Vận tốc kim phút 12 khoảng /giờ
Vận tốc kim giờ 1  khoảng/giờ
Lúc 3 giờ, kim phút ở sau kim giờ 3 khoảng
Hiệu vận tốc 2 kim là   12 – 1 = 11 (khoảng/g)

Thời gian kim phút trùng kim giờ là:   3 : 1  = 3/11 (giờ)

Sau 2 giờ người thứ nhất đi được:  32 x 2 = 64 (km)
Sau 2 giờ người thứ hai đi được:  35 x 2 = 70 (km)
Ta thấy sau 2 giờ người thứ hai đi vừa đúng 7 vòng về đến điểm xuất phát (do 70 hết cho 10); người thứ nhất vừa qua điểm xuất phát 6 vòng và thêm 4km (64 – (10x6) = 4(km)).
 Như vậy 2 người cách nhau 4 km
Bài này có các cách hiểu:
- Người thứ 2 đi trước người thứ nhất bao nhiêu km thì sẽ là 70-64=6 (km)
- Khoảng cách gần do trên đường đua là vòng tròn khép kín nên như đáp số ở trên (4km).

- Giả sử như người thứ nhất đi với 32,5km/giờ thì sau 2 giờ sẽ được 32,5 x 2 = 65(km) thì khoảng cách với người thứ 2 là 5km. Ta nghĩ là khoảng cách trước hay sau?

Hiểu là tổng vận tốc đi xuôi dòng và đi ngược dòng là 95km/giờ.
Cùng quãng đường thì thời gian tỉ lệ nghịch với vận tốc.
Tỉ số vận tốc giữa xuôi dòng và ngược dòng là:  3/2.
Vận tốc xuôi dòng là:    95 : (3+2) x 3 = 57 (km/giờ)

Quãng đường AB là:  57 x 2 = 114 (km)

Gọi V_X là vận tốc xuôi dòng và V_N là vận tốc ngược dòng.
Hiệu vận tốc:   V_X – V_N = 10 x 2 = 20 (km/giờ)
Cùng quãng đường thì thời gian tỉ lệ nghịch với vận tốc.
Tỉ số vận tốc giữa xuôi dòng và ngược dòng là:  3/2.
Vận tốc xuôi dòng là:  20 : (3-2) x 3 = 60 (km/giờ)

Quãng đường AB là:   60 x 2 = 120 (km) 

Cùng quãng đường thì vận tốc tỉ lệ ngịch với thời gian.

Gọi V_x là vận tốc xuôi dòng và V_n là vận tốc ngược dòng.
Ta có  V_x/ V_n = 4/3
Vận tốc xuôi dòng hơn vận tốc ngược dòng:  4 x 2 = 8 (km/giờ)

(vận tốc xuôi dòng hơn vận tốc ngược dòng 2 lần vận tốc dòng nước).

Vận tốc xuôi dòng:   8 x 4 = 32 (km/giờ)

Quãng đường AB:   32 x 3 = 96 (km) 

Cùng quãng đường thì vận tốc tỉ lệ ngịch với thời gian.

Gọi V_x là vận tốc xuôi dòng và V_n là vận tốc ngược dòng.
Ta có  V_x/ V_n = 4/3
Vận tốc xuôi dòng hơn vận tốc ngược dòng:  4 x 2 = 8 (km/giờ)

(vận tốc xuôi dòng hơn vận tốc ngược dòng 2 lần vận tốc dòng nước).

Vận tốc xuôi dòng:   8 x 4 = 32 (km/giờ)

Quãng đường AB:   32 x 3 = 96 (km) 

Muốn tính vận tốc trung bình phải cần có quãng đường và thời gian tương ứng.
Giả sử quãng đường dài 120 km (vì 120 chia hết cho 60 và 40 để dễ tính)
Thời gian đi từ A đến B:  120 : 60 = 2 (giờ)
Thời gian đi từ B đến A:  120 : 40 = 3 (giờ)
Tổng thời gian cả đi lẫn về:  2 + 3 = 5 (giờ)

Vận tốc trung bình cả đi lần về:   120 x 2 : (3 + 2) = 48 (km/giờ) 

Thời gian ô tô đi từ A đến B là: 8 giờ 51 phút - 5 giờ 15 phút = 3 giờ 36 phút = 3,6 (giờ)

Quãng đường AB là: 55 x 3,6 = 198 km

Thời gian Ô tô quay về từ B về A là: 198 : 60 = 3,3 (giờ) = 3 giờ 18 phút

Ô tô quay về đến A lúc: 8 giờ 51 + 45 phút + 3 giờ 18 phút = 12 giờ 54 phút

Đáp số: 12 giờ 54 phút

Cùng quãng đường thì vận tốc tỉ lệ nghịc với thời gian:

Tỉ lệ thời gian của xuôi và ngược dòng:   40/50 = 4/5

Thời gian xuôi dòng:   3,6: (4+5)x4= 1,6 (giờ)

Quãng đường AB:   50 x 1,6 = 80 (km)

30 phút = 0,5 giờ

Giả sử có 2 ca nô cùng khởi hành một lúc thì khi ca nô đi xuôi dòng đến B thì ca nô ngược dòng còn cách A:  40 x 0,5 = 20 (km)

Hiệu vận tốc xuôi và ngược dòng:  50 – 40 = 10 (km/giờ)

Thời gian ca nô xuôi dòng hết quãng AB    20 : 10 = 2 (giờ)

Quãng đường AB:   50 x 2 = 100 (km)

Giả sử quãng đường đó dài 150 km.

Thời gian từ A đến B:  150 : 30 = 5 (giờ)

Thời gian từ B đến A:  150 : 50 = 3 (giờ)

Vận tốc trung bình cả đi lẫn về:

150 x 2 : (5+3) = 37,5 (km/giờ)

Sau 30’ (0,5 giờ) người thứ nhất đi được:

40 x 0,5 = 20 (km)

Hiệu vận tốc:  50 – 40 = 10 (km/giờ)

Thời gian thời thứ hai đuổi kịp:

20 : 10 = 2 (giờ)

Quãng đường AB:  50 x 2 = 100 (km)

10h30' – 10h = 30’ = ½ giờ
Nều người đó cũng đi với vận tốc 30 km/giờ thì 10 giờ  sẽ còn cách B:
30 x ½ = 15 (km)
Hiệu vận tốc:   45 – 30 = 15 (km/giờ)
Thời gian đã đi: 15 : 15 = 1 (giờ)

Quãng đường AB:  45 x 1 = 45 (km) 

Sau 30 phút (0,5 giờ) người thứ nhất đi được:   30 x 0,5 = 15 (km)
Tổng vận tộc:     30 + 35 = 65 (km/giờ)
Thời gian người thứ hai đi đến gặp người thứ nhất:
(145 – 15) : 65 = 2 (giờ)
Thời điển hai người gặp nhau:

6 giờ + 30 phút + 2 giờ = 8 giờ 30 phút. 

2 giờ 30' = 2,5 giờ      ;   2 giờ 45' = 2,75 giờ

Quãng đường AB:     44 x 2,5 =  110  ( km)

Vận tốc anh Nam đi từ A đến B:   110 : 2,75  = 40 (km/giờ)

Khi gặp Nam nếu mẹ chạy tiếp tục đến trường để trở lại đúng địa điểm đó thì mất:
5h30’ – 5h20’ = 10 phút
Nếu chỉ đi dến trường thì mất: 10’ : 2 = 5 phút                              

Vậy khi gặp mẹ thì Nam đã đi hết thời gian từ lúc tan trường:

15 phút – 5 phút = 10 phút

Đáp số:  10 phút

Gọi K là điểm chính giữa AB thì cách A và B:  198 : 2 = 99 (km)

Mỗi giờ thì điểm K sẽ di chuyển về phía B để cách đều 2 xe:

(40 – 30) : 2 = 5 (km)

Thời gian để ô tô đến điểm chính giữa 2 xe:

(Thời gian ô tô gặp điểm K).

99 : (5 + 50) = 1,8 (giờ)

Quãng đường ô tô đã đi được:

50 x 1,8 = 90 (km)

Đáp số:  90 km

Thử lại:

Xe A:  40 x 1,8 = 72 (km)

Xe B:  30 x 1,8 = 54 (km)

Ô tô:    50 x 1,8 = 90 (km)

Ô tô cách xe B:  90 – 54 = 36 (km)

Ô tô cách xa A:  198 – (72+90) = 36 (km)

 Cách 2

Gọi thời gian để 3 xe đi từ khi khởi hành đến lúc đạt yêu cầu đề bài là t. Ta có:

- Quãng đường xe ô tô Cách xe máy đi từ  B là: (50 - 30) x t = 20 x t

- Quãng đường xe ô tô Cách xe máy đi từ  A là: 198 - (50 + 40) x t = 198 - 90 x t

Theo bài ra ta lại có: 20 x t = 198 - 90 x t

=> 110 x t = 198

=> t = 1,8 (giờ)

Vậy khi đó ô tô đi được là: 50  x 1,8 = 90 (km)

Đáp số: 90 km                         

Khi người đi từ B xuất phát thì người đi từ A đã đi được quãng đường: 60 x 0,5 = 30 (km)

Thời gian để hai người gặp nhau là:  (250 - 30 ): ( 60 + 50) = 2 ( giờ)

Hiệu vận tốc 2 xe:  50 – 40 = 10 (km/h)
Thời gian xe A đuổi kịp xe C
20 : 10 = 2 (giờ)
Địa điểm K, 2 xe gặp nhau cách A
50 x 2 = 100 (km)
Và cách B:    220 – 100 = 120 (km)
Gọi D là điểm chính giữa KB thì cách K và B là
120 : 2 = 60 (km)
Để điểm D luôn cách đều xe C và B từ lúc này về sau thì phải di chuyển về B với vận tốc
40 : 2 = 20 (km/h)
Thời gian xe A gặp điểm D để cách đều xe C và B
60 : (50 – 20) = 2 (giờ)
Xe A đến điểm D lúc
6 + 2 + 2 = 10 (giờ)
Địa điểm xe A đuổi kịp điểm D để cách đều xe C và B cách K
50 x 2 = 100 (km)
Quãng đường AD (AD=AK+KD)
100 + 100 = 200 (km)

Đáp số:    10 giờ và  200 km
Thử lại:
Đi 2+2=4 (giờ) xe A đi được:   50 x 4 = 200 (km)
Cách B:   220 – 200 = 20 (km)
Xe C đi được:   40 x 4 = 160 (km)

Cách xe A:  200 – (160+20) = 20 (km) 

45’ = 3/4 giờ
Nếu khởi hành cùng lúc gặp nhau cách B: 96-64= 32 (km)
Tỉ số vận tốc của xe ô tô và xe máy:   64/32 = 2  (vận tốc xe ô tô 2 lần vận tốc xe máy).
Xe máy đi trước 45’ thì đến C, 2 xe gặp nhau ở K.
Đoạn KC dài:  52 : 2 = 26 (km)
45’ xe máy chạy được:  96 – (52+26) = 18 (km)
Vận tốc xe máy: 18 : 3 x 4 = 24 (km/giờ)
Vận tốc ô tô:   24 x 2 = 48 (km/giờ)

Đáp số:  24 km/giờ và 48 km/giờ 

Hiệu vận tốc:  60 – 50 = 10 (km/h)
Thời gian đi từ A đến B theo dự định:  (50x2+60) : 10 = 16 (giờ)
Quãng đường AB: (16+2) x 50 = 900 (km)
Thử lại:
50 x 16 = 800 (km)

60 x 16 = 960 (km)

Cùng quảng đường thì thời gian tỉ lệ nghịch với vận tốc.
Tỉ lệ thời gian giữa đi và về:  30/40 = ¾
Mà thời gian đi ít hơn thời gian về là 40 phút.
Thời gian đi là:     40 : (4-3) x 3 = 120 (phút) = 2 (giờ)
Quảng đường AB:   40 x 2 = 80 (km)
Thử lại:
Thời gian về:   120 : 3 x 4 = 160 (phút)

Quảng đường AB:   30 x 160 : 60 = 80 (km) 

Hai kim đồng hồ vuông góc nhau khi chúng cách nhau 3 khoảng cột giờ, thẳng hàng khi chúng cách nhau 6 khoảng cột giờ.
Hiệu vận tốc của kim phút và kim giờ:
12 – 1 = 11 (khoảng/giờ)

1-.*Hiện giờ đang vuông góc, để vuông góc tiếp theo thì kim phút phải chạy hơn kim giờ 6 khoảng cột giờ.
Thời gian sẽ là:  6 : 11 = 6/11 (giờ) ~ 32 phút 43 giây
*Thẳng hàng thì kim phút phải chạy hơn kim giờ 9 khoảng.
Thời gian sẽ là:  9 : 11 = 9/11 (giờ) ~ 49 phút 5 giây
2-. *Vuông góc thì kim phút phải chạy hơn kim giờ 3 khoảng.
Thời gian sẽ là:  3 : 11 = 3/11 (giờ) ~ 16 phút 21 giây
Thẳng hàng thì kim phút phải chạy hơn kim giờ 12 khoảng.
Thời gian sẽ là:  12 : 11 = 12/11 (giờ) ~ 1 giờ 5 phút 27 giây
3-. *Vuông góc thì kim phút phải chạy hơn kim giờ 6 khoảng.
Thời gian sẽ là:  6 : 11 = 6/11 (giờ) ~ 32 phút 43 giây

*Thẳng hàng thì kim phút phải chạy hơn kim giờ 3 khoảng.
Thời gian sẽ là:  3 : 11 = 3/11 (giờ) ~ 16 phút 21 giây 

Để đến cùng lúc thì ô tô phải đi sau xe đạp:
20 phút + 10 phút = 30 phút = 0,5 giờ
Hiệu vận tốc của ô tô và xe đạp:
36 – 12 = 24 (km/giờ)
Xe đạp đã đi trước ô tô:
12 x 0,5 = 6 (km)
Thời gian ô tô đuổi kịp xe đạp
(Thời gian ô tô đi hết quãng đường AB)
6 : 24 = 15 (phút) = 0,25 (giờ)
Quãng đường AB.
36 x 0,25 = 9 (km)
Thời gian máy kéo đi hết quãng đường AB
10 + 15 = 25 (phút)
Vận tốc máy kéo
9 : 25/60 = 21,6 (km/giờ)
Đáp số: Quãng đường AB:  9 km

           Vận tốc máy kéo:  21,6 km/giờ

1 giờ 15 phút = 1,25 giờ
Tổng vận tốc ô tô và xe máy là:   100 : 1,25 = 80 (km/giờ)
Hiệu vận tốc ô tô và xe máy là:    100 : 5 = 20 (km/giờ)

Ta có sơ đồ:

Tổng: 80km
Vân tốc  xe máy là:    (80 – 20) : 2 = 30 (km/giờ)
Vận tốc ô tô là:            80 – 30 = 50 (km/giờ)
Đáp số:            V_{ô tô}:      50 km/giờ

                       V_{xe máy}:  30 km/giờ

a) Cùng quãng đường thì vận tốc tỉ lệ nghịch với thời gian nên vận tốc ô tô gấp 3 lần vận tốc xe máy. Như vậy sau 1 giờ ô tô đi hết quãng đường AB thì xe máy đi được 1/3 quãng đường AB.
Hiệu vận tốc của ô tô và vận tốc xe máy:
1 – 1/3 = 2/3 (quãng đường/giờ)
Do khoảng cách của ô tô và xe máy là một quãng đường AB nên thời gian ô tô đuổi kịp xe máy là:
1 : 2/3 = 3/2 (giờ) = 1 giờ 30 phút.
b) Tổng vận tốc của ô tô và xe máy:
1 + 1/3 = 4/3 (quãng đường/giờ)
Thời gian 2 xe gặp nhau:
1 : 4/3 = 3/4 (giờ) = 45 phút

Đáp số:  1 giờ 30 phút   và    45 phút 

Giả sử lần sau người đi xuất phát từ địa điểm cách thành phố 80km của lần trước. Ta có sơ đồ:

Trên sơ đồ ta trừ đi 2 quãng đường đi bộ 6 giờ như nhau.
Thời gian đi ngựa:    5 + 11 = 16 (giờ)
Quãng đường 16 giờ đi ngựa:     80 + 64 = 144 (km)
Một giờ đi ngựa được:        144 : 16 = 9 (km)

Đáp số:       9 km

Hướng dẫn học sinh: Bài toán này có nhiều cách giải

Cách 1: Giải theo phương pháp khử
    Viết tắt đi bộ hết 6 giờ là 6 bộ, đi ngựa hết 5 giờ là 5 ngựa...ta có:
      5 ngựa + 6 bộ = 80km
    11 ngựa - 6 bộ = 64km
Gộp lại ta có: 
    5 ngựa + 6 bộ + 11 ngựa - 6 bộ = 80 km + 64 km

    nên 16 ngựa = 144km

    Trong một giờ ngựa đ được :
    144: 16 = 9 (km)

Cách 2:

    Lần 1 đi là 80km, trong đó có đi bộ 6 giờ. Lần 2 do có 6 giờ đi bộ ngược lại nên tổng chỉ còn 64km. 
Như vậy thời gian đi ngựa cả 2 lượt là: 5 + 11 = 16 (giờ)

Trong 16 giờ ngựa đi được: 80  + 64 = 144 (km)

Trong 1 giờ ngựa đi được: 144 : 16 = 9 (km)

1 giờ 30 phút = 1,5 giờ
1,5 giờ hơn 1,3 giờ
1,5 – 1,3 = 0,2 (giờ)
Quãng đường người đó đã đi   (Vận tốc:  2,4 : 0,2 = 12(km/giờ) _ không cần tính quãng đường)
2,4 : 0,2 x 1,5 = 18 (km)
Vận tốc:
18 : 1,5 = 12 (km/giờ)

Đáp số: 12 km/giờ 

1-.*Hiện giờ đang vuông góc, để vuông góc tiếp theo thì kim phút phải chạy hơn kim giờ 6 khoảng cột giờ.
Thời gian sẽ là:  6 : 11 = 6/11 (giờ) ~ 32 phút 43 giây
*Thẳng hàng thì kim phút phải chạy hơn kim giờ 9 khoảng.
Thời gian sẽ là:  9 : 11 = 9/11 (giờ) ~ 49 phút 5 giây
2-. *Vuông góc thì kim phút phải chạy hơn kim giờ 3 khoảng.
Thời gian sẽ là:  3 : 11 = 3/11 (giờ) ~ 16 phút 21 giây
*Thẳng hàng thì kim phút phải chạy hơn kim giờ 12 khoảng.
Thời gian sẽ là:  12 : 11 = 12/11 (giờ) ~ 1 giờ 5 phút 27 giây
3-. *Vuông góc thì kim phút phải chạy hơn kim giờ 6 khoảng.
Thời gian sẽ là:  6 : 11 = 6/11 (giờ) ~ 32 phút 43 giây
*Thẳng hàng thì kim phút phải chạy hơn kim giờ 3 khoảng.

Thời gian sẽ là:  3 : 11 = 3/11 (giờ) ~ 16 phút 21 giây 

Hiệu vận tốc:  60 – 50 = 10 (km/h)
Thời gian đi từ A đến B theo dự định:  (50x2+60) : 10 = 16 (giờ)
Quãng đường AB: (16+2) x 50 = 900 (km)
Thử lại:
50 x 16 = 800 (km)

60 x 16 = 960 (km) 

45phút = 3/4 giờ
Nếu khởi hành cùng lúc gặp nhau cách B: 96-64= 32 (km)
Tỉ số vận tốc của xe ô tô và xe máy:   64/32 = 2  (vận tốc xe ô tô 2 lần vận tốc xe máy).
Xe máy đi trước 45’ thì đến C, 2 xe gặp nhau ở K.
Đoạn KC dài:  52 : 2 = 26 (km)
45’ xe máy chạy được:  96 – (52+26) = 18 (km)
Vận tốc xe máy: 18 : 3 x 4 = 24 (km/giờ)
Vận tốc ô tô:   24 x 2 = 48 (km/giờ)

Đáp số:  24 km/giờ và 48 km/giờ 

Hướng dẫn học sinh: Giả sử vào lúc 6 giờ có một xe thứ ba đi quãng đường EB gấp đôi quãng đường AB với vận tốc gấp đôi xe đi từ A. Vậy thì khoảng cách từ xe thứ ba đến B luôn luôn gấp đôi khoảng cách xe đi từ A đến B.

    Vấn đề còn lại là chúng ta tính xe đi từ C gặp xe đi từ E lúc nào thì đó cũng là đáp số của bài toán.

Quãng đường xe đi từ C đi trước xe đi từ E: 220 + 20 = 240 (km)
Hiệu vận tốc: 100 – 40 = 60 (km)
Thời gian hai xe đi để gặp nhau: 240 : 60 = 4 (giờ)
Hai xe gặp nhau tại điểm K lúc: 6 + 4 = 10 (giờ)

Cùng thời gian đó, xe đi từ A đến điểm D là: 50 x 4 = 200 (km)

Giả sử vào lúc 6 giờ có một xe thứ ba đi quãng đường EB gấp đôi quãng đường AB với vận tốc gấp đôi xe đi từ A. Vậy thì khoảng cách từ xe thứ ba đến B luôn luôn gấp đôi khoảng cách xe đi từ A đến B.
Như vậy xe đi từ C gặp xe đi từ E lúc nào thì đó cũng là đáp số của bài toán.
Quãng đường xe đi từ C đi trước xe đi từ E: 220 + 20 = 240 (km)
Hiệu vận tốc: 100 – 40 = 60 (km)
Thời gian hai xe đi để gặp nhau: 240 : 60 = 4 (giờ)
Hai xe gặp nhau tại điểm K lúc: 6 + 4 = 10 (giờ)

Cùng thời gian đó, xe đi từ A đến điểm D là: 50 x 4 = 200 (km) 

Cùng quảng đường thì thời gian tỉ lệ nghịch với vận tốc.
Tỉ lệ thời gian giữa đi và về:  30/40 = ¾
Mà thời gian đi ít hơn thời gian về là 40 phút.
Thời gian đi là:     40 : (4-3) x 3 = 120 (phút) = 2 (giờ)
Quảng đường AB:   40 x 2 = 80 (km)
Thử lại:

Thời gian về:   120 : 3 x 4 = 160 (phút)

Quảng đường AB:   30 x 160 : 60 = 80 (km) 

Sau 2 giờ người đi xe đạp đi được quãng đường là:

12 x 2 = 24 (km)

Lúc đó hai người còn cách nhau:

118 – 24 = 94 (km)

Sau đó mỗi giờ hai người gần nhau thêm là:

12 + 35 = 47 (km)

Từ khi người thứ hai đi đến lúc gặp nhau là:

94 : 47 = 2 (giờ)

Hai người gặp nhau lúc:

6 + 2 + 2 = 10 (giờ)

Đáp số: 10 giờ

Quãng đ­ường = thời gian gặp nhau  tổng vận tốc

Hiệu hai vận tốc :

        20 – 12 = 8 km/giờ.

       Thời gian gặp nhau của hai xe :

        6 : 8 = 0,75 giờ = 45 phút.

       Hai người gặp nhau lúc :

       7 giờ + 45 phút = 7 giờ 45 phút.

       Chỗ gặp nhau cách A là :

        20 x 0,75 = 15 km.

           Đáp số : 7 giờ 45 phút

Hiệu hai vận tốc:

20 – 12 = 8 (km/giờ)

Thời gian hai xe gặp nhau là:

6 : 8 = 0,75 giờ = 45 phút

Hai người gặp nhau lúc:

8 giờ + 45 phút = 8 giờ 45 phút

Chỗ gặp nhau cách A là:

20 x 0,75 = 15 km

Đáp số: 8 giờ 45 phút và 15km

Thời gian xe máy đi trên đường là:

 7 giờ 45 phút - 6 giờ 30 phút = 1 giờ 15 phút

1 giờ 15 phút = 1$\frac{1}{4}$ giờ = $\frac{5}{4}$ giờ.

Vận tốc xe máy đi được là:

40 : 5/4 = 32 (km/giờ)

Đáp số : 32 km/giờ.

Thời gian ô tô đi trên đường là:

8giờ 56phút - 6giờ 15phút - 25phút = 2giờ 16phút.

2giờ 16phút = 34/15 giờ.

Quãng đường từ Hà Nội đến Hải Phòng là:

45 x 34/15 = 102 ( km ).

Đáp số: 102 km.