Một chiếc cổng hình parabol có phương trình \(y = - \frac{1}{2}{x^2}\). Biết cổng có chiều rộng d = 5 m. Chiều cao h của cổng bằng:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi A và B là hai điểm ứng với chân cổng như hình vẽ.

Vì cổng hình parabol có phương trình \(y = - \frac{1}{2}{x^2}\) và có chiều rộng d = 5 (m) nên ta có: AB = 5.

Gọi I là trung điểm AB. Suy ra IA = IB = \(\frac{{AB}}{2} = \frac{5}{2}\) (m).

Hàm số đã cho có dạng y = ax² + bx + c, với \(a = - \frac{1}{2}\), b = c = 0.

Vì b = 0 nên Oy là trục đối xứng của parabol.

Do đó trung điểm I của đoạn thẳng AB nằm trên Oy.

Khi đó điểm I có hoành độ bằng 0.

Vì IA = IB = \(\frac{5}{2}\) nên ta có \({x_A} = - \frac{5}{2},\,\,{x_B} = \frac{5}{2}\).

Với \({x_A} = - \frac{5}{2}\), ta có \({y_A} = - \frac{1}{2}.{\left( { - \frac{5}{2}} \right)^2} = - \frac{{25}}{8}\).

Suy ra tọa độ \(A\left( { - \frac{5}{2}; - \frac{{25}}{8}} \right)\).

Với \({x_B} = \frac{5}{2}\), ta có \({y_B} = - \frac{1}{2}.{\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} = - \frac{{25}}{8}\).

Suy ra tọa độ \(B\left( {\frac{5}{2}; - \frac{{25}}{8}} \right)\).

Vì vậy chiều cao h của cổng là:

h = OI = |y_A| = |y_B| = \(\left| { - \frac{{25}}{8}} \right| = \frac{{25}}{8} = 3,125\) (m).

Vậy ta chọn phương án B.