Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NA = 2NC. Gọi K là trung điểm của MN.

Phân tích vec tơ $\overrightarrow{\mathrm{AK}}$ theo $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \mathrm{và} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$

Cho tam giác ABC.

    a) Tìm điểm K sao cho $\overrightarrow{\mathrm{KA} }+2\overrightarrow{\mathrm{KB}} = \overrightarrow{\mathrm{CB}}$

    b) Tìm điểm M sao cho $\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{2\mathrm{MC}} = \overrightarrow{0}$

Cho tam giác ABC. Điểm I trên cạnh AC sao cho CI = CA/4, J là điểm mà $\overrightarrow{\mathrm{BJ}} = \frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}} - \frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$

    a) Chứng minh $\overrightarrow{\mathrm{BJ}} = \frac{3}{4}\overrightarrow{\mathrm{AC}} - \overrightarrow{\mathrm{AB}}$

    b) Chứng minh B, I, J thẳng hàng.

    c) Hãy dựng điểm J thỏa mãn điều kiện đề bài.

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu $\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}} = \overrightarrow{0}$ thì G là trọng tâm của tam giác ABC.

Cho hai tam giác ABC và A'B'C'. Chứng minh rằng nếu $\overrightarrow{\mathrm{AA}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{BB}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{CC}\text{'}}=\overrightarrow{0}$ thì hai tam giác đó có cùng trọng tâm.

Cho tứ giác ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh:

$\overrightarrow{\mathrm{AB} }+\overrightarrow{\mathrm{CD}} = 2\overrightarrow{\mathrm{IJ}}$

Tìm giá trị của m sao cho $\overrightarrow{\mathrm{a}} = \mathrm{m}\overrightarrow{\mathrm{b}}$ trong các trường hợp sau:

$$\begin{gathered} a) \overrightarrow{\mathrm{a}} = \overrightarrow{\mathrm{b}}\ne \overrightarrow{0} \\ \mathrm{b}) \overrightarrow{\mathrm{a}} = \overrightarrow{-\mathrm{b}} \mathrm{và} \overrightarrow{\mathrm{a}} \ne \overrightarrow{0} \\ \mathrm{c}) \overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}} \mathrm{cùng} \mathrm{hướng} \mathrm{và} \left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|=20, \left|\overrightarrow{\mathrm{b}}\right|=5 \\ \mathrm{d}) \overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}} \mathrm{ngược} \mathrm{hướng} \mathrm{và} \left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|=5, \left|\overrightarrow{\mathrm{b}}\right|=15 \\ \mathrm{e})\hspace{0.17em}\overrightarrow{\mathrm{a}} =\overrightarrow{0}, \overrightarrow{\mathrm{b}}\ne \overrightarrow{0} \\ \mathrm{g}) \overrightarrow{\mathrm{a}} \ne \overrightarrow{0}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=\overrightarrow{0} \\ \mathrm{h})\hspace{0.17em}\overrightarrow{\mathrm{a}} =\overrightarrow{0}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=\overrightarrow{0} \end{gathered}$$

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng với điểm M bất kì ta có

$\overrightarrow{\mathrm{MA} }+\overrightarrow{\mathrm{MB} }+\overrightarrow{\mathrm{MC} }+\overrightarrow{\mathrm{MD} }= \overrightarrow{4\mathrm{MO} }$

Cho lục giác đều ABCDEF tâm O có cạnh a.

    a) Phân tích vec tơ $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ theo hai vec tơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}} và \overrightarrow{\mathrm{AF}}$

    b) Tính độ dài của vec tơ $\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}} +\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ theo a.

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, H là trực tâm của tam giác, D là điểm đối xứng của A qua O.

a) Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành.

b) Chứng minh: 

$$\begin{gathered} \overrightarrow{\mathrm{HA}}+\overrightarrow{\mathrm{HD}}=2\overrightarrow{\mathrm{HO}} \\ \overrightarrow{\mathrm{HA}}+\overrightarrow{\mathrm{HB}} +\overrightarrow{\mathrm{HC}} = 2\overrightarrow{\mathrm{HO}} \\ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}} +\overrightarrow{\mathrm{OC}} = \overrightarrow{\mathrm{OH}} \end{gathered}$$

c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

    Chứng minh $\overrightarrow{\mathrm{OH}} = 3\overrightarrow{\mathrm{OG}}$

    Từ đó có kết luận gì về ba điểm O, H, G?

Cho tam giác ABC. Dựng: $\overrightarrow{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}} = \overrightarrow{\mathrm{BC}},\overrightarrow{\mathrm{C}\text{'}\mathrm{A}} = \overrightarrow{\mathrm{AB}} \mathrm{và} \overrightarrow{\mathrm{BC}\text{'}} = \overrightarrow{\mathrm{CA}}$

    a) Chứng minh rằng A là trung điểm của B'C'

    b) Chứng minh các đường thẳng AA', BB', CC' đồng quy

 Chứng minh rằng:

$$\begin{gathered} \mathrm{a}) \mathrm{Nếu} \overrightarrow{\mathrm{a}}=\overrightarrow{\mathrm{b}} \mathrm{thì} \mathrm{m}\overrightarrow{\mathrm{a}}=\mathrm{m}\overrightarrow{\mathrm{b}} \\ \mathrm{b}) \mathrm{m}\overrightarrow{\mathrm{a}}=\mathrm{m}\overrightarrow{\mathrm{b}} \mathrm{và} \mathrm{m} \ne 0 \mathrm{thì} \overrightarrow{\mathrm{a}}=\overrightarrow{\mathrm{b}} \\ \mathrm{c}) \mathrm{Nếu} \mathrm{m}\overrightarrow{\mathrm{a}}=\mathrm{n}\overrightarrow{\mathrm{a}} \mathrm{và} \overrightarrow{\mathrm{a}} \ne 0 \mathrm{thì} \mathrm{m} = \mathrm{n} \end{gathered}$$

Cho tứ giác ABCD. Các điểm M, N , P và Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm.

Cho tam giác ABC có trung tuyến $\overrightarrow{\mathrm{AM}}$ (M là trung điểm của BC). Phân tích vec tơ $\overrightarrow{\mathrm{AM}}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB} }\mathrm{và} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$

 Chứng minh rằng tổng của n véc tơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ bằng n $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ (n là số nguyên dương).

Cho hai vec tơ không cùng phương $\overrightarrow{\mathrm{a}} \mathrm{và}\overrightarrow{ \mathrm{b}}$ Dựng các vec tơ:

$$\begin{gathered} \mathrm{a}) 2\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}} \\ \mathrm{b}) \overrightarrow{\mathrm{a}}-2\overrightarrow{\mathrm{b}} \\ \mathrm{c}) -\overrightarrow{\mathrm{a}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{b}} \end{gathered}$$