Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau và cắt nhau tại M. Gọi P là trung điểm của cạnh AD. Chứng minh rằng MP vuông góc với BC khi và chỉ khi $\overrightarrow{\mathrm{MA}}.\overrightarrow{\mathrm{MC}}=\overrightarrow{\mathrm{MB}}.\overrightarrow{\mathrm{MD}}$

Cho hai véc tơ $\overrightarrow{\mathrm{a}} \mathrm{và} \overrightarrow{\mathrm{b}} \mathrm{có} \left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|=5,\left|\overrightarrow{\mathrm{b}}\right|=12 \mathrm{và} \left|\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}\right|=13$ . Tính tích vô hướng $\overrightarrow{\mathrm{a}}. (\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}})$ và suy ra góc giữa hai vec tơ $\overrightarrow{\mathrm{a}} \mathrm{và} \overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}$

Cho hai vectơ a và vectơ b đều khác vectơ 0. Tích vô hướng $\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}}$ khi nào dương, khi nào âm và khi nào bằng 0

Cho tam giác ABC. Gọi H là trực tâm của tam giác và M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng

$\overrightarrow{\mathrm{MH}}.\overrightarrow{\mathrm{MA}}=\frac{1}{4}{\mathrm{BC}}^2$

Cho tam giác ABC có AB = 5 cm, BC = 7 cm, CA = 8 cm.

    a) Tính $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ rồi suy ra giá trị của góc A;

    b) Tính $\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{CB}}$

Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(-1; -1), B(3; 1) và C(6; 0).

    a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

    b) Tính góc B của tam giác ABC.

Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(5;4) và B(3;-2). Một điểm M di động trên trục hoành Ox. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\left|\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}\right|$

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính:

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}} \mathrm{và} \overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{BC}}$

Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A = (2;4), B = ( - 3;1) và C = (3;1). Tính:

    a) Tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành;

    b) Tọa độ chân của đường cao vẽ từ đỉnh A.

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A = (-1; 1), B = (1; 3) và C = (1; -1)

Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A.

Trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm A(3; 4), B(4; 1), C(2; -3), D(-1; 6). Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn.

Tam giác ABC vuông tại A và có AB = AC = a. Tính:

$$\begin{gathered} \mathrm{a}) \overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}} \\ \mathrm{b}) \overrightarrow{\mathrm{BA}}.\overrightarrow{\mathrm{BC}} \\ \mathrm{c}) \overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{BC}} \end{gathered}$$

Trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm A(-1; 1), B(0; 2), C(3; 1) và D(0; -2). Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình thang cân.

Cho tam giác ABC cân (AB = AC). Gọi H là trung điểm của cạnh BC, D là hình chiếu vuông góc của H trên cạnh AC, M là trung điểm của đoạn HD. Chứng minh rằng AM vuông góc với BD.

Tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 11 cm.

    a) Tính $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ và chứng tỏ rằng tam giác ABC có góc A tù.

    b) Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 2 cm và gọi N là trung điểm của cạnh AC. Tính $\overrightarrow{\mathrm{AM}}.\overrightarrow{\mathrm{AN}}$

Áp dụng tính chất giao hoán và tính chất phân phối của tích vô hướng hãy chứng minh các kết quả sau đây:

$$\begin{gathered} {(\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}})}^2 = {\left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{b}}\right|}^2+2\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}} \\ {(\overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}})}^2 = {\left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{b}}\right|}^2-2\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}} \\ (\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}})(\overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}})= {\left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|}^2-{\left|\overrightarrow{\mathrm{b}}\right|}^2 \end{gathered}$$