Đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\frac{1}{\sqrt{3}}\sin 3\mathrm{x}$ cắt trục hoành tại gốc toạ độ dưới một góc bao nhiêu độ (góc giữa trục hoành và tiếp tuyến củađồ thị tại giao điểm) ?

Cho các hàm số

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) = {\mathrm{x}}^3 + {\mathrm{bx}}^{2 }+ \mathrm{cx} + \mathrm{d}$ (C)

$\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) = {\mathrm{x}}^2 - 3\mathrm{x} - 1$.

a) Xác định b, c, d sao cho đồ thị (C) đi qua các điểm $(1; 3), (-1; -3)$ và $\mathrm{f}\prime \left(\frac{1}{3}\right) = \frac{5}{3}$ ;

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ ${\mathrm{x}}_0 = 1$;

c) Giải phương trình f′(sint) = 3;

d) Giải phương trình f′′(cost) = g′(sint);

e) Tìm giới hạn $\underset{\mathrm{z}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{f}\text{'}\text{'}(\sin 5\mathrm{z})+2}{\mathrm{g}\text{'}(\sin 3\mathrm{z})+3}$

Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $\mathrm{y} = \mathrm{tanx}$ có hoành độ ${\mathrm{x}}_0 = \frac{\mathrm{\pi }}{4}$.

Chứng minh rằng nếu hàm số f(z) có đạo hàm đến cấp n thì

$[ \mathrm{f}(\mathrm{ax}+\mathrm{b}\left)\right]{ }_{\mathrm{x}}^{\left(\mathrm{n}\right)}={\mathrm{a}}^{\mathrm{n}} {\mathrm{f}}_{\mathrm{z}}^{\left(\mathrm{n}\right)} (\mathrm{ax}+\mathrm{b})$

Chứng minh rằng tiếp tuyến của hypebol $\mathrm{y}=\frac{{\mathrm{a}}^2}{\mathrm{x}}$  lập thành với các trục toạ độ một tam giác có diện tích không đổi.

Giải phương trình f′(x) = g(x), biết rằng

a) $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1-\cos 3\mathrm{x}}{3}; \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=(\cos 6\mathrm{x}-1) \cot 3\mathrm{x}.$

b) $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1}{2}\cos 2\mathrm{x}; \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=1-{(\cos 3\mathrm{x}+\sin 3\mathrm{x})}^2$

c) $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1}{2}\sin 2\mathrm{x}+5\mathrm{cosx}; \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=3{\sin }^2\mathrm{x}+\frac{3}{1+{\tan }^2\mathrm{x}}.$

Xác định a để $\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)>0 \forall \mathrm{x}\in \mathrm{ℝ}$, biết rằng: $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^3+(\mathrm{a}-1){\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+1$.

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) $\mathrm{y}={\mathrm{xcot}}^2\mathrm{x}$;

b) $\mathrm{y}=\frac{\sin \sqrt{\mathrm{x}}}{\cos 3\mathrm{x}};$

c) $\mathrm{y}={(\sin 2\mathrm{x}+8)}^3$;

d) $\mathrm{y}=(2{\mathrm{x}}^3-5)\mathrm{tanx}.$

hứng minh rằng f′(x) > 0 ∀x ∈ R, nếu

a) $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{2}{3}{\mathrm{x}}^9-{\mathrm{x}}^6+2{\mathrm{x}}^3-3{\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}-1$

b) $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=2\mathrm{x}+\mathrm{sinx}$.

Tìm đạo hàm của hàm số tại điểm đã chỉ ra :

a) $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\sqrt{\mathrm{x}+1}}{\sqrt{\mathrm{x}+1}+1}, \mathrm{f}\text{'}\left(0\right)=?$

b) $\mathrm{y}={(4\mathrm{x}+5)}^2, \mathrm{y}\text{'}\left(0\right)=?$

c) $\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\sin 4\mathrm{x} \cos 4\mathrm{x}, \mathrm{g}\text{'}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)=?$

Xác định a để $\mathrm{g}\prime \left(\mathrm{x}\right) \ge 0 \forall \mathrm{x} \in \mathrm{ℝ}$, biết rằng

$\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) = \mathrm{sinx} - \mathrm{asin}2\mathrm{x} - \frac{\sin 3\mathrm{x}}{3} + 2\mathrm{ax}$.

Trên đường cong $\mathrm{y} = 4{\mathrm{x}}^2 - 6\mathrm{x} + 3$, hãy tìm điểm tại đó tiếp tuyến song song với đường thẳng $\mathrm{y} = 2\mathrm{x}$.