Chứng minh rằng nếu $\overrightarrow{\mathrm{AA}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{BB}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{CC}\text{'}}=\overrightarrow{0}$ thì hai tam giác đó có cùng trọng tâm.

Cho tứ giác ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh:

$\overrightarrow{\mathrm{AB} }+\overrightarrow{\mathrm{CD}} = 2\overrightarrow{\mathrm{IJ}}$

Tìm giá trị của m sao cho $\overrightarrow{\mathrm{a}} = \mathrm{m}\overrightarrow{\mathrm{b}}$ trong các trường hợp sau:

$$\begin{gathered} a) \overrightarrow{\mathrm{a}} = \overrightarrow{\mathrm{b}}\ne \overrightarrow{0} \\ \mathrm{b}) \overrightarrow{\mathrm{a}} = \overrightarrow{-\mathrm{b}} \mathrm{và} \overrightarrow{\mathrm{a}} \ne \overrightarrow{0} \\ \mathrm{c}) \overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}} \mathrm{cùng} \mathrm{hướng} \mathrm{và} \left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|=20, \left|\overrightarrow{\mathrm{b}}\right|=5 \\ \mathrm{d}) \overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}} \mathrm{ngược} \mathrm{hướng} \mathrm{và} \left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|=5, \left|\overrightarrow{\mathrm{b}}\right|=15 \\ \mathrm{e})\hspace{0.17em}\overrightarrow{\mathrm{a}} =\overrightarrow{0}, \overrightarrow{\mathrm{b}}\ne \overrightarrow{0} \\ \mathrm{g}) \overrightarrow{\mathrm{a}} \ne \overrightarrow{0}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=\overrightarrow{0} \\ \mathrm{h})\hspace{0.17em}\overrightarrow{\mathrm{a}} =\overrightarrow{0}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=\overrightarrow{0} \end{gathered}$$

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng với điểm M bất kì ta có

$\overrightarrow{\mathrm{MA} }+\overrightarrow{\mathrm{MB} }+\overrightarrow{\mathrm{MC} }+\overrightarrow{\mathrm{MD} }= \overrightarrow{4\mathrm{MO} }$

Cho lục giác đều ABCDEF tâm O có cạnh a.

    a) Phân tích vec tơ $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ theo hai vec tơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}} và \overrightarrow{\mathrm{AF}}$

    b) Tính độ dài của vec tơ $\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}} +\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ theo a.

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, H là trực tâm của tam giác, D là điểm đối xứng của A qua O.

a) Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành.

b) Chứng minh: 

$$\begin{gathered} \overrightarrow{\mathrm{HA}}+\overrightarrow{\mathrm{HD}}=2\overrightarrow{\mathrm{HO}} \\ \overrightarrow{\mathrm{HA}}+\overrightarrow{\mathrm{HB}} +\overrightarrow{\mathrm{HC}} = 2\overrightarrow{\mathrm{HO}} \\ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}} +\overrightarrow{\mathrm{OC}} = \overrightarrow{\mathrm{OH}} \end{gathered}$$

c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

    Chứng minh $\overrightarrow{\mathrm{OH}} = 3\overrightarrow{\mathrm{OG}}$

    Từ đó có kết luận gì về ba điểm O, H, G?

Cho tam giác ABC. Dựng: $\overrightarrow{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}} = \overrightarrow{\mathrm{BC}},\overrightarrow{\mathrm{C}\text{'}\mathrm{A}} = \overrightarrow{\mathrm{AB}} \mathrm{và} \overrightarrow{\mathrm{BC}\text{'}} = \overrightarrow{\mathrm{CA}}$

    a) Chứng minh rằng A là trung điểm của B'C'

    b) Chứng minh các đường thẳng AA', BB', CC' đồng quy

 Chứng minh rằng:

$$\begin{gathered} \mathrm{a}) \mathrm{Nếu} \overrightarrow{\mathrm{a}}=\overrightarrow{\mathrm{b}} \mathrm{thì} \mathrm{m}\overrightarrow{\mathrm{a}}=\mathrm{m}\overrightarrow{\mathrm{b}} \\ \mathrm{b}) \mathrm{m}\overrightarrow{\mathrm{a}}=\mathrm{m}\overrightarrow{\mathrm{b}} \mathrm{và} \mathrm{m} \ne 0 \mathrm{thì} \overrightarrow{\mathrm{a}}=\overrightarrow{\mathrm{b}} \\ \mathrm{c}) \mathrm{Nếu} \mathrm{m}\overrightarrow{\mathrm{a}}=\mathrm{n}\overrightarrow{\mathrm{a}} \mathrm{và} \overrightarrow{\mathrm{a}} \ne 0 \mathrm{thì} \mathrm{m} = \mathrm{n} \end{gathered}$$

Cho tứ giác ABCD. Các điểm M, N , P và Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm.

 Chứng minh rằng tổng của n véc tơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ bằng n $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ (n là số nguyên dương).

Cho hai vec tơ không cùng phương $\overrightarrow{\mathrm{a}} \mathrm{và}\overrightarrow{ \mathrm{b}}$ Dựng các vec tơ:

$$\begin{gathered} \mathrm{a}) 2\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}} \\ \mathrm{b}) \overrightarrow{\mathrm{a}}-2\overrightarrow{\mathrm{b}} \\ \mathrm{c}) -\overrightarrow{\mathrm{a}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{b}} \end{gathered}$$